Векторний спосіб задання руху точки.

Векторний спосіб задання руху точки.

Виберемо в просторі нерухливу точки О і проведемо з цієї точки радіус-вектор точки, рух якої вивчається:

При русі т. М цей радіус-вектор змінюється як по модулю, так і по напрямкові. При цьому, кожному моменту Т відповідає значення (мал.10.1б)

- однозначна ф-я часу (10.1)

Визначає положення т. М у просторі в довільний моментам часу.

Його називають кінематичним рівнянням точки у векторній формі й одночасне рівняння просторової кривої у векторній формі.

Траєкторія точки. - геометричне місце положень точки, що рухається, у розглянутій системі відліку, тобто Геометричне місце кінців радіус - вектор у точки

 

Координатний спосіб задання руху точки

Координатний спосіб визначення руху точки полягає в тому, що задається система координат (декартова, сферична, циліндрична і т.д.). Положення точки в просторі може бути визначено трьома величинами: q₁, q_2, q₃, що називаються криволінійними координатами точки.

Закон руху точки виразиться рівняннями:

(10.2)

у випадку прямокутної декартової С.К.. положення точки Визначається в просторі координатами х, в, z, а (рис 10.2), а функції (10,2) приймає вигляд:

(10.3)

Рівняння 10.3 називається кінематичними рівняннями руху точки в декартових координатах і порівнянню кінемат. руху декартових координат і одночасно рівняннями траєкторії точки в параметричній форму (t-параметр).

Зв'язок між векторними й координ. способом виражені:

(10.4)

Крім декартової у механіці використовується сферична, полярна система координат (рис 10.3-10.5):

Сферичними координатами т. М (мал.10.3) - полярний радіус r=OM, кут між ОХ і ОМ’), =(OM’OM) - полярний кут.

Рівняння (10,2) приймає вигляд:

r=r(t), = (t), = (t) (10.5)

Зв'язок між сферичною й декартовою системою координат виражається:

(10.6)

Циліндричними координатами т. (рис 10.4) є радіус = ОМ' або О'М.

між ОХ - азимут і z=ММ'. У цьому випадку рівняння 10.2 приймає вигляд:

(10.7)

 

Зв'язок між циліндричними й декартовими С.К.. виражається:

(10.8)

 

Полярними координатами т.М (10.5) - радіус ОМ і кут між ОХ і ОМ

Рівняння (10,2) приймає вигляд:

(10.9)

 

Зв'язок між цими координатами виражається:

(10.10)

 

Природній спосіб задання руху точки

Застосовується коли координата точки заздалегідь відома, тоді положення точки в просторі визначальних 4-х елементів (мал.10.6):

1. Просторів. Крива

2. Дугова координата С на кривій

3. Початок відліку дугової координати

4. Напрямок позитивного відліку дугової координати

При русі т. М дугова координата С змінюється із часом:

S=S(t) (10.11)

 

Залежність 10.11 - кінематичне рівнянням руху або законом руху точки М по заданій траєкторії.

Функція S(t) – передбачається неприривною, однозначної й двічі диференційованою. Позначимо - довжина шляху, що пройшла точка, яка рухається. Шлях точки - відстань, що пройшла точка уздовж траєкторії в напрямку руху точки. Нехай задані рівняння 10.3. З курсу диференціальної геометрії елемент дуги траєкторії ds виписується виразом:

(10.12)

Тоді закон руху точки записується у вигляді:

(10.13)

З врахуванням 10.12 шлях визначається:

(10.14)

 

 

Прискорення точки при природньому способі завдання руху

 

При природньому способі завдання руху прискорення визначається:

(11.16)

Перше складове називається тангенціальної складовою або тангенціальним прискоренням точки. Тангенціальне прискорення характеризує зміна швидкості по модулю.

(11.17)

Друга складова - нормальна складова або нормальне прискорення точки. Нормальне прискорення характеризує зміна швидкості по напрямкові. ρ – радіус кривизни трапеції по модулю

(11.18)

(11.19)

модуль повного прискорення:

(10.20)

Радіус кривизни:

(10.21)

 

Обертовий рух твердого тіла навколо нерухливої осі. Кінематичне рівняння руху.

Формула Ейлера

Рис. 12.2

Нехай oxyz – рухлива система координат, незмінно пов’язана з тілом, вісь oz якої збігається з віссю обертання (рис12.3). Положення тіла G підраховуємо кутом 𝝋 щодо нерухливої система координат вісь від ζ якої збігається з віссю обертання тіла G. В цьому випадку орт К постійний, орти та змінюються в напрямку та будучи функціями часу. Тому

-

, (12.11)

Вектор омега, уведений по (12.11) завжди спрямований по осі обертання в ту сторону, звідки обертання тіла спостерігається, що відбуваються проти ходу годинної стрілки. Він визначає 3 елемента:

1. положення осі обертання тіла в нерухливій системі координат.

2. величину, що характеризує швидкість зміни кута повороту за одиницю часу

3. напрямок обертання тіла.

(12.12)

(12.12) - формула Ейлера

Вона встановлює картину розподілення швидкостей точки тіла, що обертається навколо нерухливої осі. З формули (12.12) отримуємо:

(12.13)

Модуль швидкості будь-якої т. М дорівнює добутку модуля тіла на відстань R від М до осі обертання. Напрямлений вектор швидкості по дотичній до окружності, по якій рухається т. М. Тобто напрямок вектора швидкості визначається векторним добутком (12.12).

 

Плоско-паралельний рух

Плоско-паралельним називається такий рух твердого тіла, при якому кожна його точка весь час рухається в одній площині, що паралельна деякій нерухомій площині, яка називається основною. Нерухома площина називається основною.

 

Рис. 12.3 Рис. 12.4

Для описання плоского руху потрібно три незалежні координати, як функції часу. Тобто, дане тіло володіє трьома степенями волі. Визначаємо положення плоскої фігури в площині рухомої системи oxy, незмінно зв’язаної з нерухомою Аξɳ (рис. 12.4)

Розташування рухомої системи координат відносно нерухомої визначається координатами полюса , що співпадає з початком рухомої системи координат і кутом між розташуваннями напрямками осей ох і Аξ.

Відповідно отримуємо рівняння (12.14)

(12.14)

Функція (12.4) – кінематичні рівняння плоско-паралельного руху.

 

Теорема Ейлера

Вільне переміщення твердого тіла навколо нерухомої точки можна здійснити за допомогою трьох поворотів навколо відповідно вибраних трьох осей. Оскільки кожному моменту часу t відповідає визначене положення тіла.

Так як кожному моменту часу відповідає певне положення тіла і певне значення кутів Ейлера, тоді функція залежності:

(1.1)

Вони можуть бути прийняті в якості кінематичних рівнянь руху твердого тіла обертаючись навколо нерухомої точки. Одночасно вони визначають закон його руху. Це в тому випадку якщо точка нерухома система координат. Якщо точка , то при русі вільного твердого тіла це положення в нерухомій системі координат можна задати трьома координатами , , довільною точкою О і трьома незалежними параметричними кутами Ейлера.

Кожному елементу часу відповідає визначена сукупність функцій:

(1.2)

(1.3)

Ці функціональні залежності визначають положення твердого тіла в нерухомій системі координат, їх можна прийняти в якості кінематичних рівнянь руху вільного твердого тіла і одночасно вони визначають закон його руху. Рівняння (1.2) буде описувати поступальну складову руху вільного твердого тіла. Вона характеризує рух полюса О. А рівняння полюса (1.3) обертаючу складову навколо полюса О. В момент часу t руху вільного твердого тіла можна розуміти як складне, яке складається з поступального руху разом з довільно вибраним полюсом і обертати як нерухомі точки кути Ейлера не залежать від вибору полюса О.

Розподіл швидкості:

ІІ-й закон Ньютона

Зміна кількості руху пропорційна докладеній рушійною силою та відбувається за напрямом тієї прямої, по якій ця сила діє.

(3.2)

Перша похідна за часом від вектора кількості за величиною та напрямком дорівнює вектору сили діючого на цю точку.

(3.3)

де W – абсолютне прискорення точки.

Похідна маси матеріальної точки на її прискорення відносно інерціальної системи відліку дорівнює прикладеній до неї силі.

«Закон рівності дії та протидії»

Дії завжди відповідає рівна йому протидія направлена в протилежну сторону. Тобто дія двох тіл одне на одне завжди рівні та направлені в протилежні сторони.

Векторний спосіб задання руху точки.

Виберемо в просторі нерухливу точки О і проведемо з цієї точки радіус-вектор точки, рух якої вивчається:

При русі т. М цей радіус-вектор змінюється як по модулю, так і по напрямкові. При цьому, кожному моменту Т відповідає значення (мал.10.1б)

- однозначна ф-я часу (10.1)

Визначає положення т. М у просторі в довільний моментам часу.

Його називають кінематичним рівнянням точки у векторній формі й одночасне рівняння просторової кривої у векторній формі.

Траєкторія точки. - геометричне місце положень точки, що рухається, у розглянутій системі відліку, тобто Геометричне місце кінців радіус - вектор у точки