Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Однорідні рівняння першого порядку.↑ ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2 Содержание книги
Поиск на нашем сайте
Означення 1. Функція називається однорідною функцією -го виміру, якщо для будь-якого має місце тотожність Приклади. Функція - однорідна функція виміру , тому що Функція - однорідна функція нульового виміру, тому що Означення 2. Диференціальне рівняння першого порядку (5.1) називається однорідним, якщо функція є однорідною функцією нульового виміру. Розв`язання однорідного рівняння. Однорідна функція нульового виміру залежить лише від відношення змінних, бо і якщо покласти , то . Позначимо . Тоді рівняння (5.1) набуває вигляду (5.2) Зробимо підстановку або . Тоді маємо . Підставимо значення похідної в (5.2) і одержимо або . Ми одержали рівняння з відокремлюваними змінними. Вважаємо, що , і відокремлюємо змінні звідки . Підставимо після інтегрування замість і знайдемо загальний інтеграл диференціального рівняння. Зауваження. Рівняння є однорідним, якщо функції і є однорідними функціями одного виміру. Приклад. Розв`язати рівняння , Це рівняння є однорідним тому, що - однорідна функція нульового виміру: - однорідна функція нульового виміру: . Покладемо . Тоді після підстановки у рівняння, одержимо рівняння з відокремлюваними змінними: або . Відокремлюючи змінні, знаходимо або . Зінтегрувавши, одержимо або . Підставивши , отримаємо , або , або . Знаходимо шуканий частинний розв`язок з початкових умов , звідки або . Підставимо у загальний розв`язок і добудемо шуканий частинний розв`язок, який задовольняє початковим умовам:
Лінійні рівняння першого порядку.
Означення. Диференціальне рівняння першого порядку називається лінійним, якщо воно першого ступеня відносно шуканої функції та її похідної . Воно має вигляд (6.1) де і - неперервні функції. Розв`язання лінійного рівняння. Будемо шукати розв`язок лінійного рівняння у вигляді добутку двох шуканих функцій і , тобто (6.2) Знайдемо похідну цієї функції .Підставивши значення і у рівняння (6.1), отримаємо або (6.3) Виберемо функцію так, щоб (6.4) Рівняння (6.4) – рівняння з відокремлюваними змінними. Відокремлюючи змінні, добудемо Зінтегрувавши, знайдемо або . Тому що нам потрібен будь-який ненульовий частинний розв`язок рівняння, покладемо , тобто . Тоді для визначення шуканої функції маємо рівняння
або , звідки . Підставимо замість та знайдені функції та добудемо загальний розв`язок диференціального рівняння: або .
Приклад. Розв`язати рівняння . Це рівняння є лінійним. Шукаємо розв`язок у вигляді
Підставимо і в дане рівняння і добудемо або (6.5) Знаходимо функцію з рівняння . Відокремлюємо змінні, добуваємо . Зінтегрувавши рівняння, знаходимо . Поклавши , добуваємо . Підставимо знайдене значення у (6.5), добуваємо або . Зінтегрувавши, одержимо . Знаходимо загальний розв`язок рівняння або .
Рівняння Бернуллі.
Означення. Диференціальне рівняння вигляду , (7.1) де і неперервні функції (, ), називається рівнянням Бернуллі. Зведемо рівняння Бернуллі до лінійного. Поділимо обидві частини рівняння (7.1) на і добудемо . (7.2) Зробимо заміну шуканої функції , . Підставимо значення і у рівняння (7.2) і добудемо наступне лінійне рівняння: або . Знаходимо загальний розв`язок останнього рівняння і підставимо замість вираз і добудемо загальний інтеграл диференціального рівняння. Зауваження. Тому що рівняння Бернуллі зводиться до лінійного рівняння, його розв`язок можна шукати у вигляді , де будь-який ненульовий розв`язок рівняння . Приклад. Розв`язати рівняння , . Шукаємо розв`язок рівняння у вигляді , .Підставивши у рівняння замість і їх значення, одержимо або (7.3) Для знаходження функції маємо рівняння або . звідки або . Підставивши знайдене значення у рівняння (7.3), знаходимо або . Зінтегрувавши, знаходимо ,звідки . Таким чином, загальний розв`язок рівняння . Знайдемо частинний розв`язок рівняння, який задовольняє заданим початковим умовам: , звідки . Підставимо знайдене значення довільної сталої у загальний розв`язок і добудемо шуканий частинний розв`язок: .
|
||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-12; просмотров: 399; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.222.163.91 (0.008 с.) |