Похідна векторної функції за скалярним аргументом

ЧАСТИНА II. КІНЕМАТИКА

РОЗДІЛ 8. КІНЕМАТИКА ТОЧКИ

Вступ до кінематики

Кінематикою називається розділ теоретичної механіки, в якому вивчаються властивості руху тіл без врахування їх інертності (маси) і діючих на них сил.

Цей розділ механіки спирається на ті основні положення гео­метрії, які визначають просторові співвідношення, необхідні при ви­вченні механічного руху. На відміну від геометрії, тут приймається до уваги ще і час руху.

Таким чином, механічні рухи, що вивчаються в механіці, змі­нюються в просторі і часі.

Нагадаємо, що в теоретичній механіці рух реальних фізичних тіл вивчається з допомогою таких абстракцій: матеріальної точки, абсолютно твердого тіла (твердого тіла), системи матеріальних точок; в розділі кінематики вони вивчаються з геометричної точки зору. Іншими словами, реальні фізичні тіла в кінематиці розглядаються як їх геометричні образи (досліджується фактично не матеріальна точ­ка, а геометрична).

Положення такого геометричного образу в просторі визнача­ється відносно довільно вибраного другого тіла, що називається тілом відліку. Сукупність тіла відліку і зв'язаних з ним систем координатних осей та часу називається системою відліку. Системи відліку можуть бути або нерухомими, відносно деякої так званої абсолютної систем відліку (вона вважається нерухомою), або рухомими відносно остан­ньої будь-яким чином.

У множині систем відліку, в яких можна постулювати простір та час як абсолютні, виділяються так звані інерціальні системи від­ліку. Саме в них ізольована матеріальна точка може необмежене дов­го перебувати у стані спокою або рівномірного прямолінійного ру­ху.

Усі інші системи, на які не поширюються вказані властивості, називаються неінерціальними. Рух геометричного образу відносно обраної системи відліку вважається відомим, якщо можна визначити його положення в будь-який довільний момент часу. Час в механіці вважається універсальним, тобто таким, який протікає однаково у всіх системах відліку, що розглядаються. Одиниця часу - секунда. Час являється скалярною неперервною змінною величиною. В задачах кінема­тики час t приймають за незалежну змінну (аргумент). Всі інші змінні величини (відстані, швидкості, прискорення і т.д.) розглядають як змінні з часом, тобто як функції t. Відлік проводиться від початкового моменту (t = 0), про вибір якого в кожному випадку обумовлюється.

Рух геометричного образу відносно обраної системи відліку вважається відомим, якщо можна визначити його положення у будь-який довільний момент часу.

Положення геометричного образу відносно даної системи відліку визначається відповідними параметрами, а його рух - рівнян­нями, що виражають ці параметри як функції часу.

Встановлення способів, за допомогою яких можна задати рух геометричного образу відносно вибраної системи відліку, є однією із задач кінематики.

Основна задача кінематики полягає в тому, щоб за кіне­матичними залежностями руху даного геометричного образу визна­чити всі кінематичні характеристики цього руху (траєкторії точок, їхні лінійні швидкості та прискорення; кутові швидкість та прискорен­ня тіла).

Неперервну криву, яку описує точка в своєму русі, називають траєкторією точки.

Якщо траєкторія є прямою лінією, то рух називається прямолі­нійним, а якщо кривою - криволінійним. При русі тіла всі його точки, в загальному випадку, здійснюють різні рухи. Тому вивченню руху тіла повинно передувати вивчення руху точки.

 

 

Способи опису руху точки

Рівняння, що дозволяють визначи­ти положення точки у вибраній системі відліку в будь-який момент часу, назива­ється кінематичними залежностями руху точки.

Ці рівняння мають різний вигляд, залежно від способу визначення руху точ­ки. Для опису криволінійного руху точки можна застосувати один з трьох способів: векторний, координатний та натуральний.

