Рух матеріальної точки під дією сили тяжіння.

Рух матеріальної точки під дією сили тяжіння.

 

Дослідимо рух матеріальної точки маси по вертикальній прямій під дією сили земного тяжіння. Нехай вісь - пряма по, якій рухається матеріальна точка, початок координат візьмемо на поверхні землі, а додатній напрям будемо відраховувати догори. Щоб знати рух, тобто положення точки у будь-який момент часу після початку руху (яке відповідає значенню ), потрібно знати значення єдиної координати цієї точки як функції t. Таким чином, незалежною змінною є , а шуканою функцією .

Ми знаємо з механіки закон Ньютона , де і - відповідно маса та прискорення матеріальної точки; - сила, яка діє на точку.

З механічного змісту другої похідної випливає, що прискорення дорівнює , з іншого боку ми знаємо, що прискорення сили земного тяжіння у кожній точці поверхні і поблизу Землі є сталою, яка дорівнює , а сила тяжіння дорівнює . Тому що сила тяжіння напрямлена униз у нашій системі координат їй належить дати знак „- “. Порівнюючи обидва знайдені вирази, одержуємо рівняння руху або .

 

Процеси першого порядку.

 

Багато хімічних реакцій та фізичних процесів характеризуються тим, що швидкість зміни однієї змінної величини відносно другої пропорційно значенню цієї змінної у першому степені. Такі процеси називаються процесами першого порядку. Вони визначаються рівнянням . У випадку хімічної реакції маємо - кількість речовини у граммолекулах, - стала величина (константа швидкості реакції), - час; наприклад, реакція гідролізу двобромянтарної кислоти - реакція першого порядку, радіоактивний розпад, швидкість зростання населення і т.п. – все це процеси першого порядку.

 

Основні означення.

Означення 1. Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке зв`язує шукану функцію, її похідні та аргумент, тобто воно має вигляд

або

Якщо шукана функція є функцією однієї незалежної змінної, то диференціальне рівняння називається звичайним.

Означення 2. Найвищий порядок похідної. що входить у диференціальне рівняння, називається порядком диференціального рівняння (наприклад, –рівняння першого порядку, а - рівняння другого порядку).

Означення 3. Розв`язком або інтегралом диференціального рівняння називається будь-яка функція , яка після підстановки у рівняння. обертає його у тотожність.

Приклад. Функції або взагалі , де і - сталі, є розв`язками рівняння

(2.1)

Функції не є розв`язками рівняння (2.1).

 

Рівняння з відокремлюваними змінними.

Означення. Диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними називається рівняння вигляду

(4.1)

Порівняно із загальним виглядом рівняння першого порядку маємо

. Далі маємо , або

(4.2)

Якщо вважати функцією від , то маємо рівняння двох диференціалів, тому їх первісні відрізняються на довільну сталу. Інтегруючи рівність (4.2), одержимо загальний інтеграл диференціального рівняння

(4.3)

Зауваження. Диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними можна подати у вигляді

, де . Тепер маємо .Це рівняння з відокремленими змінними. Інтегруючи, знайдемо загальний інтеграл диференціального рівняння.

Приклад. Знайти частинний розв`язок рівняння

Зробимо перетворення

і відокремимо змінні (поділивши обидві частини рівняння на ):

зінтегрувавши рівняння, одержимо

,

або

Визначимо з початкових умов довільну сталу:

а потім, підставивши знайдене значення довільної сталої у загальний інтеграл, знайдемо шуканий частинний інтеграл

або

 

Рівняння Бернуллі.

 

 

Означення. Диференціальне рівняння вигляду

, (7.1)

де і неперервні функції (, ), називається рівнянням Бернуллі.

Зведемо рівняння Бернуллі до лінійного. Поділимо обидві частини рівняння (7.1) на і добудемо

. (7.2)

Зробимо заміну шуканої функції , . Підставимо значення і

у рівняння (7.2) і добудемо наступне лінійне рівняння:

або .

Знаходимо загальний розв`язок останнього рівняння і підставимо замість вираз і добудемо загальний інтеграл диференціального рівняння.

Зауваження. Тому що рівняння Бернуллі зводиться до лінійного рівняння, його розв`язок можна шукати у вигляді , де будь-який ненульовий розв`язок рівняння

.

Приклад. Розв`язати рівняння , .

Шукаємо розв`язок рівняння у вигляді , .Підставивши у рівняння замість і їх значення, одержимо

або (7.3)

Для знаходження функції маємо рівняння

або .

звідки або .

Підставивши знайдене значення у рівняння (7.3), знаходимо

або .

Зінтегрувавши, знаходимо ,звідки .

Таким чином, загальний розв`язок рівняння

.

Знайдемо частинний розв`язок рівняння, який задовольняє заданим початковим умовам:

, звідки .

Підставимо знайдене значення довільної сталої у загальний розв`язок і добудемо шуканий частинний розв`язок:

.

 

 

Питання для самоперевірки.

