Монету підкидають 10 разів. Знайти ймовірність з’явлення точно 5 гербів. Яке з перелічених чисел найбільш наближається до шуканої ймовірності.

56.1. 0,3

 

57. Дана наступна вибірка з нормального розподілу:
0.1139, 1.0668, 0.0593, -0.0956, -0.8323, 0.2944, -1.3362, 0.7143, 1.6236. Побудувати точний довірчий інтервал рівня довіри 0.9, для математичного очікування а, якщо дисперсія σ²=1. Визначити верхню межу довірчого інтервалу.

57.1. 1,0

57.2. 1,5

57.3. 2,0

57.4. 2,5

57.5. 3,0

57.6. 3,5

 

58. Дана наступна вибірка з нормального розподілу:
-0.6918, 0.8580, 1.2540, -1.5937, -1.4410, 0.5711, -0.3999, 0.6900, 0.8156. Побудувати точний довірчий інтервал рівня довіри 0.9, для математичного очікування а. Визначити верхню межу довірчого інтервалу.

64.1 1,0

64.2 1,5

64.3 2,0

64.4 2,5

64.5 3,0

64.6 3,5

 

59. Дана наступна вибірка з нормального розподілу:
10.7119, 11.2902, 10.6686, 11.1908, 8.7975, 9.9802, 9.8433, 8.3959,10.2573. Побудувати точний довірчий інтервал рівня довіри 0.9, для дисперсії , якщо математичного очікування а =10. Визначити ширину довірчого інтервалу.

65.1 1,0

65.2 1,5

65.3 2,0

65.4 2,5

65.5 3,0

65.6 3,5

 

60. Дана наступна вибірка з нормального розподілу:
8.9435, 11.4151, 9.1949, 10.5287, 10.2193, 9.0781, 7.8293, 9.9408,8.9894. Побудувати точний довірчий інтервал для рівня довіри 0.9, для дисперсії . Визначити ширину довірчого інтервалу.

66.1 1,0

66.2 1,5

66.3 2,0

66.4 2,5

66.5 3,0

66.6 3,5

 

61. Нехай 0.950, 0.231, 0.606, 0.486, 0.891 є вибіркою об’єму 5 з рівномірного розподілу U_0,θ . Знайти оцінку верхньої межі розподілу θ* за першим моментом.

24.1 0,4

24.2 0,5

24.3 0,6

24.4 0,7

 

62. Нехай 1.1349, -1.3312, 2.2507, 2.5754, -0.2929 є вибіркою об’єму 5 з нормального розподілу N_a,2. Знайти оцінку математичного очікування a* розподілу за першим моментом.

25.1 1,0

25.2 1.5

25.3 2,0

25.4 2.5

 

63. Нехай 4.3818, 4.3783, 1.9247, 2.6546, 2.3493 є вибіркою об’єму 5 з нормального розподілу N_a,2. Знайти зміщену оцінку дисперсії розподілу за першим моментом.

26.1 0,01

26.2 0,02

26.3 0,03

26.4 0,04

 

64. Нехай 1.6266, 3.4516, 0.8234, 6.3664, 1.7272 є вибіркою об’єму 5 з нормального розподілу N_a,2. Знайти незміщену оцінку дисперсії S²₀ розподілу за першим моментом.

27.1 0,01

27.2 0,02

27.3 0,03

27.4 0,04

 

65. Нехай 2, 1, 0, 2, 1 – вибірка об’єму 5 з розподілу Пуассона . Знайти оцінку максимальної правдоподібності інтенсивності потоку .

29.1 0,1

29.2 0,2

29.3 0,3

29.4 0,4

 

66. Нехай 0.9355, 0.9169, 0.4103, 0.8936, 0.0579 – вибірка об’єму 5 з рівномірного розподілу U_0,θ. Знайти оцінку максимальної правдоподібності верхньої межі щільності розподілу.

30.1 0,6

30.2 0,8

30.3 1,0

30.4 1,2

 

 

58. Яка з перелічених задач вирішується за допомогою математичної статистики?

58.1. Відомі результати п’яті вимірювань в однакових умовах одної і тої самої величини, що розподілена нормально. Яким буде найбільш ймовірне значення цієї величини?