При векторному способі опису руху положення точки у вибраній системі відліку в довільний момент часу визначається радіус-вектором, відносно деякої фіксованої точки О - полюса (рис. 8.1), тобто,

Рис. 8.1

(8.1)

Якщо будувати функцію в різні моменти часу t₁, t₂,..., t_n, то геометричним місцем кінців М₁, М₂,..., М_і,..., М_n, буде крива, яка називається траєкторією рухомої точки (рис. 8.2). От­же, співвідношення (1.1) можна розглядати як рівняння траєкторії точ­ки. Задати вектор, як функцію часу - це означає вміти находити його величину і напрям в будь-який момент часу. Це можна зробити, якщо вибрана будь-яка система координат. Тобто, завдання радіуса-вектора як функції часу, обов'язково передбачає наявність системи координат, але в той самий час не зв'язує нас із конкретною системою координат. Ця обставина дозволяє широко використовувати завдання радіуса-вектора як функції часу для одержання основних кінематичних харак­теристик руху.

Для розв'язування конкретних задач, зазвичай, переходять від вектор­ного способу до координатного або натурального способів завдання руху.

При координатному спосо­бі опису руху положення точки М в довільний момент часу визначається її координатами у вибраній системі коор­динат (декартовій, циліндричній, сфери­чній тощо), незмінно пов'язаній з тілом відліку.

У прямокутній декартовій сис­темі координат положення точки М визначається координатами x,y,z (рис. 8.3) як функціями часу.

(8.2)

Співвідношення (8.2) називаються кінематичними рівняннями руху точки у координатній декартовій формі, їх можна розглядати як рівняння траєкторії точки у параметричній формі (параметром є час t).

Зв'язок між векторним та координатним декартовим спосо­бами опису руху точки задається співвідношенням:

Рис. 8.3 Рис. 8.4

 

(8.3)

де - орти (одиничні вектори) системи координат Oxyz (рис. 8.3).

У сферичній системі координат, положення точки визна­чається полярним радіусом r, полярним кутом φ між віссю Ох і напрямом ОМ’ (М’ - проекція точки М на площину Оху, кутом θ між ОМ' і ОМ (рис. 8.4). В процесі руху точки величини r,φ,θзмінюються - вони є функціями часу:

(8.4)

Співвідношення (8.4) називають кінематичними рівнян­нями руху точки у координатній сферичній формі. Зв'язок між коор­динатним декартовим і координатним сферичним способами опису руху точки задається співвідношеннями:

(8.5)

У циліндричній системі координат (рис. 8.4) положення точки визначається радіусом р, кутом φ між віссю Ох та ОМ' (азиму­том), координатою z = MM'. В процесі руху ці величини змінюються як функції часу:

(8.6)

Співвідношення (8.6) називають кінематичними рівнян­нями руху точки у координатній циліндричній формі.

Зв'язок між координатним декартовим і координатним цилін­дричним способами опису руху точки такий:

(8.7)

При дослідженні руху точки на площині використовується також поля­рна система координат (рис. 8.5). Поля­рними координатами точки є радіус r і кут φ є процесі руху точки вони є

функціями часу:

(8.8)

Співвідношення (8.8) називається кіне­матичними рівняннями руху точки у координатній полярній формі.

Рис. 8.5

Зв'язок між координатним де­картовим та координатним полярним способами опису руху точки задається співвідношеннями:

(8.9)

Рівняння руху точки (8.2) є одночасно і рівняннями траєкторії точки в параметричній формі, де роль параметра відіграє час t. Для того, щоб одержати рівняння траєкторії у координатній формі, необ­хідно з рівнянь руху виключити час t.

Нехай, наприклад, рух точки в площині ху описаний рівнян­нями:

де а,b,с - постійні величини.

З першого рівняння визначаємо і підставляємо його в друге рівняння . Це рівняння параболи. Однак траєкторією буде не вся парабола, а тільки її права гілка (при t = 0; х = 0; у = с), оскільки час додатний і безперервно зростає (рис. 8.6). Такий метод виключення часу не єдиний. Існують й інші способи. Напри­клад, рух точки описаний рівняннями:

де а,b,ω - постійні величини.

Рис. 8.6

Зведемо до квадрата ліву і праву частини рівнянь і складемо:

 

Рис. 8.7 Рис. 8.8

Це рівняння еліпса з напівосями а і b (рис. 8.7).

Натуральний спосіб опису руху точки застосовується тоді, коли траєкторія точки заздалегідь відома.

