Формула для знаходження диференціала

справджується в усіх випадках: як тоді, коли u є незалежною змінною, так і тоді, коли u є функцією іншої незалежної змінної. В останньому випадку під множником du слід розуміти диференціал функції u.

 

Зауваження. Оскільки диференціал функції дорівнює добутку її похідної на диференціал незалежної змінної, то фор­мули для знаходження диференціалів будуть такі самі, як і для знаходження похідних, якщо кожну з них помножити на dx.

 

 

Знайти диференціал функції .

·

·

Знайти dy з виразу .

· До обох частин рівності застосуємо операцію знаходження диференціала:

Звідси

. ·

Знайти .

· . ·

Диференціали вищих порядків

Диференціал функції є також функцією незалежної змінної, а тому його можна диференціювати. Розглянемо функцію .

Означення. Другим диференціалом функції у = f (x) називається вираз d (dy).

Позначення:

Аналогічно дістаємо третій диференціал і т. д. до диференціала n -го порядку .

Диференціал незалежної змінної dx не залежить від х, тому, диференціюючи dx за х, слід розглядати dx як величину сталу відносно х. Отже, приходимо до простих співвідношень між послідовними диференціалами і послідовними похідними:

(1)

Знайти третій диференціал функції

.

· Згідно з (1) дістаємо:

·

Зауваження. Формули (1) при будуть неправильними в загальному випадку, якщо змінна х є функцією від незалежного аргументу t. Виняток становитиме випадок, коли х є лінійною функцією незалежного аргументу t і .

¨ Справді, при незалежному аргументі х функції f (x) маємо:

.

Якщо у функції у = f (x) аргумент х є функцією змінної t, тобто х = j(t), то dx вже залежить від t, і dx = j¢(t) dt, тому при x = j(t) дістаємо:

(2)

·

Розглядаючи вирази (1) і (2), доходимо висновку, що форма диференціала другого порядку не зберігається з переходом до складеної функції.

Література: В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001

Гл.5, стор. 225 – 233

 

Тема 14

Формула Тейлора

Мета заняття:вивести формулу Тейлора представлення функції у вигляді многочлена. Розвивати логічне мислення.

 

Студенти повинні знати: формулу Тейлора представлення функцій у вигляді многочлена.

Студенти повинні вміти: знаходити похідні вищих порядків функцій; користуватися формулою Тейлора представлення функцій у вигляді многочлена; записувати розкладання елементарних функцій за формулою Тейлора.

 

Основні питання теми

1.Формула Тейлора;

2.Формула Маклорена;

3.Приклади

Завдання для самоперевірки

1.За правилом Лопіталя обчислити границі

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

2.Записати формулу Тейлора для наступних функцій

1. Розкласти многочлен за степенями двочлена .

2. Розкласти многочлен за степенями двочлена .

3. Розкласти многочлен за степенями двочлена .

4. Функцію розкласти за степенями х, використовуючи формулу Тейлора.

5. Записати формулу Тейлора п -го порядку для функції при .

6. Записати формулу Маклорена п -го порядку для функції .

7. Записати формулу Тейлора п -го порядку для функції при .

8. Записати формулу Маклорена 2 п -го порядку для функції .

9. Записати формулу Тейлора п -го порядку для функції при .

10. Записати формулу Маклорена 2 п -го порядку для функції .

11. Записати формулу Тейлора 3-го порядку для функції при . Побудувати графіки цієї функції і її много-
члена 3-го порядку.

12. Записати формулу Тейлора 2-го порядку для функції при і побудувати графіки цієї функції і її многочлена 2-го порядку.

Література: В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001

Гл.5, стор. 238 – 245.

Лекція „Формула Тейлора”

Нехай функція f (x) має п похідних у точці х ₀.

Означення. Многочлен

називається многочленом Тейлора функції f(x) у точці х ₀.

Теорема. Нехай функція f (x) має в e-околі точки х ₀ (n + 1) похідну. Тоді для будь-якої точки х із цього околу знайдеться точка с, розміщена між точками х і х ₀, для якої справджується рівність:

(1)

де Т (х) — п -й многочлен Тейлора функції f (x) у точці х ₀.

Доведення. Визначимо функцію r (x) формулою . Оскільки , маємо . Визначимо ще одну функцію:

.

Для цієї функції також виконується рівність . Тому можна застосувати теорему Коші для перетворення частки функцій r (x) і j(x):

, (2)

де х ₁ — деяка точка, розміщена між точками х ₀ і х. Маємо , оскільки

.

Крім того, .

Звідси . Застосовуючи теорему Коші до співвідношення (2), дістаємо:

, (3)

де точка х ₂ розміщена між х ₀ і х ₁.

Міркуючи так само, застосуємо теорему Коші до співвідношення (3) (п + 1) раз і дістанемо ланцюжок рівностей:

,

де кожна точка х_{k +1} розміщена між х ₀ і х_k (k = 1, …, n). Отже,

, (4)

де ,

.

Узявши с = х_{n + 1} і врахувавши, що f (x) = T (x) + r (x), дістанемо рівність (1).

Формула (1) називається формулою Тейлора, а вираз (4) — залишковим членом у формі Лагранжа.

Беручи у формулі (1) х ₀ = 0, дістанемо формулу, яку називають формулою Маклорена:

де с — точка, розміщена між 0 і х.

Застосування формули Тейлора
в економічних задачах

1. Рівність застосовується в задачах економічної статистики. Наприклад, розглянемо таку задачу.

Припустимо, що для чисел відомо середнє арифметичне

і середнє квадратичне відхилення:

.

Як визначити середнє арифметичне виду

,

якщо числа х ₁, х ₂, …, х_n невідомі, але відомий відрізок, якому вони належать?

· Значення можна, очевидно, знайти лише наближено. При цьому похідна буде настільки малою, наскільки малим буде максимальне значення на відрізку, який містить х ₁, х ₂, …, х_n.

Замінимо функцію f (x) на многочлен Тейлора другого порядку в точці а:

.

Тоді

Оскільки

,

маємо:

. · (7)

Для додатних чисел х ₁, х ₂, …, х_n відоме середнє арифметичне а і середнє квадратичне відхилення δ. Знайти наближено середнє геометричне .

· Середнє геометричне можна подати у вигляді:

.

Використовуючи формулу (7) для функції , одержимо

.

Отже, середнє геометричне дорівнює

. (8)

Нехай р_і — вартість споживчого кошика на 1 січня і -го року, — індекс споживчих цін за цей рік. Відомо, що середнє арифметичне чисел k ₁, k ₂, …, k_n дорівнює 1, а середнє квадратичне відхилення δ = 1. Визначити відносну зміну споживчих цін з 1 січня і -го року по 1 січня (і +10)го року.

· Згідно з формулою (8) знаходимо

.

Далі маємо:

.

Отже, ціни за 10 років зросли приблизно на 5%. ·

 

Розклад основних елементарних функцій
за формулою Тейлора

1. Розкладемо за формулою Тейлора функцію у
т. х ₀ = 0. Для цього обчислюємо:

Далі за формулою Тейлора (1) маємо:

(9)

Зокрема, при х = 1

У цьому розкладі залишковий член прямує до нуля при :

.

Можна записати: .

Цей вираз називають рядами і позначають так:

(10)

2. Розкладемо за формулою Тейлора функцію у
т. х ₀ = 0. Насамперед знайдемо:

, ;

, ;

, ;

, ;

;

..................................................................................

За формулою Тейлора (1) дістанемо (рис. 1)

(11)

.

Рис. 1

Обчислимо, скільки потрібно утримати членів у формулі для того, щоб обчислити значення функції з точністю до 10^–8 при .

● Залишковий член у формулі Тейлора за модулем має бути меншим, ніж 10^–8:

.

Отже, .

Обчислимо кілька членів розкладу при

n = 0,	;
n = 1,	;
n = 3,	;
n = 4,	;
n = 5,	.

Остаточно дістанемо:

3. Розклад за формулою Тейлора функції в т. х ₀ = 0.

Насамперед обчислимо:

, ;

, ;

, ;

, ;

, .

Далі за формулою Тейлора (1) дістанемо:

(12)

Знайдемо значення з точністю до 10^–10.

● Оскільки , то

.

Щоб досягти заданої точності, візьмемо

●

Розклад за формулою Тейлора
деяких часто застосовуваних функцій

1. Розклад функції , — довільне число.

Насамперед

,	;
,	;
,	;
,	.

....................................................................................

За формулою Тейлора отримаємо розклад

(13)

Цей розклад названо формулою бінома Ньютона на честь її відкривача. Якщо — натуральне число, то розклад містить скінченне число доданків.

Обчислити .

● Маємо

;

.

.

Застосувавши знайдений розклад, обчислимо .

● Виконаємо перетворення ;

.

2. Розклад функції

,	;
,	;
;
,	;
,	;
… … … … … …	… … … … … …

За формулою Тейлора (1) дістанемо розклад

або (14)

Література: В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001

Гл.5, стор. 238 – 245.

 

 

Тема 15