Диференціальні рівняння руху вільної матеріальної

Динаміка точки

Динаміка - розділ теоретичної механіки, що вивчає механічний рух матеріальних об’єктів (матеріальної точки, системи матеріальних точок, твердого тіла) під дією прикладених до них сил та з урахуванням їх мас.

3.1. Закони динаміки (Ньютона)

Перший (закон інерції): ізольована матеріальна точка перебуває в стані спокою або прямолінійного рівномірного руху доти, доки вплив зовнішніх сил не виведе її з цього стану.

Другий (основний закон динаміки): сила, що діє на матеріальну точку, надає їй прискорення, яке пропорційне величині сили і має напрям сили:

Третій (закон рівності дії та протидії): дві матеріальні точки взаємодіють між собою з силами, рівними за величиною і протилежними за напрямом:

Четвертий закон динаміки (закон незалежності дії сил): якщо на матеріальну точку одночасно діють декілька сил, то прискорення, одержуване точкою, дорівнює геометричній сумі прискорень, які точка одержує від кожної сили зокрема.

Диференціальні рівняння руху вільної матеріальної

Точки

Основне рівняння динаміки: - можна записати у вигляді диференціального рівняння (векторна форма):

де – маса точки;

- радіус-вектор точки, який є функцією часу.

Дане рівняння можна подати у вигляді проекцій на три осі декартових координат х,у,z (алгебраїчна форма):

; ;

де - алгебраїчні суми проекції всіх сил, що діють на точку, на координатні осі.

Диференціальні рівняння руху матеріальної точки в натуральній формі:

де - проекція швидкості на дотичну; - радіус кривизни траєкторії в даній точці; - алгебраїчні суми проекцій сил, що діють на точку, на натуральні осі . Цими рівняннями зручно користуватися, коли точка рухається, наприклад, по колу.

Дві задачі динаміки

перша абопряма задача динаміки точки - рух точки, а також її маса, відомі. Треба знайти силу, яка діє на точку.

Друга або обернена задача динаміки точки - відомі сили, що діють на точку, її маса, а також початкові умови руху. Треба визначити закон руху точки.

Розв'язання першої задачі - знаходження сили за даним законом руху матеріальної точки зводиться до знаходження прискорення точки.

Розв'язання другої задачі - знаходження закону руху матеріальної точки за даними силами пов'язане з інтегруванням диференціальних рівнянь руху. Загальний розв'язок цих рівнянь визначає координати точки як функції часу і сталих інтегрування.

Початкові умови - величини, що визначають положення точки (її координати) і проекції вектора швидкості на осі координат у деякий фіксований момент часу (звичайно =0): , , , , ,

Приклад: матеріальна точка масою m рухається по прямій у напрямку осі Ох під дією сталої сили . Знайти закон руху точки при початкових умовах

, .

Розв’язання:

1) складемо диференціальне рівняння руху матеріальної точки:

, або

2) після інтегрування диференціального рівняння отримаємо:

;

де С ₁, С ₂ - сталі інтегрування;

3) визначимо сталі інтегрування за допомогою початкових умов при t = 0:

Þ

Þ

4) закону руху визначимо у вигляді:

.

Кінематичне збудження коливань

При кінематичному збудженні коливань вантажу заданий рух здійснює основа у точці В прикріплення до нього вільного кінця пружини за законом .

Для консервативної системи диференційне рівняння коливань вантажу буде:

О в х x

або , або , або , де . Закон вимушених коливань вантажу має вигляд (12)

 

або

Для дисипативної системи диференціальне рівняння коливального руху вантажу буде або або або де .

Вантаж буде здійснювати при заданих початкових умовах рух за законом

(13)

або де

- початкова фаза;

 

Приклади розв’язання задач по дослідженню

Загальні теореми динаміки точки

Терема про зміну моменту кількості руху

Матеріальної точки

Момент кількості руху матеріальної точки відносно центра О є вектором, що дорівнює векторному добуткові радіуса - вектора точки, початок якого є в точці О, на кількість руху цієї точки

Момент кількості руху матеріальної точки відносно координатної осі: .