Положення точки у вибраній системі відліку визначають такі елементи (рис. 8.8):

а) просторова крива АВ (траєкторія точки).

б) початок відліку О дугової координати σ.

в) додатний напрям відліку дугової координати;

г) дугова координата σ на кривій.

В процесі руху точки М дугова координата σ змінюється за часом:

(8.10)

Співвідношення (8.10) називається кінематичним рівнян­ням руху точки у натуральній формі.

Не можна змішувати кінематичні рівняння з рівнянням траєк­торії. Крива, побудована на площині (σ, t) та виражає залежність називається графіком руху. Якщо рух точки проходить в сторону зростання дуги σ, то диференціал дуги буде додатним, якщо рух проходить в бік зменшення дуги, то d σбуде від'ємним. Відзначимо, що шлях S, який проходить точка, весь час буде зростати і, отже, додатний, тобто,

Встановимо зв'язок між координатами, декартовим і натура­льним способами опису руху точки.

Нехай рух точки описаний рівняннями (8.2). Виключаючи з цих рівнянь час t. одержимо рівняння траєкторії. Знайдемо тепер за­кон руху .

З курсу диференціальної геометрії відомо, що елемент дуги траєкторії d σвизначається виразом:

(8.11)

де dx,dy,dz - диференціали координат точки.

тоді формулу (1.12) можна записати у вигляді:

(8.11а)

Інтегруючи цей вираз в інтервалі від t = О (початок руху) до будь-якого моменту t, одержимо закон руху:

(8.12)

Знак „+" перед інтегралом слід вибирати в тому випадку, коли рух проходить в бік додатного відліку дугової координати, та „-" при русі точки в бік від'ємного відліку дугової координати.

 

Рис. 8.9

На годографі (рис. 8.9) вектор спрямований по хорді, тобто по січній MM₁, граничне положення якої при ∆u → 0 (точка прямує до точки М) збігається з дотичною до годографа ве­ктора у точці М.

Вектор характеризує швидкість зміни вектора при зміні його аргументу і спрямований по дотичній до годографа, яка проведена у бік зростання значення скалярного аргументу. Якщо век­тор виразити через його проекції а_x,а_y, а_z, на нерухомі осі Ox,Oy,Oz, тобто , то враховуючи, що орти є сталими величинами, дістаємо

(8.14)

Отже, похідна вектора за скалярним аргументом являє собою вектор, проекції якого на нерухомі осі дорівнюють похідним за тим самим аргументом від проекцій диференційованого вектора.

Модуль похідної визначається з рівності

(8.5)

Подамо без доведення властивості похідної вектора за скаляр­ним аргументом:

1. Похідна від постійного за величиною і напрямом вектора дорівнює нулю.

2. Похідна від суми векторів дорівнює сумі похідних, тобто,

(8.16)

3. Похідні від скалярного і векторного добутків векторів від­повідно визначаються виразами:

(8.17)

Перейдемо тепер до визначення поняття швидкості руху точки і методу її знаходження.

 

Швидкість точки

Рис. 8.10

Рис. 8.11

 

Розглянемо вектори швидкостей (рис. 8.11, а) руху точки М по траєкторії. Виберемо довільну нерухому точку О’ (рис. 8.11) та перенесемо всі вектори швидкості паралельно так, щоб їхні початки збігалися з точкою О’. Оскільки вектор змінюється за часом, то кінці перенесених векторів утворюють неперервну криву, яка називається годографом вектора швидкості.

Рис. 8.14

 

Оскільки границя відношення дуги до стягуючої її хорди дорі­внює за модулем одиниці, а граничне положення січної ММ₁ співпа­дає з напрямком до дотичної до кривої в точці М, то

де - одиничний вектор, направлений по дотичній до кривої.

Направлений одиничний вектор дотичної завжди в сторо­ну додатного відліку дуги σ. Дійсно, якщо то вектор направлений в сторону (рис. 8.14.а), а при вектор направлений в сторону, протилежну (рис. 8.14,6). В обох випадках цей вектор, а отже і його границя , направлений в сторону зростання дуги σ.

