Застосування визначеного інтегралу до обчислення площ фігур, об’ємів тіл та розв’язування фізичних задач

Мета заняття Набуття вмінь та навичок застосовувати знання про визначений інтеграл до розв’язування задач.

Розвивати уважність, зацікавленість, логічне мислення.

 

Студенти повинні знати: задачі, в яких застосувується визначений інтеграл; формули для обчислення площ фігур, об'ємів тіл обертання, шляху, що пройшла точка, роботи сили, тиску рідини.

Студенти повинні вміти: застосовувати інтеграли до обчислювання площ фігур, об'ємів тіл обертання, розв'язувати задачі з фізики за допомогою інтеграла.

 

Основні питання теми

Існує дві основних схеми застосування визначеного інтеграла: так званий метод інтегральних сум та метод диференціала. Сьогодні ми розглянемо застосування визначеного інтеграла до розв’язування геометричних та фізичних задач.

1.Обчислення площ плоских фігур

2.Обчислення шляху, що пройшла точка

3.Обчислення довжини дуги

4.Обчислення об’єма тіла

5.Обчислення роботи сили

6.Обчислення тиску рідини на вертикальну пластину

7.Приклади.

 

Свої набуті знання ви можете перевірити в наступному тесті

1.Фігура, що обмежена графіком функції у = f(х), прямими х = а, х = b і відрізком [а;b] осі ОХ називається...

а)рівнобедреною трапецією б)невизначеною трапецією

в)прямокутною трапецією г)криволінійною трапецією

2.Площа криволінійної трапеції на відрізку а;b дорівнює...

а)визначеному інтегралу на відрізку а;b

б)добутку середньої лінії трапеції a на висоту трапеції b

в)(а + b)h г)abR

3.Якщо існує і має кінцеве значення границя інтегральних сум, яка не залежить від розбиття відрізка а;b на частини та від вибору точок на кожному інтервалі, то ця границя називається...

а)невизначеним інтегралом б)визначеним інтегралом

в)криволінійним інтегралом г)невласним інтегралом

4.Робота А змінної сили F(х), яка діє на відрізку а;b, дорівнює..

а)дотичній до сили б)похідній від сили

в)визначеному інтегралу від сили г)невизначеному інтегралу від сили

5.Шлях, пройдений точкою за проміжок часу від t = а до t = b, дорівнює......

а)дотичній до швидкості v(t) б)похідній від швидкості v(t)

в)невизначеному інтегралу від швидкості v(t)

г)визначеному інтегралу від швидкості v(t)

6.Фізичний зміст визначеного інтеграла - це...

а)шлях S, пройдений точкою від t = а до t = b зі швидкістю v(t)

б)площа S криволінійної трапеції в)робота А змінної сили F(х)

г)маса m неоднорідного стержня

Завдання для самоперевірки

1.Охарактеризувати дві основні схеми застосування визначеного інтеграла до розвязування практичних задач.

2.Обчислити площу фігури, обмеженої прямою у = х і параболою у = 2 – х²

3.Обчислити площу поверхні частини параболоїда, утвореного обертанням навколо осі ОХ параболи у² = 2х, де 0 ≤ х ≤ 4.

4.За допомогою визначених інтегралів обчислити площі фігур, що обмежені лініями:

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7.

8.

Література: В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001

Гл. 7, стор. 401 – 411.

 

Для більш глибокого вивчення теми рекомендовано обрати одну із запропонованих тем для написання реферату.

Теми рефератів

1.Використання поняття визначеного інтеграла для отримання моделей задач

економічного характеру.

2.Історія розвитку інтегрального числення.

Лекція „ Застосування визначеного інтеграла”

1. Обчислення площі фігури
у прямокутних координатах

1. Якщо на відрізку [ a, b ] функція f (x) ³ 0, то площа криволінійної трапеції, обмеженої кривою у = f (x), віссю Ох і прямими х = а і х = b, подається так:

(1)

2. Якщо потрібно обчислити площу фігури, обмеженої кривими у = f ₁(x), у = f ₂(x)(f ₁(x) ³ f ₂(x)) ординатами х = а і х = b, то

(2)

Рис. 2

Обчислити площу фігури, обмеженої кривими і

●Знаходимо точки перетину кривих:

отже,

Рис. 3

Звідси за формулою (2)

.

