Побудова довірчих границь і інтервалів.

Для побудови довірчого інтервалу (чи границі) необхідно знати закон розподілу статистики z=z (x₁,...,x_n), по якій оцінюється невідомий параметр (такою статистикою може бути оцінка z = â (x₁,...,x_n)). Один зі способів побудови полягає в наступному. Припустимо, що деяка випадкова величина j = j(z, a), що залежить від статистики z і невідомого параметра a така, що

1) закон розподілу відомий і не залежить від a;

2) j(z, a) є неперервною та монотонною по .

Виберемо діапазон для - інтервал так, щоб влучення в нього було практично вірогідно:

P{ f1 £ j(z, a) £ f2 } ³ PД, (3.1)

для чого досить у якості і взяти квантилі розподілу рівня (1- Р_Д)/2 і (1+ Р_Д)/2 відповідно. Перейдемо в (3.1) до іншого запису випадкової події. Розв’язуючи нерівності щодо параметра a, одержимо (думаючи, що монотонно зростає по ):

P{ g(z, f1) £ a £ g(z, f2) } ³ PД.

Це співвідношення вірне при будь-якім значенні параметра a (оскільки це так для (1)), і тому, відповідно до визначення, випадковий інтервал (g (z, f₁), g (z, f₂)) є довірчим для a з рівнем довіри Р_Д. Якщо спадає по , інтервалом є (g (z, f₂), g (z, f₁)).

Для побудови однобічної границі для a виберемо значення і так, щоб

P{ j(z, a) ³ f₁ }³ P_Д, f₁=Q (1 - P_Д)

чи P{ j(z, a) £ f₂ }³ P_Д , f₂ = Q (P_Д),

де - квантиль рівня . Після розв’язання нерівності під знаком одержимо однобічні довірчі границі для a.

Приклад 3.3. Довірчий інтервал з рівнем довіри Р_Д для середнього a нормальної сукупності при відомій дисперсії s ².

Нехай x ,..., x_n - вибірка з нормальної N (a, s )сукупності. Спроможною оцінкою для а є â = â (x ,...,x_n) = , розподілена за законом N (a, ).

Введемо її нумерацію, утворивши випадкову величину

, (3.2)

яка розподілена нормально N (0, 1)при будь-якім значенні а.

По заданому рівні довіри Р_Д визначимо для j відрізок [- f_p, f_p ] так, щоб

, (3.3)

тобто f_p - квантиль порядку (1+ Р_Д)/2 розподілу N (0,1); помітимо, що j залежить від а, але (3.3) вірно при будь-якім значенні а. Підставимо в (3.3) виразу для j з(3.2) і розв’язуючи нерівність під знаком ймовірності в (3.3) відносно а; одержимо співвідношення

, (3.4)

виконується при будь-якім значенні а. Під знаком імовірності дві функції спостережень

, (3.5)

визначають випадковий інтервал

I (x₁,..., x_n) =(a₁ (x₁,..., x_n), a₂ (x₁,..., x_n)), (3.5a)

який у силу (3.4) накриває невідоме значення параметра а з великою імовірністю Р_Д при будь-якому значенні а, і тому, по визначенню довірчого інтервалу, він є довірчим з рівнем довіри Р_Д.

У загальному випадку випадкову величину j у (1) можна побудувати таким чином. Визначимо функцію розподілу F (z / a)статистики z (F, звичайно, залежить від а). Для неперервної z випадкова величина j (z, а) º F(z / a),як неважко бачити, розподілена рівномірно на відрізку [0, 1] при будь-якім значенні а; прийнявши f₁= (1- P_Д)/ 2, f₂ = (1+P_Д)/ 2, будемо мати (3.4) у вигляді

P{f1 £ F (z / a) £ f ₂} = P_Д.

Для дискретної z ситуація аналогічна.