 

59. Нехай - випадкова величина, що спостерігається у випадковому експерименті. Нехай після п -разового проведення експерименту в однакових умовах отримані значення випадкової величини X ₁, X ₂, …, X_n у 1-му, 2-му і т.д. експериментах. Нехай випадкова величина має розподіл F. Вектор { X ₁, X ₂, …, X_n } називається вибіркою, якщо...
Яке з перелічених продовжувань цього означення є хибним?

59.1. … якщо X ₁, X ₂, …, X_n є набором чисел, що є значеннями випадкової величини у п незалежних експериментах.

59.2. … якщо X ₁, X ₂, …, X_n є набором з п незалежних і однаково розподілених випадкових величин, що мають, як и , розподіл F.

59.3. … якщо розподіл F є повністю невідомим.

59.4. … якщо розподіл F є повністю відомим.

 

60. Функція
I(X_i < y) =

називається …

60.1. … індикатором події

 

61. Функція, яка називається індикатором подій, є випадковою функцією, що розподілена …

61.1. … за законом Бернуллі.

 

62. Варіаційним рядом називається така послідовність елементів вибірки X ₁, X ₂, …, X_n, для якої виконується умова …

62.1. … X ₁≤ X ₂≤ …≤ X_n.

 

63. Яка з перелічених властивостей емпіричної функції розподілу F_n^* є хибною?

63.1. Ординатою емпіричної функції розподілу є ймовірність події (Х_і<y).

 

64. Яка з перелічених властивостей гістограми, побудованої за вибіркою
X ₁, X ₂, …, X_n об’ємом n, є хибною?

64.1. Висота прямокутника на A_j складає v_j / l_j, де l_j – довжина інтервалу A_j.

65. Який з перелічених варіантів формули Стерджесса, що задає залежність кількості інтервалів k від об’єму вибірки n при побудові гістограми,є хибним?

65.1. k = 1 + lg2*lg n

 

66. Яка таблиця з наведеного переліку не містить помилок?

 

66.1. Таблиця 1 – Теоретичні та емпіричні моменти

Назва моменту	Теоретичні	Емпіричні (вибіркові)
1. Перший початковий момент, математичне очікування 2. Другій центральний момент, дисперсія   3. Початковий k- й момент	E = EX 1 = a   D = DX 1 =     E = EX 1 ^k = mk	 = ^* = )^2 – зміщена дисперсія S0^2= )^2 – незміщена дисперсія =

66.2. Таблиця 2 – Теоретичні та емпіричні моменти

Назва моменту	Теоретичні	Емпіричні (вибіркові)
1. Перший початковий момент, математичне очікування 2. Другій центральний момент, дисперсія   3. Початковий k- й момент	E = EX 1 = a   D = DX 1 =     E = EX 1 ^k = mk	 = ^* = )^2 – зміщена дисперсія S0= ) – незміщена дисперсія =

 

66.3. Таблиця 3 – Теоретичні та емпіричні моменти

Назва моменту	Теоретичні	Емпіричні (вибіркові)
1. Перший початковий момент, математичне очікування 2. Другій центральний момент, дисперсія   3. Початковий k- й момент	E = EX 1 = a   D = DX 1 =     E = EX 1 ^k = mk	 = ^* = ) – зміщена дисперсія S0^2= )^2 – незміщена дисперсія =

66.4. Таблиця 4 – Теоретичні та емпіричні моменти

Назва моменту	Теоретичні	Емпіричні (вибіркові)
1. Перший початковий момент, математичне очікування 2. Другій центральний момент, дисперсія   3. Початковий k- й момент	E = EX 1 = a   D = DX 1 =     E = EX 1 ^k = mk	 = ^* = )^2 – зміщена дисперсія S0^2= )^2 – незміщена дисперсія =

 

67. Нехай X ₁, X ₂, …, X_n – вибірка об’єму п з невідомого розподілу F з функцією розподілу F. Нехай F_n* - емпіричнафункція розподілу, що побудована за цією вибіркою. Тоді для будь-якого yÎ R …
Яке з перелічених співвідношень закінчує теорему Гливенко-Кантеллі?