Теорема про зміну моменту кількості руху матеріальної точки: похідна за часом від моменту кількості руху матеріальної точки відносно нерухомого центра О дорівнює моменту рівнодійної сил, прикладених до цієї точки, відносно того ж центра

В проекціях на осі прямокутної системи координат теорему можна записати у вигляді трьох рівнянь:

Отже похідна за часом від моменту кількості руху матеріальної точки відносно нерухомої осі дорівнює моменту рівнодійної сили відносно тієї ж осі.

3.6. Принцип Даламберадля матеріальної точки

Сила інерції матеріальної точки за величиною дорівнює добутку маси точки на величину її прискорення і напрямлена протилежно вектору прискорення точки

При русі точки по кривій силу інерції можна подати як суму двох складових:

,

де

Принцип Даламбера для невільної матеріальної точки: при русі матеріальної точки активні сили і реакції в'язей, а також сила інерції матеріальної точки, якщо її умовно прикласти, являють собою зрівноважену систему сил:

,

де - рівнодійна активних сил; - рівнодійна реакцій в'язей; - сила інерції точки.

 

 

Системи

Кінетична енергія механічної системи - це скалярна величина, яка

дорівнює сумі кінетичних енергій матеріальних точок системи:

де - маса і - тої точки системи, - її швидкість.

Теорема Кеніга. Кінетична енергія системи дорівнює сумі кінетичної енергії центра мас системи і кінетичної енергії системи в її відносному русі по відношенню до системи координат, яка рухається поступально разом з центром мас:

,

де - маса і -тої точки системи; - відносна швидкість точки по відношенню до центра мас; - маса всієї системи; - швидкість центра мас системи. Кінетична енергія твердого тіла визначається за формулами:

при поступальному русі
при обертальному русі навколо нерухомої осі
при плоскопаралельному русі ,

де М - маса тіла, - швидкість центра мас тіла; - момент інерції тіла відносно осі z (вісь обертання) або осі z, що проходить через центр мас; - кутова швидкість тіла.

Теорема про зміну кінетичної енергії механічної системи:

- у диференціальній формі: диференціал кінетичної енергії механічної системи дорівнює сумі елементарних робіт зовнішніх і внутрішніх сил, прикладених до точок системи:

- в інтегральній формі: зміна кінетичної енергії системи матеріальних точок на певному переміщенні дорівнює сумі робіт зовнішніх і внутрішніх сил на тому самому переміщенні:

де і - кінетична енергія системи в кінці і на початку шляху; - сума робіт зовнішніх сил; - сума робіт внутрішніх сил.

Робота сили, прикладеної до твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі , дорівнює добутку моменту сили відносно даної осі на кут повороту тіла:

де - момент сили відносно осі; - елементарний і певний кут повороту тіла.

У випадку сталого моменту отримаємо

Елементарна робота сил, прикладених до твердого тіла, що вільно рухається, дорівнює сумі роботи головного вектора системи сил на елементарному переміщенні полюса О і роботи головного моменту цієї системи сил відносно полюса на елементарному обертальному переміщенні:

Потужність є фізичною величиною, що характеризує швидкість, з якою виконується робота

де - швидкість точки прикладення сили, - проекція сили на дотичну, - момент сили відносно осі обертання, - кутова швидкість тіла. За одиницю потужності прийнято Вт

4.5. Принцип Даламбера для механічної системи

Принцип Даламбера для матеріальної системи: при русі системи матеріальних точок геометрична сума головних векторів активних сил, реакцій в'язей і сил інерції дорівнює нулю; геометрична сума головних моментів активних сил, реакцій в'язей і сил інерції відносно деякого нерухомого О центра дорівнює нулю:

Сили інерції тіла приводяться:

- при поступальному русі до рівнодійної сил інерції : яка прикладена у центрі мас;

- при обертальному русі до головного моменту сил інерції та головного вектора сил інерції , який прикладений в точці О на осі обертання:

 

- вісь z - головна центральна вісь інерції:

- при плоскопаралельному русі - до головного вектора сил інерції , який прикладений до центра мас, та головного моменту сил інерції :

де М - маса тіла; - прискорення центра мас тіла; - кутове прискорення обертального руху; - моменти інерції тіла відносно осі обертання та осі , що проходить через центр мас.