Можна міркувати інакше: при будь-якому фіксованому значенні а визначимо відрізок [ z ₁(a), z ₂(a)] так, що

P{ z₁ (a)£ z £ z₂ (a)} ³ Р_Д; (3.6)

ясно, що в якості z₁ і z₂ можна взяти квантилі, тобто визначити з умов

F (z _!/ a)=(1- Р_Д)/ 2, F (z ₂/ a)=(1+ Р_Д)/ 2.

Якщо z₁ (a) і z₂ (a) монотонно зростають по а, то, розв’язуючи дві нерівності під знаком Р в (3.6) і беручи до уваги те, що z ₁(a) < z ₂(a),одержимо:

P{ z ₂^-1(z) £ a £ z₁^-1(z) } ³ Р_{Д ,}

є вірним при будь-якому а; ясно, що інтервал (z₂^-1 (z), z₁^-1 (z)), обумовлений двома функціями від z, є довірчим з рівнем довіри Р _Д.

Рівень довіри.

Рівень довіри Р_Д означає, що правило визначення інтервалу дає вірний результат з імовірністю Р_Д, що звичайно вибирається близькою до 1, однак, 1 не дорівнює. Переконаємося статистично на прикладі в тім, що довірчий інтервал з рівнем довіри Р_Д може не містити (з малою імовірністю 1- Р_Д) істинне значення параметру.

Приклад 3.4. Розглянемо наведений у (3.5) випадковий інтервал I(x₁,..., x_n), що при будь-якім значенні а накриває це значення з великою імовірністю Р_Д:

Р { I (x₁,...,x_n) є a } = Р _Д,

і тому, якщо знехтувати можливістю здійснення події a Ï I, що має малу імовірність (1- Р_Д), можна вважати подія a Î I(x₁,...,x_n) є практично достовірною, тобто можна вірити тому, що обчислений за конкретними спостереженнями x₁,...,x_n інтервал I містить невідоме значення параметра а.

Проведемо випробування інтервалу (3.5) на 50 вибірках обсягу n= 10 для трьох рівнів довіри Р _Д: 0.9, 0.99, 0.999 (відповідно, три значення f_p).

При Р _Д = 0.9 число невірних з k =50 результатів виявиться в околиці 5, тому що середнє число невірних

k (1- Р _Д) = 5.

При Р _Д =0.99 поява хоча б одна невірного з k =50 досить ймовірна: імовірність цієї події 1- Р _Д ^k=1-0.99⁵⁰» 0.61.

При Р _Д =0.999 поява хоча б одна невірного є сумнівною: імовірність цієї події 1- Р _Д ^k=1-0.999⁵⁰» 0.05.

3.3. Завдання для самостійної роботи

1. Визначити, скільки разів з k =50 довірчий інтервал виявився невірним;

Це зробимо для трьох значень Р _Д. Графіки для Р _Д =0.9 і Р _Д =0.99 роздрукувати.

2. Провести аналогічно 50 випробувань довірчого інтервалу (3.7) - (3.9) для випадку невідомої дисперсії.

Інтервали для параметрів нормального розподілу.

Нехай х₁, …,х_n - вибірка з нормального N(a,s²⁾ розподілу; значення середнього а і дисперсії s² невідомі. Оцінки для а і s² мають вигляд:

, . (3.7)

Як відомо, довірчим інтервалом для середнього а з рівнем довіри Р _Д при невідомій дисперсії є інтервал

I (x) = (a₁ (х), a₂ (х)), (3.8)

де , , (3.9)

t_p - квантиль порядку (1+ Р _Д)/2 розподілу Стьюдента з n-1 ступенями волі.

Довірчим інтервалом для стандартного відхилення s з рівнем довіри Р _Д є інтервал

I (x) = (s₁ (х), s₂ (х)), (3.10)

де , , (3.11)

тут t₁ і t₂ - квантилі порядків відповідно (1+ Р _Д)/2 і (1- Р_Д)/2 розподілу хі-квадрат з n-1 ступенями волі.