67.1. … | F_n^*(y)- F(y)| 0 при п .

68. Нехай X ₁, X ₂, …, X_n – вибірка об’єму п з невідомого розподілу F з функцією розподілу F. Нехай F_n* - емпіричнафункція розподілу, що побудована за цією вибіркою. Тоді для будь-якого yÎ R …
Яке з перелічених співвідношень закінчує теорему Колмогорова?

68.1. … | F_n^*(y)- F(y) | Þ при п ,
де ? K(x) = .

 

69. Монету підкидають 10 разів. Знайти ймовірність з’явлення точно 5 гербів. Яке з перелічених чисел найбільш наближається до шуканої ймовірності?

69.1. 0,2

69.2. 0,25

69.3. 0,3

69.4. 0,35

70. За вибіркою X_i, i= 1, …, n з розподілу F, яка має безперервну функцію розподілу f,створена гістограма, що має k інтервалів, на яких побудовані прямокутники довжиною l_j та висотою f_j. Кожен з інтервалів А_j містить v_j елементів вибірки. При п для будь-якого j= 1,..., k мають місце тільки три з перелічених чотирьох властивостей гістограми. Яка з властивостей є хибною?

70.1. l_jf_j P(X_iÎA_j)

70.2. l_jf_j

70.3. v_j /n

70.4. l_jf_j v_j /n

71. Нижче подано доведення незміщенності оцінки  для першого моменту вибірки X ₁, X ₂, …, X_n (Лема 1). Який з шості знаків рівності, якщо рахувати їх зліва направо, є хибним в цьому доведенні?

E = E( ) = = = EX ₁ = EX₁ = a.

72. Нижче подано доведення відомої формули для дисперсії: «дисперсія рівна середньому квадрату мінус квадрат середнього». Який з чотирьох знаків рівності, якщо рахувати їх зліва направо, є хибним в цьому доведенні?
D = = - 2 E + =
= E - 3 E E + 2 (E )² = E - (E )².

73. Укажіть, яке формулювання леми для вибіркового першого моменту є правильним?

73.1. EX = E ₁ = a; X E ₁ = a

73.2. E = EX ₁ = a;  EX ₁ =a

73.3. EX = E ₁ = a;  EX ₁ =a

73.4. E = EX₁ = a; X E ₁ = a

74. Укажіть, яке формулювання леми для вибіркової дисперсії є правильним?

74.1. E * DX ₁ = ; ES₀² = DX ₁ = ;
* DX ₁ = ; S₀² DX ₁ =

74.2. E * DX ₁ ; ES₀² = DX ₁ = ;
* DX ₁ = ; S₀² DX ₁ =

74.3. E * = DX ₁ = ; ES₀² DX ₁ = ;
* DX ₁ = ; S₀² DX ₁ =

74.4. E * = DX ₁ = ; ES₀² = DX ₁ = ;
* DX ₁ = ; S₀² DX ₁ =

75. Укажіть, яке формулювання леми для вибіркового k- го моменту є правильним?

75.1. = EX ₁ ^k = m_k; EX ₁ ^k = m_k

75.2. E = EX ₁ ^k = m_k; EX ₁ ^k = m_k

75.3. E = EX ₁ ^k = m_k; EX ₁ ^k = m_k

75.4. = EX ₁ ^k = m_k; EX ₁ ^k = m_k

76. На автоматичну телефонну станцію поступає простішій потік викликів з інтенсивністю 0,8 викл/хв. Знайти ймовірність того, що на протязі 2-х хвилин на станцію не поступить жодного виклику. До якого з перелічених чисел найбільш наближена визначена ймовірність?

76.1. 0,2

76.2. 0,4

76.3. 0,6

76.4. 0,8

77. Дана вибірка X ₁, X ₂, …, X_n об’єму n з параметричного сімейства розподілів F_q, qÎQ. Яка з перелічених формул не підходить для визначення оцінки параметра q^* за k- ммоментом?

77.1. ()

77.2. = h()

77.3. ()

77.4. (E_q X^k₁)

78. Дана вибірка X ₁, X ₂, …, X_n об’єму n. Яка з функцій для оцінки параметра може бути названа статистикою?