4.6. Елементи аналітичної механіки

4.6.1. Класифікація в’язей

Розрізняють вільні й невільні механічні системи. Механічна система називається вільною, якщо рух її точок необмежений ніякими сторонніми тілами (в'язами). Якщо рух механічної системи обмежений в’язами, то вона називається невільною.

Класифікація в'язей. Обмеження, які в'язі накладають на механічну систему, аналітично виражаються у вигляді співвідношень (рівнянь або нерівностей) між часом, координатами і швидкостями матеріальних точок, що утворюють систему.

Геометричні (скінченні) в'язі — це такі в'язі, до рівняння яких не входять швидкості точок системах:

.

Кінематичні (диференціальні) в'язі - це такі в'язі, до рівняння яких входять швидкості точок системи:

Якщо рівняння кінематичної в'язі після інтегрування можна перетворити у рівняння геометричної в'язі, то така кінематична в'язь називається голономною (інтегрованою). У протилежному випадку кінематична в'язь називається неголомною (неінтегрованою).

Стаціонарні в'язі - це в'язі, до рівнянь яких час не входить у явному вигляді.

Нестаціонарні в'язі — це в'язі, до рівнянь яких час входить у явному вигляді.

Двобічні (утримуючі) в'язі — це в'язі, що обмежують рух точок механічної системи у двох взаємно протилежних напрямах зовнішніх нормалей до поверхні в'язі.

0днобічні (неутримуючі) в'язі — це в'язі, що обмежують рух точок механічної системи в якомусь одному напрямі зовнішньої нормалі до поверхні в'язі і не обмежують його в протилежному напрямі.

Утримуючі в'язі аналітично виражаються рівнянням

а неутримуючі - нерівностями

Принцип можливих переміщень

Можливими (або віртуальними) переміщеннями системи називаються умовні нескінченно малі її незалежні переміщення, що дозволяються в'язами системи в даний момент часу (в даному положенні системи).

Ідеальні в'язи — це такі в'язі, сума робіт реакцій яких на будь-якому можливому переміщенні системи дорівнює нулю:

Приклади ідеальних в’язей: абсолютно гладенька поверхня (напрямні); ідеальні шарніри (підшипник), стержні та ін.

Принцип можливих переміщень: для рівноваги системи зі стаціонарними двобічними ідеальними в'язями необхідно і достатньо, щоб сума елементарних робіт усіх активних сил, діючих на систему, на будь-якому можливому переміщенні системи з даного її положення рівноваги дорівнювала нулю:

або в скалярній формі

або в аналітичній формі

4.6.3. Узагальнені координати, швидкості та узагальнені сили.

Узагальненими координатами називають такі незалежні один від одного параметри, заданням яких можна однозначно визначити положення усіх точок системи. Такими параметрами можуть бути декартові координати, кути, віддалі та ін. Число цих незалежних параметрів називають числом ступенів вільності механічної системи.

Похідні за часом від узагальнених координат, тобто величини , називаються узагальненими швидкостями системи.

Обчислимо роботу прикладених до точок системи активних сил на можливому переміщенні системи:

де

Величини , що є множниками при можливих (віртуальних) переміщеннях узагальнених координат у формулі роботи активних сил на можливому переміщенні системи, називаються узагальненими силами.

Щоб обчислити узагальнену силу досить надати можливе переміщення координаті і визначити роботу активних сил на переміщеннях точок системи, які зумовлені тільки зміною координати .

Маємо

Якщо активні сили є потенціальними то узагальнені сили дорівнюватимуть частинним похідним від потенціальної енергії П (q₁, q₂,…, q_s) по узагальнених координатах:

Рівняння динаміки системи.

Загальне рівняння При русі системи, підпорядкованої голономним двостороннім ідеальним в'язям, сума робіт активних сил і сил інерції на будь-якому можливому переміщенні системи повинна дорівнювати нулю:

або

де - сила інерції точки; - узагальнена сила інерції; - можливе переміщення точки.

Рівняння Лагранжа II роду мають такий вигляд:

де Т - кінетична енергія системи, представлена як функція узагальнених координат, узагальнених швидкостей і часу; - частинні похідні кінетичної енергії по узагальнених швидкостях і координатах.

Удар

Удар - явище, при якому швидкості точок тіла за дуже малий (близький до нуля) проміжок часу змінюються на скінченну величину.

ударні сили - сили, при дії яких відбувається удар. Ударні сили діють протягом дуже малого проміжку часу і досягають дуже великих значень.

В теорії удару в якості міри взаємодії розглядають не самі ударні сили, а їх імпульси.

Ударний імпульс - вектор, який визначається за формулою

де t - тривалість удару.

Теорема про зміну кількості руху матеріальної точки при ударі (основне рівняння теорії удару матеріальної точки): зміна кількості руху матеріальної точки під час удару дорівнює геометричній сумі ударних імпульсів, які діють на точку:

де - швидкості точки після і до удару відповідно.

Коефіцієнт відновлення при ударі:

, 0 ≤ к ≤ 1,

де , - модулі нормальних складових відносної швидкості точки торкання тіл після і до удару відповідно.

Окремі випадки: 1) К = 1 - абсолютно пружний удар (тіла, що співударяються, після удару мають різні швидкості);

2) К = 0 - абсолютно непружний удар (тіла, що співударяються, після удару рухаються як одне тіло).

Теорема про зміну кількості руху механічної системи при ударі:

зміна кількості руху системи під час удару дорівнює геометричній сумі усіх зовнішніх ударних імпульсів, які діють на систему:

де - кількість руху системи після і до удару відповідно.

Теорема про зміну моменту кількості руху механічної системи при ударі: зміна головного моменту кількості руху системи відносно нерухомого полюса А під час удару дорівнює геометричній сумі моментів усіх зовнішніх ударних імпульсів відносно того ж полюса:

де - головні моменти кількості руху системи відносно полюса А після і до удару відповідно.

Удар називається центральним, якщо нормаль до поверхонь тіл, що співударяються, в точці їх дотику (лінія удару) проходить через центри мас цих тіл.

Удар називається прямим, якщо швидкості тіл, що співударяються, напрямлені по лінії удару. В протилежному випадку удар називається косим.

Основні рівняння прямого центрального удару:

де - проекції швидкості тіл до удару на вісь х, що співпадає з лінією удару; - проекції швидкості тіл на вісь х після удару; - маси тіл; - коефіцієнт відновлення.

Теорема Остроградського-Карно:

де - втрата кінетичної енергії двох тіл при ударі; - кінетичні енергії системі до і після удару відповідно; - втрачені швидкості.

У випадку косого удару мають місце рівняння

де і - проекції швидкостей тіл на вісь п, що проходить через центри мас цих тіл до удару і після нього.

Додаток 1

Завдання для роботи “Визначення реакцій опор системи тіл”

Конструкція складається з двох тіл. Визначити реакцію опор А і В, а також тиск у проміжному шарнірі С. Методика розв’язання задач розглянута у роз- ділі 1.7.