3. Якщо криву задано рівняннями в параметричній формі

і , , (3)

то площа криволінійної фігури обчислюється за формулою

(4)

● Cправді, нехай рівняння (3) визначають деяку функцію у = f (x) на відрізку [ a, b ]. Тоді площа криволінійної трапеції може бути обчислена за формулою:

або

Рис. 4

Обчислити площу фігури, обмеженої віссю х і однією аркою циклоїди х = 5(t – sin t), y = 5(1 – сos t).

●За формулою (4) маємо:

75p.

2. Довжина дуги кривої

1. Довжина дуги кривої у прямокутних координатах. Нехай у прямокутних координатах на площині задано криву рівнянням у = f (x), де f (x) і f ¢(x) — неперервні на відрізку [ a, b ] функції.

Знайдемо довжину дуги АВ цієї кривої, що міститься між вертикальними прямими х = a i x = b (рис. 5).

Рис. 5

 

Нагадаємо означення довжини дуги кривої.

Візьмемо на дузі АВ точки А, А ₁, А ₂, …, В з абсцисами а = x ₀, x ₁, x ₂, …, x_n = b і проведемо хорди АА ₁, А ₁ А ₂, …, А_{n– 1} B, довжини яких позначимо відповідно D l ₁, D l ₂, …D l_n. Тоді дістанемо ламану АА ₁ А ₂ … А_{n– 1} B, вписану в другу АВ. Довжина ламаної дорівнює .

Означення. Довжиною l дуги АВ називається границя, до якої прямує довжина вписаної в цю дугу ламаної, коли довжина її найбільшої ланки прямує до нуля:

(5)

Довжина дуги кривої обчислюється за формулою:

(6)

Обчислити довжину півкубічної параболи , .

●За формулою (6) маємо:

 

Застосування визначеного інтеграла
в економіці

1. Загальні витрати споживачів на товар. Розглянемо криву попиту Р = f (Q) на деякий товар (рис. 6). Якщо Р — ціна одиниці товару, то загальна сума витрат на придбання товару Q буде Р × Q.

Рис. 6

 

На рис. 6 позначено: Р ₀ — ціна рівноваги; Q ₀ — кількість товару, який продається за ціною Р ₀. Припустимо, що товар у кількості Q ₀ не відразу весь надходить на ринок, а продається партіями D Q. Мета продавця: утримувати ціну на товар, вищою за рівноважну.

Після надходження першої партії товару його кількість на ринку буде

Q ₁ = D Q.

Ціна, що відповідає такій кількості товару, становить Р ₁ = f (Q ₁). Витрати споживача — Р ₁D Q.

Після надходження другої партії товару його кількість на ринку буде

Q ₂ = Q ₁ + D Q = 2D Q.

Відповідна ціна — Р ₂ = f (Q ₂). Витрати — Р ₂D Q.

Після надходження n -ї партії кількість товару — Q_n = Q ₀ = n D Q. Відповідна ціна — Р_n = f (Q_n) = Р ₁ = f (Q ₀) = Р ₀. Витрати Р_n D Q. Загальні витрати споживачів на всю кількість товару Q ₀ становитимуть

Р₁ D Q + Р₂ D Q + … + Р_n D Q = f₁(Q₁) D Q + … f(Q_n) D Q.

Графічна інтерпретація

Як бачимо з рис. 7, загальні витрати споживачів дорівнюють сумі площ прямокутників, а вона, у свою чергу, наближено дорівнює визначеному інтегралу

f(Q₁) D Q + f(Q₂) D Q + … + f(Q_n) D Q .

Наближена рівність стає точною, якщо n як завгодно велике.

Отже, сумарні витрати S _вит можна обчислювати за формулою:

(7)

Означення. Надлишок споживача S _надл — це різниця між можливими витратами споживача і реальними витратами в умовах ринку:

Геометрична інтерпретація

2. Додаткова вартість. Розглянемо криву пропозиції Р = f (Q) (рис. 9).

Рис. 9

 

Виробники іноді мають можливість поставляти товар на ринок за ви­щою ціною, ніж та, на яку вони були згодні попередньо. Припускаючи, що весь товар Q ₀ буде реалізовано за ціною Р ₀, можна знайти дохід

R = Р ₀ Q ₀.

Нехай водночас кількість товару, меншу за Q ₀, виробники поставляють за ціною, нижчою, ніж Р ₀. Тоді додаткова вартість виробника S _{дод.варт} обчислюються за формулою: