Дві задачі динаміки вільної матеріальної точки

 

1. Пряма або перша задача динаміки.

Знаючи масу матеріальної точки і її закон руху, знайти силу дії на цю точку чи рівнодійну сил, що спричинили цей рух.

В залежності від того в якій формі заданий закон руху матеріальної точки для визначення сили можна використовувати рівняння руху в векторній, координатній чи дійсній формі.

Наприклад: задані кінематичні рівняння в координатній формі:

(4.1)

тоді

(4.2)

(4.3)

2. Обернена або друга або друга задача динаміки.

Визначити закон руху матеріальної точки даної маси m за відомою силою F. Задано початкове положення цієї точки і її початкову швидкість.

Загальні теореми динаміки:

 

26. Теорема про кількості механічної системи в інерційній системі відліку.

Нехай механічна система складається з матеріальних точок масою . Кожна рухається відносно нерухомої системи відліку Аξɳζ Сили діють на точки механічної системи розкладемо на зовнішні і внутрішні, позначаючи через рівнодійну всіх зовнішніх сил, через рівнодійну всіх внутрішніх сил.

Тоді запишемо Другий Закон Ньютона:

Приймаються до уваги властивості внутрішніх сил:

(4.4)

де Q – кількісних рух механічної системи в нерухомій системі відліку.

Терема: Похідна часу від кількості руху механічної системи вираховується в будь-якій інерційній системі відліку рівна головному вектору всіх дій на систему зовнішніх сил.

Проектуючи (4.4) на вісі нерухомої системи координат Аξηζ отримуємо:

; ; (4.5)

Похідна по часу від проекції механічної системи на осі системи координат пов’язані з будь-якої інерційної системи відліку рівна відповідним проекціям на ті ж осі головного вектора всіх діючих на систему зовнішніх сил.

Припустимо, що головний вектор всіх зовнішніх сил діючи на механічну систему може бути виражений функцією часу . Тоді вираз (4.3) можна переписати:

(4.6)

де – кількість руху механічної сили в початку відліку.

– кількість руху механічної сили в момент часу t.

Такий імпульс сили буде рівний (4.7)

(4.7)

Проектуючи на осі нерухомої системи координат Аξηζ отримуємо:

(4.8)

Модуль та напрямок головного імпульсу визначаються:

(4.9)

(4.10)

Підставляючи (4.7), (4.6) отримуємо

(4.11)

 

 

27. Теорема про рух центра мас в механічній системі. Тоді рівняння 2 закону Ньютона:

(4.12)

– радіус-вектор центра мас.

В проекції на координати осі x, y, z радіус-вектора центра мас. Або що те ж саме координати центра мас визначаємо за формулами:

Рівність (4.12) виражає другий закон Ньютона для матеріальної точки в центрі мас механічної системи, якщо маса цієї точки рівна сумі мас, що входять в цю систему і до неї прикладена сила, рівна головному вектору усіх зовнішніх сил.

Теорема: Центр мас механічної системи рухаються як вільна матеріальна точка, маса якої рівна масі усієї системи і на яку діє сила, рівна головному вектору усіх зовнішніх сил. Проектуючи (4.12) на осі нерухомої системи координат Аξηζ і отримуємо:

(4.13)

В рівнянні (4.13) називається диференційним рівнянням руху центра мас.

1. Закони збереження кількості руху механічної системи.

Нехай механічна система є замкнутою, тобто на точки системи не діють зовнішні сили, тоді з формули (4.4) слідує:

(4.14)

де Q – визначається з початкової умови руху.

Якщо при швидкість точок механічної системи рівна , то наша . І тоді (4.14) приймає вигляд:

(4.15)

де і – компоненти руху механічної системи відповідно кінцевий і початковий моменти часу. Рівність (4.14) чи (4.15) виражають закон збереження комплексів руху замкненої механічної системи і в інерційній системі відліку.

(4.16)

де і – швидкості центра мас механічної системи відповідно в кінцевому і початковому моментах часу.

Рівність (4.16) виражає закон збереження швидкості центра мас замкненої механічної системи рухається в інерційній системі відліку. Центр мас такої системи рухається з постійною швидкістю U=0.

Закон збереження у вигляді (4.14) чи (4.16) є першим інтегралом в рівнянні руху в векторній формі. З (4.16) враховуючи, що знаходимо :

(4.17)

(4.17) називається другим інтегралом в векторній формі, де – радіус-вектор центра мас в початковий момент часу. (4.17) слідує, що в інерційна система відліку рухається рівномірно і прямолінійно.