Номер варіанту	Р 1	Р 2	М, кН×м	q, кН/м
кН
	5,0	-	24,0	0,8
	6,0	10,0	22,0	1,0
	7,0	9,0	20,0	1,2
	8,0	-	18,0	1,4
	9,0	-	16,0	1,6
	10,0	8,0	25,0	1,8
	11,0	7,0	20,0	2,0
	12,0	6,0	15,0	2,2
	13,0	-	10,0	2,4
	14,0	-	12,0	2,6
	15,0	5,0	14,0	2,8
	12,0	4,0	16,0	3,0
	9,0	6,0	18,0	3,2
	6,0	-	20,0	3,4
	5,0	8,0	22,0	3,6
	7,0	10,0	14,0	3,8
	9,0	12,0	26,0	4,0
	11,0	10,0	18,0	3,5
	13,0	9,0	30,0	3,0
	15,0	8,0	25,0	2,5
	10,0	7,0	20,0	2,0
	5,0	6,0	15,0	1,5
	8,0	5,0	10,0	1,4
	11,0	4,0	5,0	1,3
	14,0	6,0	7,0	1,2
	12,0	8,0	9,0	1,1
	10,0	7,0	11,0	1,0
	8,0	9,0	13,0	1,2
	5,0	7,0	10,0	1,5
	10,0	12,0	17,0	1,6

 

 

 

 

 

 

Додаток 2

Завдання для роботи “Кінематичний аналіз плоского механізму”

Визначити для заданого положення механізму швидкість і прискорення точки В і С, а також кутову швидкість і кутове прискорення ланки, до якої належить точка С. Схеми механізмів наведені на наступних сторінках, а необхідні для розрахунку розміри і кінематичні параметри представлені у таблиці, де - кутова швидкість і кутове прискорення кривошипа ОА для заданого положення механізму; - кутова швидкість колеса І (стала); - швидкість і прискорення точки А. Кочення коліс відбувається без ковзання. Методика розв’язання задач розглянута у розділі 2.5.2.

 

Номер варі-анту	Розміри, см	, рад/с	, рад/с	, рад/с^2	, см/с	, см/с^2
ОА	r	AB	AC
			-			-		-	-
			-			-		-	-
	-		-	-	-	-	-
		-	-			-		-	-
		-	-			-		-	-
			-					-	-
		-				-		-	-
	-	-			-	-	-
	-	-			-	-	-
		-				-		-	-
	-	-			-	-	-
	-	-			-	-	-
		-				-		-	-
			-					-	-
			-			-		-	-
			-	-		-		-	-
	-		-		-	-	-
		-				-		-	-
			-			2,5		-	-
	-	-			-	-	-
		-				-		-	-
		-				-		-	-
	-	-			-	-	-
		-				-		-	-
		-				-		-	-
			-			1,2		-	-
	-		-		-	-	-
		-				-		-	-
		-				-		-	-
		-	-			-		-	-

 

 

 

Додаток 3

Методика розв’язання задач та завдання для роботи

“дослідження коливального руху матеріальної точки”

Розв’язання задач завдання слід проводити в такій послідовності:

- визначити тип механічної системи, вид схеми з’єднання пружних елементів вихідної схеми, вид коливального руху вантажу, а також засіб збудження його коливань;

- перетворити (у випадку необхідності) вихідну схему в розрахункову з одним пружним елементом, показати на розрахунковій схемі вісь Ох, і напрямок кінематичного збудження , силу ваги вантажу, сили пружності та опору пружини, положення статичної рівноваги вантажу (точка О на осі Ох), положення вантажу в момент початку () руху (точки О ₁ на осі Ох), статичну деформацію пружини під дією вантажу;

- розрахувати еквівалентну жорсткість пружини, враховуючи вид схеми з’єднання пружних елементів вихідної схеми, і величину статичної деформації пружини, визначити початкові умови і для вантажу, знайти, враховуючи тип механічної системи, частоти або (для дисипативної системи) вільних коливань вантажу, коефіцієнт h системи;

- визначити, враховуючи тип механічної системи, вид коливального руху вантажу та засіб збудження його коливань, закон руху вантажу у загальному вигляді (для цього використати формули розділу 3.4), розрахувати коефіцієнти та параметри закону руху для конкретної