Читачеві пропонується самостійно згенерувати вибірку обсягу n=20 з нормального розподілу з параметрами a = 10, s²= 2²=4 і визначити довірчі інтервали для a і s з рівнем довіри Р _Д: 0.8, 0.9, 0.95, 0.98, 0.99, 0.995, 0.998, 0.999. Результати виписати у вигляді таблиці. Зі зростанням Р _Д інтервал розширюється, зі зростанням n - зменшується.

Якщо нас цікавлять не інтервали, а верхні чи нижні довірчі границі, то, як відомо, вони визначаються тими ж формулами (3.9) та (3.11), однак значення порогових значень t змінюються. Наприклад, нижньою довірчою границею для a з рівнем довіри Р _Д є значення

,

де t_p - квантиль порядку Р _Д розподілу Стьюдента з n-1 ступенями волі, а верхньою границею для s з рівнем довіри Р _Д є

,

де t₂ - квантиль порядку 1- Р _Д розподілу хі-квадрат з n-1 ступенями волі.

Завдання: визначити верхні довірчі границі для а і s з рівнем довіри Р _Д = 0.95.

1) для заданої задачі побудувати оцінку заданим методом (варіанти завдань див. нижче);

2) побудувати довірчий інтервал, заснований на цій оцінці;

3) згенерувати вибірку заданого обсягу;

4) обчислити довірчий інтервал.

 

Звіт по роботі повинен містити:

постановки питань, формули, графіки випробування довірчого інтервалу для двох випадків: з відомою і невідомою дисперсією (по п. 1.2), таблицю довірчих інтервалів для різних Р_Д (по п. 1.3), вивод формул для оцінок і інтервалів, згенеровану вибірку й обчислений інтервал (по п. 1.4).

Варіанти.

Задача 1. Відстань а до деякого об'єкта вимірялася n₁ раз одним приладом і n₂- другим; результати х₁,…,х_n1; y₁,…,y_n2... Обидва прилади при кожнім вимірі дають незалежні випадкові похибки, нормально розподілені із середнім 0 і стандартними відхиленнями s₁ і s₂ відповідно. Методом максимальної правдоподібності побудувати оцінку â для а і довірчий інтервал з рівнем довіри Р_Д.

Варіанти вихідних даних

¹	n 1	n 2	s1, êì	s2, êì	Ð ä	a, êì
					0.95
					0.98
					0.95
					0.98
					0.95
					0.98
					0.95
					0.98
					0.95

 

Дані вимірювання одержати шляхом генерації випадкових величин з заданими параметрами.

Розв’язок (без висновку). Оцінка

, де з = ;

довірчий інтервал

I=(, ),

де - квантиль порядку (1+ Р_Д)/2 розподілу N(0,1).

 

Задача 2. Виготовлено велику партію з N =10000 приладів. Відомо, що час безвідмовної роботи випадково і розподілено за експоненційним законом з щільністю

, x ³ 0

З метою визначення значення параметра а цієї партії були поставлені на іспити n приладів; часи безвідмовної роботи виявилися рівними х₁,…,х_n. Методом моментів побудувати оцінку для а і довірчий інтервал з рівнем довіри Р_Д. Крім того, побудувати довірчий інтервал для числа М приладів, що мають час безвідмовної роботи менш 50 годин.

Варіанти вихідних даних

n
ÐД	0.95	0.99	0.95	0.99	0.95	0.99	0.95	0.99	0.95
à

 

Дані вимірювання одержати шляхом генерації випадкових величин з заданими параметрами.

Розв’язок(без висновку). Оцінка

;

довірчий інтервал для а

I_a = (, ),

де t₁=Q (2n, (1- Р_Д)/ 2), t₂=Q (2n, (1+Р_Д)/ 2) - квантилі розподілу хі-квадрат з 2n ступенями волі; довірчий інтервал для М

I_M = (N (1- exp (- )), N (1- exp (- ))).

Приклад 3.5. Деяка невідома відстань а вимірялося з адитивною випадковою помилкою e, розподіленої за законом Коші з щільністю

p _e (x) = , - ¥ < x < ¥.

