Однорідні рівняння першого порядку.

Означення 1. Функція називається однорідною функцією -го виміру, якщо для будь-якого має місце тотожність

Приклади. Функція - однорідна функція виміру , тому що

Функція - однорідна функція нульового виміру, тому що

Означення 2. Диференціальне рівняння першого порядку

(5.1)

називається однорідним, якщо функція є однорідною функцією нульового виміру.

Розв`язання однорідного рівняння. Однорідна функція нульового виміру залежить лише від відношення змінних, бо і якщо покласти , то . Позначимо . Тоді рівняння (5.1) набуває вигляду

(5.2)

Зробимо підстановку або . Тоді маємо . Підставимо значення похідної в (5.2) і одержимо або .

Ми одержали рівняння з відокремлюваними змінними. Вважаємо, що , і відокремлюємо змінні звідки . Підставимо після інтегрування замість і знайдемо загальний інтеграл диференціального рівняння.

Зауваження. Рівняння є однорідним, якщо функції і є однорідними функціями одного виміру.

Приклад. Розв`язати рівняння ,

Це рівняння є однорідним тому, що - однорідна функція нульового виміру: - однорідна функція нульового виміру:

. Покладемо . Тоді після підстановки у рівняння, одержимо рівняння з відокремлюваними змінними:

або .

Відокремлюючи змінні, знаходимо

або .

Зінтегрувавши, одержимо

або .

Підставивши , отримаємо

, або , або .

Знаходимо шуканий частинний розв`язок з початкових умов

, звідки або . Підставимо у загальний розв`язок і добудемо шуканий частинний розв`язок, який задовольняє початковим умовам:

 

 

Лінійні рівняння першого порядку.

 

 

Означення. Диференціальне рівняння першого порядку називається лінійним, якщо воно першого ступеня відносно шуканої функції та її похідної . Воно має вигляд

(6.1)

де і - неперервні функції.

Розв`язання лінійного рівняння. Будемо шукати розв`язок лінійного рівняння у вигляді добутку двох шуканих функцій і , тобто

(6.2)

Знайдемо похідну цієї функції .Підставивши значення і у рівняння (6.1), отримаємо

або

(6.3)

Виберемо функцію так, щоб

(6.4)

Рівняння (6.4) – рівняння з відокремлюваними змінними. Відокремлюючи змінні, добудемо

Зінтегрувавши, знайдемо

або .

Тому що нам потрібен будь-який ненульовий частинний розв`язок рівняння, покладемо , тобто . Тоді для визначення шуканої функції маємо рівняння

або ,

звідки

.

Підставимо замість та знайдені функції та добудемо загальний розв`язок диференціального рівняння:

або .

 

Приклад. Розв`язати рівняння .

Це рівняння є лінійним. Шукаємо розв`язок у вигляді

 

Підставимо і в дане рівняння і добудемо

або

(6.5)

Знаходимо функцію з рівняння . Відокремлюємо змінні, добуваємо

.

Зінтегрувавши рівняння, знаходимо . Поклавши , добуваємо . Підставимо знайдене значення у (6.5), добуваємо

або . Зінтегрувавши, одержимо

.

Знаходимо загальний розв`язок рівняння

або .

 

 

Рівняння Бернуллі.

 

 

Означення. Диференціальне рівняння вигляду

, (7.1)

де і неперервні функції (, ), називається рівнянням Бернуллі.

Зведемо рівняння Бернуллі до лінійного. Поділимо обидві частини рівняння (7.1) на і добудемо

. (7.2)

Зробимо заміну шуканої функції , . Підставимо значення і

у рівняння (7.2) і добудемо наступне лінійне рівняння:

або .

Знаходимо загальний розв`язок останнього рівняння і підставимо замість вираз і добудемо загальний інтеграл диференціального рівняння.

Зауваження. Тому що рівняння Бернуллі зводиться до лінійного рівняння, його розв`язок можна шукати у вигляді , де будь-який ненульовий розв`язок рівняння

.

Приклад. Розв`язати рівняння , .

Шукаємо розв`язок рівняння у вигляді , .Підставивши у рівняння замість і їх значення, одержимо

або (7.3)

Для знаходження функції маємо рівняння

або .

звідки або .

Підставивши знайдене значення у рівняння (7.3), знаходимо

або .

Зінтегрувавши, знаходимо ,звідки .

Таким чином, загальний розв`язок рівняння

.

Знайдемо частинний розв`язок рівняння, який задовольняє заданим початковим умовам:

, звідки .

Підставимо знайдене значення довільної сталої у загальний розв`язок і добудемо шуканий частинний розв`язок:

.