Шуканий об’єм Знаходимо за формулою

Для обчислення другого інтегралу використовуємо підстановку Тоді і Звідси

3. Знайти площу фігури, обмеженої кривими заданими в полярних координатах:

Розв’язування.

Задана фігура обмежена двома променями і кривою

Її площа дорівнює

Завдання 5-6.

Нехай

При обчисленні частинної похідної змінну у розглядаємо як сталу величину. Користуючись правилами диференціювання функцій одного аргументу і правилом диференціювання складеної функції, отримуємо

Аналогічно обчислюємо . Вважаючи х сталою величиною, отримуємо

Завдання 7.

Нехай задано функцію . Знайдемо градієнт і похідну цієї функції в точці в напрямку вектора .

Для цього обчислимо частинні похідні функції

Обчислюємо значення цих похідних в точці :

Градієнт grad u функції u(x, y) обчислюється за формулою

Таким чином,

Похідна в напрямку вектора обчислюється за формулою

де

, ; .

Отримуємо:

 

Завдання 8.

Знайти загальний розв’язок (загальний інтеграл) диференціального рівняння

.

Розв’язування. Права частина рівняння має властивість Тому задане рівняння є однорідним диференціальним рівнянням першого порядку. Виконаємо заміну , де – деяка функція від аргументу х. Звідси . Вихідне рівняння приймає вигляд:

Продовжуємо перетворення:

Відокремлюємо змінні:

Після інтегрування обох частин рівняння отримуємо

Таким чином,

Потенціюючи, знаходимо

або

Остаточно, загальний інтеграл вихідного рівняння набуває вигляду:

де С – довільна стала.

 

Завдання 9.

Розв’язати рівняння .

Розв’язування.

Маємо рівняння виду . Поклавши

, дістанемо або .

Це рівняння розпадається на два:

.

З першого маємо , звідки . У другому рівнянні відокремлюються змінні:

.

Оскільки , то .

Замінивши на , на , знайдемо другий розв’язок даного рівняння: .

Отже, задане рівняння має розв’язки

та .

 

Завдання 10.

Знайти загальний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами

, ,

Розв’язування.

Знайдемо загальний розв’язок однорідного рівняння з тими ж коефіцієнтами, що і в лівій частині заданого рівняння:

Для цього складаємо характеристичне рівняння і знаходимо його корені.

,

.

Так як корені характеристичного рівняння є дійсними і різними, то загальний розв’язок однорідного рівняння записується у вигляді

де – довільні сталі.

Підбираємо тепер частинний розв’язок заданого неоднорідного рівняння у вигляді (врахуємо що є корінь характеристичного рівняння)

Звідси

Підставляємо у вихідне рівняння і скоротивши всі доданки на множник , отримуємо

або після спрощення

Звідси отримуємо рівності тобто

Таким чином, загальний розв’язок заданого неоднорідного диференціального рівняння має вигляд

Знайдемо частинний розв’язок, який задовольняє задані початкові умови. Продиференціюємо загальний розв’язок:

.

Підставивши в загальний розв’язок і його похідну початкові умови , , дістаємо систему рівнянь

,

Звідки . Отже,

- шуканий розв’язок.

 

Завдання 11.

Нехай задано систему лінійних диференціальних рівнянь першого порядку .

Продиференціюємо перше рівняння Із другого рівняння підставимо , отримаємо значення у візьмемо із першого рівняння, тобто , тоді або тобто отримали лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку. Записуємо і розв’язуємо його характеристичне рівняння , , . Тобто загальний розв’язок має вигляд: . Оскільки , знайдемо . Тоді . Отже, розв’язок системи має вигляд .

 

Запитання для самоконтролю

1. Сформулюйте означення первісної функції і невизначеного інтеграла.

2. Випишіть таблицю основних інтегралів.

3. Сформулюйте основні методи інтегрування.

4. Виведіть формули інтегрування елементарних дробів.

5. Сформулюйте правило розкладу правильного дробу на суму елементарних.

6. Виведіть універсальну тригонометричну підстановку.

7. Наведіть методи інтегрування деяких тригонометричних функцій, проілюструйте їх прикладами.

8. Наведіть методи інтегрування деяких ірраціональних функцій, проілюструйте їх прикладами.

9. В чому полягає задача про площу криволінійної трапеції, роботу сили, шлях?

10. Що називається визначеним інтегралом?

11. Сформулювати і довести основні властивості визначеного інтеграла.

12. Довести формулу Ньютона-Лейбніца.

13. В чому полягає метод заміни змінної у визначеному інтегралі?

14. Що називається невласним інтегралом першого роду? невласним інтегралом другого роду?

15. Як обчислити площу плоскої фігури в декартових та полярних координатах?

16. Що називається функцією двох змінних?

17. Дати означення частинної похідної функції двох змінних по одній з них.

18. Що називається скалярним полем? Навести приклади.

19. Дати означення похідної за напрямом, записати формулу для обчислення похідної за напрямом.

20. Дати означення градієнта скалярного поля. Сформулювати властивості градієнта.

21. Що називається диференціальним рівнянням першого порядку?

22. Сформулювати теорему Коші про існування та єдиність розв’язку рівняння першого порядку.

23. Вказати типи диференціальних рівнянь першого порядку, що інтегруються в квадратурах, методи їх розв’язання.

24. У чому суть методу пониження порядку диференціального рівняння?

25. Як звести до рівнянь першого порядку рівняння та

26. Структура загального розв’язку лінійного неоднорідного рівняння другого порядку.

27. Як знаходиться частинний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння другого порядку?

28. Викласти схему розв’язання системи диференціальних рівнянь методом виключення.