78.1. =

78.2. =

78.3. =

78.4. =

79. Дана вибірка X ₁, X ₂, …, X_n об’єму n. Яка з оцінок невідомого параметра називається незміщеною?

79.1.

79.2.

79.3. при п®¥

79.4. при п®¥

80. Дана вибірка X ₁, X ₂, …, X_n об’єму n. Яка з оцінок невідомого параметра називається змістовною?

80.1.

80.2.

80.3. при п®¥

80.4. при п®¥

24. Нехай 0.950, 0.231, 0.606, 0.486, 0.891 є вибіркою об’єму 5 з рівномірного розподілу U_0,θ . Знайти оцінку верхньої межі розподілу θ* за першим моментом.

24.5 0,4

24.6 0,5

24.7 0,6

24.8 0,7

25. Нехай 1.1349, -1.3312, 2.2507, 2.5754, -0.2929 є вибіркою об’єму 5 з нормального розподілу N_a,2. Знайти оцінку математичного очікування a* розподілу за першим моментом.

25.1 1,0

25.2 1.5

25.3 2,0

25.4 2.5

26. Нехай 4.3818, 4.3783, 1.9247, 2.6546, 2.3493 є вибіркою об’єму 5 з нормального розподілу N_a,2. Знайти зміщену оцінку дисперсії розподілу за першим моментом.

26.1 0,01

26.2 0,02

26.3 0,03

26.4 0,04

27. Нехай 1.6266, 3.4516, 0.8234, 6.3664, 1.7272 є вибіркою об’єму 5 з нормального розподілу N_a,2. Знайти незміщену оцінку дисперсії S²₀ розподілу за першим моментом.

27.1 0,01

27.2 0,02

27.3 0,03

27.4 0,04

28. Нехай X ₁, X ₂, …, X_n – вибірка об’єму п з невідомого розподілу F_q, qÎQ з функцією щільності розподілу f_q. Метод максимальної правдоподібності полягає у знаходженні такого значення q^*, яке відповідає екстремуму …

Яким з перелічених варіантів не можна закінчити означення?

28.2 … функції f_q (X_i)

28.3 … функції

28.4 … функції q^* -q)²

28.5 … ймовірності отримати задану вибірку X ₁, X ₂, …, X_n

29. Нехай 2, 1, 0, 2, 1 – вибірка об’єму 5 з розподілу Пуассона . Знайти оцінку максимальної правдоподібності інтенсивності потоку .

29.5 0,1

29.6 0,2

29.7 0,3

29.8 0,4

30. Нехай 0.9355, 0.9169, 0.4103, 0.8936, 0.0579 – вибірка об’єму 5 з рівномірного розподілу U_0,θ. Знайти оцінку максимальної правдоподібності верхньої межі щільності розподілу.

30.5 0,6

30.6 0,8

30.7 1,0

30.8 1,2

31. Яка з перелічених величин не може бути застосована для порівняння оцінок? (1)

31.2 | |

31.3 E ( )²

31.4 E | |

31.5 E ( )⁴

32. Для одної з вибірок отримані чотири різних незміщених оцінки невідомого параметру 1,12; 1.08; 1.23; 1.11, які представляють собою випадкові величини з відповідними дисперсіями 0,28; 0.30; 0.32; 0.26. Яка з оцінок є найбільш достовірною?

32.2 1,12

32.3 1,08

32.4 1,23

32.5 1,11

33. Для кожної з чотирьох різних вибірок отримані оцінки, що мають наступні дисперсії 0,28; 0.30; 0.32; 0.26 і відповідні зміщення 0,5; 0,3; 0,3; 0,4. Знайти середній квадрат помилки для кожної з оцінок. (0,53; 0,39; 0,41; 0,42) Оцінка з яким порядковим номером є найкращою?

34. Для вибірки з рівномірного розподілу U_0,θ об’ємом n обчислені середні квадрати помилок E_θ (q^* - θ)² і E_θ ( - θ)² дляоцінок за методом моментів q^* та за методом максимальної правдоподібності . У таблиці штучних результатів номери рядків співпадають з n. Який з рядків цієї таблиці є хибним?

