Неперервність функції двох змінних

Означення. Функція називається неперервною в точці , якщо

.

Означення. Функція називається неперервною в області (замкненій чи відкритій), якщо вона неперервна в кожній точці цієї області.

Означення. Функцію , визначену на множині D Ì R ², називають неперервною за множиною Е Ì D в точці (х ₀, у ₀) D,якщо

.

Означення. Точка називається точкою розриву функ­ції , якщо:

1) функція не визначена в точці ;

2) функція визначена в точці , проте:

а) не існує;

б) існує, але не дорівнює .

Означення. Точка називається точкою усувного розриву функції , якщо існує, але або не визначена в точці , або

Розглянемо функцію двох незалежних змінних

Ця функція має розрив у точці (0, 0), бо в ній для функції границі не існує.

Тут ми стикаємося з цікавим явищем: розглядувана функція не є неперервною в точці (0, 0) за двома змінними водночас, але є неперервною за кожною зі змінних х і у окремо.

Точки розриву можуть бути не лише ізольованими, як у попередньому прикладі, а можуть заповнювати
лінії, поверхні тощо. Так, функції двох змінних , мають розриви: перша — прямі друга — окіл Для функції трьох змінних

,

розриви заповнюють відповідно гіперболічний параболоїд і конус

Знайти

.

●Для будь-якого існує , таке що для всіх точок , які задовольняють умову і відмінні від початку координат, справджується нерівність

Отже,

.

Знайти границю функції

в точці (0, 0) за множиною, на якій функція визначена.

●Зауважимо, що функція не визначена в точках прямої . Тому звичайної границі в точці (0, 0) не існує. Але границя за множиною точок , на якій функція визначена, існує і дорівнює нулю, оскільки

.

Знайти значення а, при якому функція

в точці (0, 0):

1) є неперервною за прямою , , ;

2) неперервною за кривою ;

3) неперервною.

●1. Наближатимемося до точки (0, 0) по прямій , , . Це означає, що виконуються рівності:

.

Якщо , то дана функція буде неперервною за даною прямою.

2. Наближатимемося до точки (0, 0) по кривій :

.

Якщо , то розглядувана функція буде неперервною за даною прямою.

3. У точці (0, 0) функція має розрив, оскільки в ній границя не існує. Це випливає з 1 і 2.

Знайти точки розриву, а також точки усувного розриву функції двох змінних:

1) ;

2) .

●1. Функція в точці (0, 0) не існує, тому вона має в цій точці розрив. Знайдемо границю

.

Для будь-якого існує , таке що для всіх точок , які задовольняють умову і відмінні від початку координат, виконується нерівність

.

Отже, і функція має в точці (0, 0) усувний розрив, якщо у цій точці.

2. Функція не існує, якщо , тобто , , .

Тому вона має розриви. Знайдемо границю

.

Отже, функція має в точці неусувний розрив.

 

Неперервність складеної (складної) функції двох змінних

Означення. Нехай функція визначена на множині Е, а змінні і , у свою чергу, залежать від змінних х і у: причому обидві функції та визначені на множині D. Якщо для будь-якого існує значення (рис. 12), то говорять, що на множині визначено складену (складну) функцію де — проміжні, х, у — незалежні змінні.

 

Рис. 12

Функція де . Це складена функція, яка визначена на координатній площині. Її можна записати у вигляді

.

Теорема 1.6. Нехай на множині D визначено складену функ­цію , де , і нехай функції , неперервні в точці , а функція неперервна в точці , де , . Тоді складена функція неперервна в точці

Література: В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001

гл.6, стор. 284 – 294.

 

Тема 17

Диференційованість функції багатьох змінних. Похідна за напрямом. Градієнт.

 

Мета заняття Засвоєння понять похідної за напрямом та градієнта; розвивати логічне мислення, виховувати інтерес до математики.

 

Студенти повинні знати: поняття диференційованості функції багатьох змінних; формули похідної за напрямом та градієнта функції.

Студенти повинні вміти: обчислювати похідну за напрямом та градієнт функції.

 

Основні питання теми

1.Поняття диференційованої функції в точці;

2.Неперервність диференційованої функції;

3.Існування частинних похідних диференційованої функції;

4.Достатня умова диференційованості;

5.Повний диференціал та його застосування до обчислення функцій і похибок.

6.Диференціали вищих порядків;

7.Похідна за напрямом;

8.Градієнт;

9.Приклади