Кінематичне збудження коливань

При кінематичному збудженні коливань вантажу заданий рух здійснює основа у точці В прикріплення до нього вільного кінця пружини за законом .

Для консервативної системи диференційне рівняння коливань вантажу буде:

О в х x

або , або , або , де . Закон вимушених коливань вантажу має вигляд (12)

 

або

Для дисипативної системи диференціальне рівняння коливального руху вантажу буде або або або де .

Вантаж буде здійснювати при заданих початкових умовах рух за законом

(13)

або де

- початкова фаза;

 

Приклади розв’язання задач по дослідженню

Коливального руху матеріальної точки

Приклад 1. Знайти рівняння коливального руху вантажу D у напрямку осі Ох з моменту дотику ним плити, вважаючи, що при подальшому русі вантаж від плити не відділяється. Плита, яка займає в стані спокою горизонтальне положення, є невагомою. Рухи плити та основи вважати поступальними.

Умови задачі. Пролетівши без початкової швидкості відстань 0,2 м, вантаж D ( 20 кг) з’єднується у момент часу з плитою, яка зв’язує систему двох недеформованих паралельно закріплених пружин, які мають коефіцієнти жорсткості та опору с ₁ = 100 Н/см, с ₂ = 200 Н/см, 0. Одночасно основа починає здійснювати рух за законом (см).

Розв’язання. Визначаємо тип механічної системи, вид схеми з’єднання пружних елементів вихідної системи, вид коливального руху вантажу, а також засіб збудження його коливань. Наведена на рисунку система є консервативною з паралельним з’єднанням пружних елементів, вантаж робить змушені коливання, а збудження коливань вантажу є кінематичним.

Перетворимо вихідну механічну схему в розрахункову з одним пружним елементом який має еквівалентну жорсткість с_е=с₁+с₂. На рис. точка О на осі Ох визначає положення статичної рівноваги вантажу, точка О ₁ − положення вантажу D в момент дотику плити, - статична деформація

 

пружини се під дією вантажу, - відповідно сила ваги вантажу та сила пружності пружини, x - напрямок кінематичного збудження в точці В кріплення пружини до рухомої основи. Знаходимо еквівалентну жорсткість: = 100 + 200 =300 Н/см = = 3×10^4 Н/м.

Величина статичної деформації пружини під дією вантажу:

Визначаємо значення власної частоти і початкових умов :

,

м,

.

Закон руху вантажу визначаємо формулою (12) розділу 3.4:

(м).

Перевірка: При одержимо м, що співпадає з величиною раніше визначеної початкової умови .

Відповідь: Вантаж здійснює двочастотні коливання за законом (м).

Приклад 2. Знайти рівняння коливального руху вантажу D по гладенькій похилій площині у напрямку осі Ох, що співпадає з віссю пружини.

Умова задачі. Система встановлених на пружині вантажів D ( 2 кг) і Е 1 кг) знаходиться в положенні статичної рівноваги. У момент часу вантаж Е знімають з вантажу D. Одночасно вантажу D надають початкову швидкість м/с у напрямку позитивного відліку координати х. Коефіцієнти жорсткості та опору пружини дорівнюють с = 2·10⁴ Н/м, 1,5 Н×с/м. Прийняти кут .

	Розв’язання. Визначаємо тип механічної системи та вид коливального руху: система, яка розглядається, є дисипативною, а вантаж D здійснює вільні коливання.
O2       O O1   a А х a D с, в	Перетворимо вихідну механічну схему в розрахункову, де - відповідно сила ваги вантажу D, сили пружності та опору пружини, точка А - положення вантажу D у момент зняття вантажу Е. В даній схемі в положенні статичної рівноваги вантажу D (точка О) сила пружності

пружини зрівноважує не всю силу ваги вантажу , а тільки її складову у напрямку осі Ох, яка співпадає з віссю пружини Знайдемо величину статичної деформації пружини, коефіцієнт демпфування h системи, власні частоти і , а також початкову умову :

м; ;

,

.

Закон руху вантажу визначаємо за виразом (5) розділу 3.4.2:

Перевірка: При одержимо м, що співпадає з величиною раніше визначеної початкової умови .

Відповідь: Вантаж здійснює одночастотні затухаючі коливання за законом х = (м).

Загальні теореми динаміки точки