За результатами х₁,…,х_n незалежних вимірів методом порядкових статистик побудувати оцінку для а і наближений довірчий інтервал з коефіцієнтом довіри Р_Д.

Варіанти вихідних даних

n
b
ÐД	0.95	0.98	0.95	0.98	0.96	0.98	0.95	0.98	0.95
a

Дані вимірювання одержати шляхом генерації випадкових величин з заданими параметрами.

Розв’язок(без висновку). Оцінкою для а є вибіркова медіана - порядкова статистика з номером[ n/2 ] + 1

,

або

(у цих статистик асимптотичні властивості однакові). Наближений довірчий інтервал, заснований на асимптотичному розподілі вибіркової р-квантилі

I =(),

де t_p=Q((1+Р_Д)/2) - квантиль порядку (1+ Р_Д)/2 розподілу N(0,1).

 

Задача 4. У водоймі живе деяка біологічна популяція, що складається із суміші істот двох віків. Довжина істоти - випадкова величина, розподілена по нормальному законі N(a_i, s_i² ), де i=1,2 - індекс, що відноситься до віку. З метою визначення частки q істот 1-го віку проведений вилов n істот і обмірюваний їхня довжина. За результатами х₁,…,х_n методом моментів побудувати оцінку для q і наближений довірчий інтервал з рівнем довіри Р_Д. Побудувати гістограму спостережень.

Варіанти вихідних даних

 

n
à1
à2
ÐÄ	0.95	0.95	0.98	0.95	0.95	0.98	0.95	0.95	0.98
q	0.5	0.4	0.3	0.5	0.4	0.3	0.5	0.4	0.3

 

Прийняти s₁=1див, s₂=1див. Виміру одержати моделюванням із заданим значенням q.

Розв’язок(без висновку):

I = (q₁, q₂ ),

 

,

a_n º ,

t_p - квантиль порядку (1+ Р_Д)/ 2 для N (0,1).

 

В

Варіаційним рядом називається така послідовність елементів вибірки
X ₁, X ₂, …, X_n , для якої виконується умова …

Випадкова величина X має розподіл Пуассона, якщоїї можливізначення 0, 1, 2, …m складають нескінченну, але лічильну множину, а відповідні ймовірності задаються наступною формулою з параметром а, який має зміст інтенсивності потоку, ….

Який з перелічених виразів правильно закінчує означення?

Випадкова величина X має експоненціальний розподіл, якщоїї
щільність ймовірності f(x) задається при x >0 наступною формулою з параметром а Який з перелічених виразів правильно закінчує означення?

Д

Дана вибірка X ₁, X ₂, …, X_n об’єму n з параметричного сімейства розподілів ℱ_q, qÎQ. Яка з перелічених формул не підходить для визначення оцінки параметра q^* за k- ммоментом?

Дана вибірка X ₁, X ₂, …, X_n об’єму n. Яка з функцій для оцінки параметра може бути названа статистикою?

Дана вибірка X ₁, X ₂, …, X_n об’єму n. Яка з оцінок невідомого параметра називається незміщеною?

Дана вибірка X ₁, X ₂, …, X_n об’єму n. Яка з оцінок невідомого параметра називається змістовною?

Для одної з вибірок отримані чотири різних незміщених оцінки невідомого параметру 1,12; 1.08; 1.23; 1.11, які представляють собою випадкові величини з відповідними дисперсіями 0,28; 0.30; 0.32; 0.26. Яка з оцінок є найбільш достовірною? 1,23

Для кожної з чотирьох різних вибірок отримані оцінки, що мають наступні дисперсії 0,28; 0.30; 0.32; 0.26 і відповідні зміщення 0,5; 0,3; 0,3; 0,4. Знайти середній квадрат помилки для кожної з оцінок. Оцінка з яким порядковим номером є найкращою? 2

Для вибірки з рівномірного розподілу U_0,θ об’ємом n обчислені середні квадрати помилок E_θ (q^* - θ)² і E_θ ( - θ)² дляоцінок за методом моментів q^* та за методом максимальної правдоподібності . У таблиці штучних результатів номери рядків співпадають з n. Який з рядків цієї таблиці є хибним? 4

n	Eθ (q^* - θ)^2	Eθ ( - θ)^2
	0.7	0.7
	0.035	0.035
	0.027	0.021
	0.016	0.018

 

Для визначення квантілі розподілу застосовується його ….