Приймаючи до уваги, що

маємо

Проектуючи вектор швидкості на напрям , одержимо

, отже

(8.29)

Очевидно, що v_𝜏 = v, якщо рух точки проходить в бік додат­ного відліку дуги і v_𝜏 = -v, якщо рух точки проходить в протилежну сторону, отже

Так як шлях, що проходить точка, завжди додатний, то елемент шляху

і, отже, модуль швидкості можна визначити за формулою:

Прискорення точки

Рис. 8.15

 

Рис. 8.16

 

(8.36)

Беручи до уваги формули (8.26) та (8.27), отримаємо:

(8.37)

Цей вираз являє собою розклад вектора прискорення точки на радіальний і трансверсальний напрями (рис. 8.16).

Відповідні складові прискорення позначимо через і .

Тоді,

(8.38)

Де (8.39)

Модуль та напрям вектора прискорення точки у полярних координатах визначаються за формулами:

(8.40)

(8.41)

 

 

Рис. 8.17

Розглянемо просторову криву. Нехай буде одиничним век­тором дотичної, проведеної в деякій точці М кривої (рис. 8.17).

 

Рис. 8.18

 

Візьмемо на кривій точку М₁, близьку до точки М і проведе­мо одиничний вектор дотичний цій точці . Перенесемо вектор в точку М і проведемо площину через вектори і , прикладені в точці М. При наближенні точки М₁ до точки М ця площина буде повертатись навколо і в границі займе певне положення. Одержану таким чином площину називають стичною. Через точку М проведе­мо площину, перпендикулярну до дотичної ; вона називається нор­мальною площиною (рис. 8.18). Очевидно, що будь-яка пряма у цій площині, яка проходить через точку М, буде перпендикулярна до тобто буде нормаллю до кривої. Отже, головна нормаль - це одна з не­скінченної множини нормалей до кривої в точці М, яка лежить в сти­чній площині. Площина, що проходить через точку М перпендикуля­рно до головної нормалі, називається спрямною. Лінія перетину спря­мляючої та нормальної площин визначає бінормаль кривої. Очевидно, що бінормаль перпендикулярна до головної нормалі.

Таким чином, у кожній площині кривої можна вказати три взає­мно перпендикулярні напрямки, за якими можна провести дотичну у бік зростання дугової координати (орт ), головну нормаль в бік ввіг­нутості кривої (відповідний орт ), бінормаль з відповідним ортом спрямовану так, що орти , та утворюють праву ортогональну трійку векторів. Прямокутна система координатних осей за ортами , , з початком в точці М утворюють праву ортогональну трійку векторів. Прямокутна система координатних осей за ортами , , з початком у рухомій точці М називається системою натуральних осей, натуральним чи рухомим тригранником.

Зауважимо, що плоска крива повністю лежить у стичній пло­щині, а головна нормаль буде нормаллю до кривої у цій площині.

Введемо поняття кривизни кривої. Позначимо через вели­чину кута між векторами і , проведену в точці М (рис. 8.17).

Цей кут називається кутом суміжності.

Кривиною кривої в точці М називають границю відношення кута суміжності до абсолютного значення дуги ММ₁ = ∆σ.

(8.42)

Величину, обернену кривині в точці М, називають радіусом кривини:

(8.43)

Зауважимо, що кривина прямої дорівнює нулю, а радіус дорів­нює безкінечності. Кривина кола в усіх його точках однакова і дорів­нює оберненій величині радіуса ; радіус кривини дорівнює радіусу кола .

Рис. 8.19, а

 

Рис. 8.19, б

 

Вектор буде завжди направлений в бік ввігнутості траєкторії (рис. 1.19, а і б), тому що при вектор направлений протилежно вектору , при він направлений в той самий бік, що і вектор . Вектор лежить в площині, що проходить через точку М і вектори і (площина МАВ).

Отже, вектор лежить в стичній площині, оскільки при площина МАВ збігається з стичною площиною в точці М.

Таким чином, вектор лежить в стичній площині, направлений в бік ввігнутості траєкторії, перпендикулярний до , отже, він направлений по головній нормалі до центра кривини.

Знайдемо тепер величину . Трикутник АМВ рівнобічний (рис. 8.19,а), отже,

або користуючись рівняннями (8.43) і (1.44). одержимо:

Враховуючи, що одиничний вектор головної нормалі, бу­демо мати:

і, отже

(8.47)

З цієї формули випливає, що вектор прискорення лежить в стичній площині.

