Диференціювання неявної функції

І. Функція двох змінних. Функція визначає одну зі змінних х або у як неявну функцію іншої змінної. Поданий вираз — це деяке рівняння, що містить х та у і всі члени якого перенесені в ліву частину. Нехай . Тоді . Проте оскільки , то і Звідси

(11)

Розв’язавши рівняння (11) відносно (вважаючи, що і існують), знайдемо залежність (12)

Це так звана формула диференціювання неявної функції.

Нею подаються відносні швидкості зміни значень х щодо значень у, чим забезпечується незмінність f (x, y). Геометрично це означає, що точка (x, y) рухається вздовж кривої, рівняння якої є и = f (x, y), а (12) визначає для будь-якого моменту напрям її руху.

Для функції знайти .

●Нехай

З рівняння (12) знаходимо:

.

Відомо, що змінна х, проходячи через значення х = 3 дм, зростає зі швидкістю 2 дм/с. З’ясуємо, з якою швидкістю має змінюватись у при у = 1 дм, щоб функція 2 ху ² – 3 х ² у лишалася сталою.

●Нехай

знаходимо частинні похідні цієї функції за х і за у:

Підставляючи в (18), маємо:

, або .

За умовою х = 3, у = 1, , звідки (дм/с).

Знайти похідні від функцій

1.

●

2.

●

3.

●

4.

●

5.

●

 

Функція трьох змінних. Нехай Р (х, у, z) — точка на поверхні, заданій рівнянням:

, (13)

і нехай РС і АР — перерізи, що утворюються площинами, проведеними через точку Р паралельно площинам Y 0 Z і X 0 Z (рис. 3). Для точок кривої АР змінна у лишається сталою. Отже, згідно з (13) z є неявною функцією лише х, а на підставі (16) виконується рівність:

(14)

Геометрична інтерпретація. Формула (14) визначає тангенс кута нахилу кривої АР у точці Р до осі0 х.

Рис. 3

У лівій її частині замість записано , оскільки згідно з (13) змінна z була спочатку неявною функцією х і у (формулу (14) виведено за припущення, що величина у лишається сталою).

Література: В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001

Гл.6, стор. 294- 318.

 

Тема 18

Локальні екстремуми функції багатьох змінних.

 

Мета заняття Засвоєння поняття локальних екстремумів функції двох змінних.

Розвивати логічне мислення, уважність

 

Студенти повинні знати: формули похідної складеної функції, повної похідної, локальних екстремумів.

Студенти повинні вміти: обчислювати похідну складеної функції,повну похідну, локальні екстремуми функцій багатьох змінних.

Основні питання теми

1.Поняття точки локального максимуму;

2.Поняття точки локального мінімуму;

3.Необхідні умови екстремуму;

4.Критичні точки функції;

5.Достатні умови екстремуму;

6.Другі достатні умови екстремуму;

7.Правила дослідження диференційованих функцій на екстремум;

8.Приклади.

 

Завдання для самоперевірки

1.Відкритий прямокутний басейн повинен мати об'єм V. Знайти розміри басейну, за яких на його облицювання піде найменша кількість матеріалу.

2.Знайти екстремуми функції z = х⁴ + у⁴ – 2х² + 4ху – 2у².

3.Закінчте вирази:

- Точка називається точкою максимуму (мінімуму) функції , якщо …

- Точка називається стаціонарною для функції , якщо: …

- Необхідні умови екстремуму функції багатьох змінних полягають у тому, що …

- Формула Тейлора для функції двох змінних має вигляд: …

- Критерій Сільвестра додатної визначеності квадратичної форми має вигляд: …

- Достатні умови існування екстремуму функції багатьох змінних формулюються так: …

- Поняття умовного екстремуму функції багатьох змінних полягає у тому, що …

- Задача про умовний екстремум функції багатьох змінних при зводиться до задачі про звичайний екстремум функції …

4. Вкажіть правильний розв’язок задачі.

Для знаходження найбільшого значення функції у замкненій області з рівнянням межі потрібно вибрати найбільше значення із обчислених у таких точках:

а) в стаціонарних точках області ;

б) у точках умовного екстремуму функції за умови ;

в) у стаціонарних точках і точках умовного екстремуму функції при ;

г) у стаціонарних точках і точках на межі області .

Література: В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001

Гл.6, стор. 320 – 324.

 

Для більш глибокого вивчення теми рекомендовано обрати одну із запропонованих тем для написання реферату.

Теми рефератів:

1.Застосування частинних похідних.

2.Зображення та застосування функцій багатьох змінних.

 

 

Розділ”Інтегральне числення функції однієї змінної”

Тема 19

Поняття первісної функції та невизначеного інтегралу. Таблиця основних інтегралів

 

Мета заняття Узагальнити та систематизувати знання з теми.

Розвивати уважність, вміння самостійно визначати головну думку, логічне мислення.

 

Студенти повинні знати: поняття первісної функції та невизначеного інтегралу, властивості невизначеного інтегралу;основні табличні інтеграли.

Студенти повинні вміти: знаходити первісні функції та невизначені інтеграли; використовувати властивості для знаходження первісних та інтегралів.

 

Основні питання теми

1.Поняття первісної; властивості первісної;

2.Невизначений інтеграл; позначення, властивості;

3.Застосування інваріантності форми першого диференціалу при інтегруванні;

4.Таблиця основних інтегралів;

5.Приклади.