 

n	Eθ (q^*-θ)^2	Eθ ( - θ)^2
	0.7	0.7
	0.035	0.035
	0.027	0.021
	0.016	0.018

35. Нехай випадкові величини і розподілені нормально з математичними очікуваннями a₁ і a₂ та дисперсіями σ₁² і σ₂² відповідно. Нехай також g – детермінована змінна величина. Яке з перелічених тверджень є хибним у розумінні стійкості за сумуванням?

35.1. Сума c + d має нормальний розподіл з математичним очікуванням ca₁ + da₂.

35.2. Сума d + g має нормальний розподіл з математичним очікуванням da₂ + g.

35.3. Сума d + g має нормальний розподіл з дисперсією
d² σ₂² + g².

35.4. Сума c + d має нормальний розподіл з дисперсією
c²σ₁² + d²σ₂².

36. Нехай X ₁, X ₂, …, X_n – вибірка об’єму п з розподілу N_a, Яка з перелічених випадкових величин має стандартний нормальний розподіл?

36.1.

36.2.

36.3.

36.4.

37. Які з перелічених виразів відповідають означенню точного довірчого інтервалу (θ ^-, θ⁺) для параметра θ рівня довіри 1- ?

37.1. P(θ ^- < θ < θ⁺) 1-

37.2. P((θ ^-, θ⁺) э θ) 1-

37.3. P(θ ^- < θ < θ⁺) 1-

37.4. P((θ ^-, θ⁺) э θ) 1-

38. Який з перелічених виразів описує щільність нормального розподілу f(x) з математичним очікуванням а і середнім квадратичним відхиленням σ?

38.1. f(x) = (1/ ) exp(-(x-a)²/(2σ²))

38.2. f(x) = (1/ ) exp(-(x-a)²/(2σ²))

38.3. f(x) = (1/ ) exp(-(x-a)²/(2σ))

38.4. f(x) = (1/ ) exp(-(x-a)²/(2σ²))

39. Нехай 0<p<1, q=1-p, m=0, 1,…, n – цілі невід’ємні числа, а С – біноміальний коефіцієнт. Дискретна випадкова величина Х має біноміальний розподіл, якщо ймовірність отримання нею значення т складає …
Який з перелічених виразів правильно закінчує означення?

39.1. … P_m = C_n^mpⁿ q^m

39.2. … P_m = C_mⁿ pⁿq^n-m

39.3. … P_m = C_n^mp^n-mqⁿ

39.4. … P_m = C_n^mp^mq^n-m

40. Випадкова величина X має розподіл Пуссона, якщоїї можливізначення 0, 1, 2, …m… складають нескінченну, але лічильну множину, а відповідні ймовірності задаються наступною формулою з параметром а, який має зміст інтенсивності потоку, …
Який з перелічених виразів правильно закінчує означення?

40.1. …P_m = (a^m/m!) exp(-a)

40.2. …P_m = (a^m/m!) exp(-aт)

40.3. …P_m = (a^m/m!) exp(-a/m)

40.4. …P_m = (a^m/m!) exp(-т/а)

41. Випадкова величина X має експоненціальний розподіл, якщоїї
щільність ймовірності f(x) задається при x >0 наступною формулою з параметром а …
Який з перелічених виразів правильно закінчує означення?

41.1. …f(x) = a exp(-ax)

41.2. …f(x) = a exp(-x)

41.3. …f(x) = x exp(-x)

41.4. …f(x) = x exp(-ax)

42. Яка з перелічених функцій а f(x) називається функцією Лапласа?

42.1. f(x) =

42.2. f(x) =

42.3. f(x) =

42.4. f(x) =

43. Функція розподілу для N_0,1 є …
Яке з перелічених тверджень правильно продовжує речення?

43.1. … Гама-функцією

43.2. … функцією Гевісайда

43.3. … функцією Лапласа

43.4. … одиничною функцією

44. Для визначення квантілі розподілу застосовується його …
Яке з перелічених тверджень правильно продовжує речення?

44.1. … функція розподілу

44.2. … щільність ймовірності

44.3. … функція, обернена до функції розподілу

44.4. … функція, обернена до щільності ймовірності

45. Яка з перелічених нижче функцій щільності ймовірностей задає гама-розподіл?

45.1.

45.2.