Складові прискорення за напрямами і відповідно будуть:

Проекція прискорення на напрямок

(8.48)

називається дотичним прискоренням.

Проекція прискорення на головну нормаль

(8.49)

називається нормальним прискоренням.

Нормальне прискорення . Проекція прискорення на бінормаль дорівнює нулю.

Дотичне прискорення характеризує зміну швидкості за вели­чиною, а нормальне прискорення - зміну швидкості за напрямком.

Модуль вектора прискорення.

(8.50)

Дотичне прискорення дорівнює нулю при русі точки з постійною за модулем швидкістю і в момент часу, в якій швид­кість досягає екстремальних значень.

Якщо і одного знака, то модуль швидкості точки зростає і рух в цьому випадку називається прискореним (рис. 8.20а).

Якщо ж і різних знаків, то модуль швидкості спадає і рух буде сповільненим (рис. 8.20 б).

 

а) Рис 8.20 б)

При модуль швидкості залишається постійним і рух буде рівномірним.

Нормальне прискорення дорівнює нулю при прямолінійному русі ( J, а також в точках перегину криволінійної траєкторії і в моменти часу, при якому швидкість точки дорівнює нулю.

Радіус кривини траєкторії можна визначити за формулою:

(8.51)

Зазначимо, що для обчислення дотичного прискорення можна використати рівність , оскільки

Якщо рух точки задано координатним способом, у випадку опису руху в декартових координатах то будемо мати:

Для полярних координат одержимо:

 

Рівнозмінний рух точки

 

Якщо - постійна величина, то рух точки називається рівнозмінним.

Встановимо закон зміни швидкості і закон руху точки по тра­єкторії при рівнозмінному русі. Оскільки.

, то і

Сталу інтегрування С₁, знайдемо, виходячи з початкових умов. Нехай, наприклад, при t = О, , тоді . Закон зміни швидкості прийме вигляд:

(8.52)

Так як

Звідки, інтегруючи, одержимо:

Нехай, наприклад, при t = 0 , тоді і закон руху точки по заданій траєкторії буде мати вигляд:

(8.53)

 

Прямолінійний рух точки

 

Якщо траєкторія точки є прямою лінією, то направляючи одну з координат осей, наприклад, вісь х, вздовж цієї прямої, ми повністю визначимо положення точки заданням її абсциси як функції часу, тоб­то х = x(t). Проекції швидкості і прискорення точки на вісь х згідно формул (8.20) і (8.33) будуть

Модулі швидкості і прискорення відповідно рівні:

Якщо , точки проходить в бік додатнього напрямку осі x. Якщо при цьому , то рух буде прискорений, якщо ж то рух сповільнений. При точка рухається в напрямку протилежному додатному напрямку осі x. Якщо при цьому , то рух сповільнений, якщо ж , то рух прискорений. Як приклад, розглянемо прямолінійний рух точки. За законом

,

де α,ω,ε - постійні величини.

Рух точки за таким законом називають гармонійним.

Величина α, що дорівнює максимальному відхиленню точки від положення х = 0, називається амплітудою коливань; називається фазою і ε - початковою фазою коливань.

Швидкість і прискорення точки, що здійснює гармонійне ко­ливання, відповідно будуть

З формули для випливає, що прискорення точки завжди направлено до початку координат і за модулем пропорційне відхилен­ню точки від початку координат.

Рух за гармонійним законом буде періодичним рухом, тобто через рівні проміжки часу буде повністю повторюватись.

Найменший проміжок часу, після закінчення якого рух повто­рюється, називається періодом коливань. Якщо позначити через Т період коливань, то буде справедлива рівність:

,

звідки

Кількість коливань за одиницю часу називається частотою ко­ливань і дорівнює . Якщо час вимірюється в секундах, то час­тота вимірюється в герцах. Кругова частота дорівнює кількості коли­вань за одиниць часу.

Питання для самоконтролю

 

1. Що означає рух точки?

2. Як визначається рівняння траєкторії при координатному способі опису руху?

3. Яка існує залежність між елементом дугової координати і елемен­том шляху?