Яке з перелічених тверджень правильно продовжує речення?

 

Для нормального розподілу з математичним очікуванням а і дисперсією вибірка об’єму п маєвибіркове середнє , вибіркову дисперсію і незміщену вибіркову дисперсію S₀². Яка з перелічених випадкових величин належить до нормального стандартного розподілу?

Для нормального розподілу з математичним очікуванням а і дисперсією вибірка об’єму п маєвибіркове середнє , вибіркову дисперсію і незміщену вибіркову дисперсію S₀². Яка з перелічених випадкових величин належить до розподілу Н_n?

Для нормального розподілу з математичним очікуванням а і дисперсією вибірка об’єму п маєвибіркове середнє , вибіркову дисперсію і незміщену вибіркову дисперсію S₀². Яка з перелічених випадкових величин належить до розподілу Н_n-1?

Для нормального розподілу з математичним очікуванням а і дисперсією вибірка об’єму п маєвибіркове середнє , вибіркову дисперсію і незміщену вибіркову дисперсію S₀². Яка з перелічених випадкових величин належить до розподілу Т_n-1?

 

Для нормального розподілу з математичним очікуванням а і дисперсією вибірка об’єму п маєвибіркове середнє , вибіркову дисперсію і незміщену вибіркову дисперсію S₀². Яка з перелічених випадкових величин застосовна до побудови точного довірчого інтервалу для а при відомому ?

 

Для нормального розподілу з математичним очікуванням а і дисперсією вибірка об’єму п маєвибіркове середнє , вибіркову дисперсію і незміщену вибіркову дисперсію S₀². Яка з перелічених випадкових величин застосовна до побудови точного довірчого інтервалу для а при невідомому ?

Для нормального розподілу з математичним очікуванням а і дисперсією вибірка об’єму п маєвибіркове середнє , вибіркову дисперсію і незміщену вибіркову дисперсію S₀². Яка з перелічених випадкових величин застосовна до побудови точного довірчого інтервалу для при відомому а?

 

З

За вибіркою X_i, i= 1, …, n з розподілу ℱ, яка має безперервну функцію розподілу f,створена гістограма, що має k інтервалів, на яких побудовані прямокутники довжиною l_j та висотою f_j. Кожен з інтервалів А_j містить v_j елементів вибірки. При п для будь-якого j= 1,..., k мають місце тільки три з перелічених чотирьох властивостей гістограми. Яка з властивостей є хибною?

Н

Нехай - випадкова величина, що спостерігається у випадковому експерименті. Нехай після п -разового проведення експерименту в однакових умовах отримані значення випадкової величини X ₁, X ₂, …, X_n у 1-му, 2-му і т.д. експериментах. Нехай випадкова величина має розподіл ℱ. Вектор { X ₁, X ₂, …, X_n } називається вибіркою, якщо.. .. Яке з перелічених продовжувань цього означення є хибним?

Нехай X ₁, X ₂, …, X_n – вибірка об’єму п з невідомого розподілу ℱ з функцією розподілу F. Нехай F_n* - емпіричнафункція розподілу, що побудована за цією вибіркою. Тоді для будь-якого yÎ R …
Яке з перелічених співвідношень закінчує теорему Гливенко-Кантеллі?

Нехай X ₁, X ₂, …, X_n – вибірка об’єму п з невідомого розподілу ℱ з функцією розподілу F. Нехай F_n* - емпіричнафункція розподілу, що побудована за цією вибіркою. Тоді для будь-якого yÎ R …
Яке з перелічених співвідношень закінчує теорему Колмогорова?