45.3.

45.4.

46. Який з перелічених нижче виразів задає гама-функцію?

46.1.

46.2.

46.3.

46.4.

47. При λ=1 гама-розподіл перетворюється в …

47.1. … розподіл Пуассона.

47.2. … розподіл Ерланга.

47.3.... розподіл Ст’юдента.

47.4. … експоненціальний розподіл.

48. При цілому λ>0 гама-розподіл перетворюється в …

48.1. … розподіл Пуассона.

48.2. … розподіл Ерланга.

48.3. … розподіл Ст’юдента.

48.4. … експоненціальний розподіл.

49. Яка з наступних формул застосовна для обчислення гама-функції натурального аргументу k?

49.1.

49.2.

49.3.

49.4.

50. Якщо ξ? N_0,1. то …
Який з наведений виразів правильно закінчує твердження Леми 7?

50.1. … ξ² ? Γ_{1/2, 1/2}

50.2. … ξ² ? Γ_{1/2, 1}

50.3. … ξ^1/2 ? Γ_{1/2, 1/2}

50.4. … ξ^1/2 ? Γ_{1/2, 1}

51. Якому з перелічених гама-розподілів належить випадкова величина, яка складає суму квадратів k незалежнихвеличин, розподілених за стандартним нормальним законом?

51.1. … Γ_{1/2, k}

51.2. … Γ_{1/2, k/2}

51.3. … Γ_{1, k}

51.4. … Γ_{1, k/2}

52. Який з перелічених розподілів називається розподілом χ² ступеня вільності k і позначається Н_k?

52.1. розподіл Γ_{1/2, k/2}

52.2. розподіл Γ_{1/2, k}

52.3. розподіл Г_1,k/2

52.4. розподіл Г _{1, k}

53. Нехай ξ₀, ξ₁, …, ξ_k незалежні та мають стандартний нормальний розподіл. Розподіл якої з перелічених випадкових величин називається розподілом Ст’юдента з k ступями вільності і позначається T_k?

53.1.

53.2.

53.3.

53.4.

54. Який з розподілів для вибірки об’єму k 20 практично співпадає з нормальним?

54.1. експоненціальний розподіл

54.2. розподіл Пуассона

54.3. розподіл Ерланга

54.4. розподіл Ст’юдента

55. Для нормального розподілу з математичним очікуванням а і дисперсією вибірка об’єму п маєвибіркове середнє , вибіркову дисперсію і незміщену вибіркову дисперсію S₀². Яка з перелічених випадкових величин належить до нормального стандартного розподілу?

55.1.

55.2.

55.3.

55.4.

56. Для нормального розподілу з математичним очікуванням а і дисперсією вибірка об’єму п маєвибіркове середнє , вибіркову дисперсію і незміщену вибіркову дисперсію S₀². Яка з перелічених випадкових величин належить до розподілу Н_n?

56.1.

56.2.

56.3.

56.4.

57. Для нормального розподілу з математичним очікуванням а і дисперсією вибірка об’єму п маєвибіркове середнє , вибіркову дисперсію і незміщену вибіркову дисперсію S₀². Яка з перелічених випадкових величин належить до розподілу Н_n-1?

57.1.

57.2.

57.3.

57.4.

58. Для нормального розподілу з математичним очікуванням а і дисперсією вибірка об’єму п маєвибіркове середнє , вибіркову дисперсію і незміщену вибіркову дисперсію S₀². Яка з перелічених випадкових величин належить до розподілу Т_n-1?

58.1.

58.2.

58.3.

58.4.

59. Для нормального розподілу з математичним очікуванням а і дисперсією вибірка об’єму п маєвибіркове середнє , вибіркову дисперсію і незміщену вибіркову дисперсію S₀². Яка з перелічених випадкових величин застосовна до побудови точного довірчого інтервалу для а при відомому ?

59.1.

59.2.

59.3.

59.4.

60. Для нормального розподілу з математичним очікуванням а і дисперсією вибірка об’єму п маєвибіркове середнє , вибіркову дисперсію і незміщену вибіркову дисперсію S₀². Яка з перелічених випадкових величин застосовна до побудови точного довірчого інтервалу для а при невідомому