 

 

1. Яке рівняння називається диференціальним?

2. Що називають порядком диференціального рівняння?

3. Який вигляд має диференціальне рівняння першого порядку, яке розв`язане відносно похідної?

4. Що називають розв`язком диференціального рівняння?

5. Що називають інтегральною кривою диференціального рівняння ?

6. Сформулювати задачу Коші для диференціального рівняння .

7. Що називається загальним розв`язком диференціального рівняння ?

8. Як із загального розв`язку диференціального рівняння добути частинний розв`язок?

9. Яке диференціальне рівняння називається рівнянням з відокремлюваними змінними?

10. Дати означення однорідної функції і однорідного диференціального рівняння першого порядку.

11. Як розв`язати однорідне рівняння першого порядку?

12. Дати означення лінійного рівняння першого порядку. Як розв`язати таке рівняння?

13. Який вигляд має рівняння Бернуллі?

14. Як розв`язати рівняння Бернуллі?

15. Дати означення рівняння у повних диференціалах.

Рівняння вищих порядків.

 

 

У загальному випадку рівняння -го порядку має вигляд . Якщо це рівняння можна розв`язати відносно , тоді

(9.1)

Задача, яка полягає у знаходженні розв`язку (9.1), який задовольняє початкові умови

(9.2)

називається задачею Коші. Розв`язок задачі Коші дає теорема.

Теорема Коші. Якщо в рівнянні (9.1) функція та її частинні похідні по неперервні в області , яка містить значення , то існує єдиний розв`язок, який задовольняє початкові умови (9.2).

Загальним розв`язком (інтегралом) називається функція (

яка задовольняє умови:

1) при довільних сталих вона задовольняє диференціальному рівнянню;

2) при довільних умовах (9.2) існують такі сталі , при яких ці умови виконуються.

Частинний розв`язок (інтеграл) дістаємо із загального при .

 

Питання для самоперевірки.

1. Який загальний вигляд диференціального рівняння -го порядку?

2. Що називають розв`язком диференціального рівняння?

3. Сформулювати задачу Коші для диференціального рівняння .

4. Дати означення загального розв`язку диференціального рівняння -го порядку.

5. Якими методами можна знизити порядок диференціального рів?

6. Як добути характеристичне рівняння однорідного диференціального рівняння зі сталими коефіцієнтами?

7. Як добути загальний розв`язок однорідного рівняння у випадку: а) корені характеристичного рівняння дійсні і різні; б) дійсні і рівні; в) комплексні спряжені?

8. Як добути загальний розв`язок лінійного неоднорідного рівняння?

 

Рух матеріальної точки під дією сили тяжіння.

 

Дослідимо рух матеріальної точки маси по вертикальній прямій під дією сили земного тяжіння. Нехай вісь - пряма по, якій рухається матеріальна точка, початок координат візьмемо на поверхні землі, а додатній напрям будемо відраховувати догори. Щоб знати рух, тобто положення точки у будь-який момент часу після початку руху (яке відповідає значенню ), потрібно знати значення єдиної координати цієї точки як функції t. Таким чином, незалежною змінною є , а шуканою функцією .

Ми знаємо з механіки закон Ньютона , де і - відповідно маса та прискорення матеріальної точки; - сила, яка діє на точку.

З механічного змісту другої похідної випливає, що прискорення дорівнює , з іншого боку ми знаємо, що прискорення сили земного тяжіння у кожній точці поверхні і поблизу Землі є сталою, яка дорівнює , а сила тяжіння дорівнює . Тому що сила тяжіння напрямлена униз у нашій системі координат їй належить дати знак „- “. Порівнюючи обидва знайдені вирази, одержуємо рівняння руху або .

 

Процеси першого порядку.

 

Багато хімічних реакцій та фізичних процесів характеризуються тим, що швидкість зміни однієї змінної величини відносно другої пропорційно значенню цієї змінної у першому степені. Такі процеси називаються процесами першого порядку. Вони визначаються рівнянням . У випадку хімічної реакції маємо - кількість речовини у граммолекулах, - стала величина (константа швидкості реакції), - час; наприклад, реакція гідролізу двобромянтарної кислоти - реакція першого порядку, радіоактивний розпад, швидкість зростання населення і т.п. – все це процеси першого порядку.

 

Основні означення.

Означення 1. Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке зв`язує шукану функцію, її похідні та аргумент, тобто воно має вигляд

або

Якщо шукана функція є функцією однієї незалежної змінної, то диференціальне рівняння називається звичайним.

Означення 2. Найвищий порядок похідної. що входить у диференціальне рівняння, називається порядком диференціального рівняння (наприклад, –рівняння першого порядку, а - рівняння другого порядку).

Означення 3. Розв`язком або інтегралом диференціального рівняння називається будь-яка функція , яка після підстановки у рівняння. обертає його у тотожність.

Приклад. Функції або взагалі , де і - сталі, є розв`язками рівняння

(2.1)

Функції не є розв`язками рівняння (2.1).