4. Чи можна, знаючи закон руху точки по траєкторії, визначити тра­єкторією?

5. Коли перед інтегралом для визначення дугової координати необ­хідно брати "+" і коли "-"?

6. Що називається годографом вектора?

7. Як направлена похідна вектора за скалярним аргументом?

8. Яка існує залежність між радіусом-вектором точки, що рухається. і вектором швидкості цієї точки?

9. Чому дорівнюють проекції швидкостей на декартові осі координат?

10. Рух точки описаний полярними координатами. Як виражаються проекції швидкості на радіальний і поперечний напрямок?

11. Як виражається модуль вектора швидкості точки при натураль­ному способі опису руху?

12. Яка існує залежність між радіусом-вектором і прискоренням точки?

13. Чому дорівнюють проекції прискорення на осі декартової систе­ми координат?

14. Які осі називаються натуральними? Що таке стична площина?

15. Чому дорівнюють проекції прискорення на дотичну, головну но­рмаль і бінормаль?

16. Який напрямок має вектор ?

17. Яку зміну швидкості характеризують нормальне і дотичне при­скорення?

18. Як визначається кінематичний радіус кривини?

 

Задача 8.1

Рух точки задано рівняннями:

де a і b - постійні додатні числа (x, у в см, t в с).

Визначити траєкторію руху точки і закон руху точки по траєкторії, вважаючи відстань від початкового положення точки.

Розв'язання

1) Визначення траєкторії руху точки.

Для одержання рівняння траєкторії в координатній формі необхідно з її параметричних рівнянь виключити параметр t.

Оскільки , то

Це рівняння прямої лінії у відрізках на осях (рис. 8.21).

 

Рис. 8.21

З рівнянь руху точки виходить, що

тобто траєкторією точки є не вся пряма, а її відрізок M₀M₁. Точка здійснює коливальний рух на цьому відрізку. В моменти точка перебуває в точці M₀, в моментів точці M₁ (k = 0,1,2...)

2) Визначення закону руху по траєкторії.

Закон pуxy по траєкторії визначається формулою:

При русі від М₀ до М₁ рухома координата σзростає і перед за­коном інтегрування необхідно поставити знак "+". Оскільки при цьому sin 2t > О, то "+" під знаком інтегрування можна відкинути.

При русі точки від М ₁ до М₀ рухома координата зменшується і пе­ред знаком інтеграла слід поставити знак "-". При цьому sin 2t < О, то мож­на відкинути одночасно знак мінус перед інтегралом і знак "-" під інтегралом.

Таким чином, для будь-якого моменту часу t маємо

Задача 8.2

Визначити траєкторію точки М середини шатуна кривошипно-шатунного механізму (рис. 8.22), якщо ОА = АВ = а см, а кут радіан. Визначити також швидкість і прискорення точки М і повзуна В в момент

 

Рис. 8.22

 

1) Визначення траєкторії точки.

Для визначення траєкторії точки М знайдемо спочатку рівняння її руху, тобто визначимо координати точки М через параметр t. Положення механізму слід показати в поточний момент часу. Згідно рис. 8.22 маємо

(a)

Для визначення траєкторії точки М необхідно з рівнянь руху (СІ) виключити параметр t:

(б)

Піднісши рівняння (б) до квадрата і додаючи їх, одержимо:

Траєкторією точки М є еліпс з на півосями і . В початковий момент координати точки М дорівнюють і 0.

2) Визначення швидкості повзуна: В.

Рівняння руху повзуна

Проекція швидкості повзуна на вісь Ох

а величина швидкості

Проекція і величина швидкості повзуна в момент

будуть:

Так як проекція швидкості повзуна на вісь від'ємна величина, то век­тор швидкості повзуна при направлений в протилежний бік осі Ох.

3) Визначення швидкості точки М.

Проекції швидкості точки М на осі координат

а величина швидкості

4) Визначення прискорення повзуна В.

Проекція прискорення повзуна на вісь

а величина прискорення

Величина прискорення повзуна і його проекція на вісь Ох при від'ємна величина, то направлено в протилежну сторону Ох, тобто від В до О.

5) Визначення прискорення точки М.

Проекції прискорення точки М на осі координат

 

а величина прискорення точки М