Нижче подано доведення незміщенності оцінки  для першого моменту вибірки X ₁, X ₂, …, X_n (Лема 1). Який з шості знаків рівності, якщо рахувати їх зліва направо, є хибним в цьому доведенні?

Нижче подано доведення відомої формули для дисперсії: «дисперсія рівна середньому квадрату мінус квадрат середнього». Який з чотирьох знаків рівності, якщо рахувати їх зліва направо, є хибним в цьому доведенні?

На автоматичну телефонну станцію поступає простішій потік викликів з інтенсивністю 0,8 викл/хв. Знайти ймовірність того, що на протязі 2-х хвилин на станцію не поступить жодного виклику. До якого з перелічених чисел найбільш наближена визначена ймовірність?

0,6

Нехай 0.123, 0.248, 0.366, 0.63, 0.207 є вибіркою об’єму 5 з рівномірного розподілу U_0,θ Знайти оцінку верхньої межі розподілу θ* за першим моментом. До якого з перелічених нижче чисел найбільш наближена визначена оцінка?

 

Нехай 0.123, 0.248, 0.366, 0.63, 0.207 є вибіркою об’єму 5 з рівномірного розподілу U_0,θ Знайти оцінку верхньої межі розподілу θ* за першим моментом. Чи є знайдена оцінка незміщеною?

Так

Нехай 0.123, 0.248, 0.366, 0.63, 0.207 є вибіркою об’єму 5 з рівномірного розподілу U_0,θ Знайти оцінку верхньої межі розподілу θ* за першим моментом. Чи є знайдена оцінка змістовною?

Так

Нехай 2.083, 1.992, 1.914, 2.234, 2.256 є вибіркою об’єму 5 з нормального розподілу N_a,2 Знайти оцінку математичного очікування a* розподілу за першим моментом. До якого з перелічених нижче чисел найбільш наближена визначена оцінка?

 

 

Нехай 2.083, 1.992, 1.914, 2.234, 2.256 є вибіркою об’єму 5 з нормального розподілу N_a,2 Знайти оцінку математичного очікування a* розподілу за першим моментом. Чи є знайдена оцінка незміщеною?

Так

Нехай 2.083, 1.992, 1.914, 2.234, 2.256 є вибіркою об’єму 5 з нормального розподілу N_a,2 Знайти оцінку математичного очікування a* розподілу за першим моментом. Чи є знайдена оцінка змістовною?

Так

Нехай 2.083, 1.992, 1.914, 2.234, 2.256 є вибіркою об’єму 5 з нормального розподілу N_a,2 Знайти зміщену оцінку дисперсії розподілу за першим моментом. До якого з перелічених нижче чисел найбільш наближена визначена оцінка?

 

Нехай 2.083, 1.992, 1.914, 2.234, 2.256 є вибіркою об’єму 5 з нормального розподілу N_a,2 Знайти зміщену оцінку дисперсії розподілу за першим моментом. Чи є знайдена оцінка змістовною?

Так

Нехай 2.083, 1.992, 1.914, 2.234, 2.256 є вибіркою об’єму 5 з нормального розподілу N_a,2 Знайти незміщену оцінку дисперсії S₀² розподілу за першим моментом. До якого з перелічених нижче чисел найбільш наближена визначена оцінка?

 

Нехай 2.083, 1.992, 1.914, 2.234, 2.256 є вибіркою об’єму 5 з нормального розподілу N_a,2 Знайти незміщену оцінку дисперсії S₀² розподілу за першим моментом. Чи є знайдена оцінка змістовною?

Так

Нехай X ₁, X ₂, …, X_n – вибірка об’єму п з невідомого розподілу ℱ_q, qÎQ з функцією щільності розподілу f_q. Метод максимальної правдоподібності полягає у знаходженні такого значення q^*, яке відповідає екстремуму …

Яким з перелічених варіантів не можна закінчити означення?

