Кінематика матеріальної точки

Положення матеріальної точки в просторі задається радіус-вектором: , де – одиничні вектори напрямів (орти); , , – координати точки, які можуть змінюватись з часом .

Середня швидкість руху частинки: ,

де – переміщення точки, – інтервал часу, за який відбулося переміщення, – миттєва швидкість частинки.

Миттєва швидкість частинки: ,

де – проекції швидкості на осі координат, .

Модуль вектора швидкості: .

Закон додавання швидкостей Галілея: , де – швидкість матеріальної точки відносно нерухомої системи відліку (абсолютна швидкість), – швидкість точки відносно рухомої системи відліку (відносна швидкість), – швидкість рухомої системи відліку відносно нерухомої (переносна швидкість).

Середнє прискорення матеріальної точки:

,

де – приріст швидкості за час , – миттєве прискорення матеріальної точки.

Миттєве прискорення матеріальної точки:

.

У проекціях на координатні вісі вектор прискорення:

,

де .

Модуль прискорення: .

Для рівномірного прямолінійного руху матеріальної точки ():

– рівняння руху; – шлях, який пройшла точка за час .

Для рівноприскореного прямолінійного руху матеріальної точки (): – рівняння руху; – шлях, який пройшла точка за час ; – швидкість точки.

Для криволінійного руху прискорення зручно представляти у вигляді двох взаємно ортогональних векторів:

; ; ,

де – тангенціальне прискорення, – нормальне (доцентрове) прискорення, – локальний радіус кривизни траєкторії.

Середня кутова швидкість частинки:

,

де – кутове переміщення точки, – інтервал часу, за який відбулося переміщення.

Миттєва кутова швидкість частинки:

,

Напрям вектора визначається за правилом правого гвинта: якщо гвинт обертати в напрямку руху частинки, то його поступальний рух покаже напрям кутового переміщення.

Середнє кутове прискорення частинки:

,

де – зміна кутової швидкості, – інтервал часу, за який відбулася ця зміна.

Миттєве кутове прискорення

,

За прискореного обертання вектори і збігаються за напрямом; за сповільненого обертання вектори і протилежно направлені.

Для рівномірного обертального руху , тоді .

Кінематичне рівняння обертального руху:

а) рівномірного: ;

б) рівнозмінного: ,

Зв’язок між лінійними і кутовими величинами:

, , ,

де – радіус-вектор, проведений від миттєвого центра кривизни траєкторії до частинки.

У випадку обертального руху кутова швидкість дорівнює:

,

де – частота обертання: , ( – число обертів за час ). Період обертання: . Отже, .

Динаміка матеріальної точки

Імпульс частинки: . Імпульс системи частинок:

,

де – імпульс -ї частинки.

Закон руху частинки:

,

де – рівнодіюча всіх сил, що діють на частинку. За умови, що , маємо .

Сили тертя. Пружні сили. Закон всесвітнього тяжіння.

Сила тертя спокою:

,

де – сила тертя ковзання.

Сила тертя ковзання (закон Кулона-Амонтона):

,

де – коефіцієнт тертя ковзання, – сила нормального тиску.

Сила тертя кочення:

,

де – коефіцієнт тертя кочення, – радіус тіла, що котиться.

Сила пружності (закон Гука):

,

де – коефіцієнт пружності, – абсолютна деформація тіла.

Закон Гука для деформації розтягу (стиску):

,

де – нормальна механічна напруга (), – модуль Юнга, – відносна повздовжня деформація ().

Руйнівна сила:

,

де – межа міцності, – площа поперечного перерізу тіла.

Відносна зміна об’єму в разі повздовжньої деформації

,

де – коефіцієнт Пуассона.

Коефіцієнт Пуассона:

,

де – відносна поперечна деформація (), – коефіцієнт поперечного стиснення внаслідок повздовжнього розтягу.

Закон Гука для деформації зсуву:

,

де – тангенціальна механічна напруга, – модуль зсуву, – кут зсуву.

Модуль Юнга , модуль зсуву і коефіцієнт Пуассона зв’язані співвідношенням:

,

Кут закручення дротини:

,

де ­­ – крутильний момент, – довжина дротини, – радіус дротини.

Потенціальна енергії пружної деформації розтягу(стиску):

,

де – об’єм тіла.

Закон всесвітнього тяжіння:

,

де – сила взаємодії двох частинок, – гравітаційна стала, і – маси взаємодіючих частинок, – вектор, який визначає положення другої частинки відносно першої.

Механіка твердого тіла

Момент інерції матеріальної точки масою , що обертається навколо вісі:

,

де – відстань від точки до вісі.

Момент інерції твердого тіла відносно вісі:

,

де – густина тіла.

Момент інерції:

а) суцільного однорідного циліндра (диска) відносно вісі циліндра (диска):

,

де – радіус циліндра (диска), – його маса;

б) пустотілого циліндра (кільця) з внутрішнім радіусом і зовнішнім радіусом відносно вісі, що збігіється з віссю циліндра (кільця):

;

в) тонкостінного циліндра (тонкого кільця) радіуса відносно вісі, що збігається з віссю циліндра (кільця):

;

г) однорідного стрижня, що має довжину і масу , відносно вісі, що проходить через центр його мас перпендикулярно до вісі стрижня:

;

д) однорідного стрижня, що має довжину і масу , відносно вісі, що проходить через один з його кінців перпендикулярно до вісі стрижня:

е) однорідної кулі масою і радіуса відносно вісі, що проходить через центр кулі:

;

ж) куба, з ребром і масою відносно вісі, що проходить через центр мас куба і перпендикулярна до його сторони:

Теорема Гюйгенса-Штейнера:

,

де – момент інерції тіла відносно довільної вісі, – момент інерції тіла відносно вісі, що проходить через центр мас і паралельна даній, – відстань між вісями.

Момент сили відносно деякої вісі :

,

де – проекція сили на площину, яка є перпендикулярною до вісі , – плече сили.

Момент імпульсу твердого тіла відносно нерухомої вісі обертання :

,

де – момент інерції тіла відносно вісі , – кутова швидкість тіла.

Рівняння динаміки обертального руху твердого тіла навколо нерухомої вісі:

,

де – геометрична сума моментів зовнішніх сил, що діють на тіло.

Якщо момент інерції не змінюється, то

,

де – кутове прискорення ().