Нехай 0, 0, 0, 1, 1 – вибірка об’єму 5 з розподілу Пуассона . Знайти оцінку максимальної правдоподібності інтенсивності потоку . До якого з перелічених чисел найбільш наближена знайдена інтенсивність? 0,4

Нехай 0.969, 0.59, 0.129, 0.863, 0.033 – вибірка об’єму 5 з рівномірного розподілу U_0,θ. Знайти оцінку максимальної правдоподібності верхньої межі щільності розподілу. До якого з перелічених чисел найбільш наближена знайдена межа?

Нехай випадкові величини і розподілені нормально з математичними очікуваннями a₁ і a₂ та дисперсіями σ₁² і σ₂² відповідно. Нехай також g – детермінована змінна величина. Яке з перелічених тверджень є хибним у розумінні стійкості за сумуванням?

Нехай X ₁, X ₂, …, X_n – вибірка об’єму п з розподілу N_a, Яка з перелічених випадкових величин має стандартний нормальний розподіл?

Нехай 0<p<1, q=1-p, m=0, 1,…, n – цілі невід’ємні числа, а С – біноміальний коефіцієнт. Дискретна випадкова величина Х має біноміальний розподіл, якщо ймовірність отримання нею значення т складає ….Який з перелічених виразів правильно закінчує означення?

Нехай ξ₀, ξ₁, …, ξ_k незалежні та мають стандартний нормальний розподіл. Розподіл якої з перелічених випадкових величин називається розподілом Ст’юдента з k ступенями вільності і позначається T_k?

П

При λ=1 гама-розподіл перетворюється в …

 

При цілому λ>0 гама-розподіл перетворюється в …

У

Укажіть, яке формулювання леми для вибіркового першого моменту є правильним?

 

Укажіть, яке формулювання леми для вибіркової дисперсії є правильним?

Укажіть, яке формулювання леми для вибіркового k- го моменту є правильним?

Ф

Функція I(X_i < y) = називається …

Індикатор події

Функція, яка називається індикатором подій, є випадковою функцією, що розподілена …

Функція розподілу для N_0,1 є …. Яке з перелічених тверджень правильно продовжує речення?

Я

Яка з перелічених задач вирішується за допомогою математичної статистики?

 

Яка з перелічених властивостей емпіричної функції розподілу F_n^* є хибною?

 

Яка з перелічених властивостей гістограми, побудованої за вибіркою
X ₁, X ₂, …, X_n об’ємом n, є хибною?

 

Який з перелічених варіантів формули Стерджесса, що задає залежність кількості інтервалів k від об’єму вибірки n при побудові гістограми,є хибним?

 

Яка таблиця з наведеного переліку не містить помилок?

Таблиця 1 – Теоретичні та емпіричні моменти

Яка з перелічених величин не може бути застосована для порівняння оцінок?

 

Які з перелічених виразів відповідають означенню точного довірчого інтервалу (θ ^-, θ⁺) для параметра θ рівня довіри 1- ?

Який з перелічених виразів описує щільність нормального розподілу f(x) з математичним очікуванням а і середнім квадратичним відхиленням σ?

Яка з перелічених функцій а f(x) називається функцією Лапласа?

Яка з перелічених нижче функцій щільності ймовірностей задає гама-розподіл?

 

Який з перелічених нижче виразів задає гама-функцію?

Яка з наступних формул застосовна для обчислення гама-функції натурального аргументу k?

 

Якщо ξ? N_0,1. то ….Який з наведений виразів правильно закінчує твердження Леми 7?

 

Якому з перелічених гама-розподілів належить випадкова величина, яка складає суму квадратів k незалежнихвеличин, розподілених за стандартним нормальним законом?

Який з перелічених розподілів називається розподілом χ² ступеня вільності k і позначається Н_k?

Який з розподілів для вибірки об’єму k 20 практично співпадає з нормальним?

 

 

1. Яка з перелічених задач вирішується за допомогою математичної статистики?