Інтегрування тригонометричних функцій.

Інтеграли виду універсальною підстановкою , , , зводяться до інтегралів від раціональних дробів. Проте, в деяких випадках зручніше скористатись іншими підстановками, наприклад:

а) якщо , то ;

б) якщо , то ;

в) якщо , то .

Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

1. Інтеграл виду , раціоналізується підстановкою .

2. Інтеграли виду

а) , б) , в) підстановками

а) , б) , в)

зводяться до інтегралів від тригонометричних функцій.

3. Інтеграл виду підстановкою зводиться до одного з інтегралів попереднього типу.

 

Визначений інтеграл

Нехай функція визначена на відрізку і – довільне розбиття цього відрізка на частинних відрізків , . На кожному з них виберемо довільну точку і складемо суму , . Число називається інтегральною сумою функції , що відповідає даному розбиттю відрізка і вибору точок . Позначимо , .

Означення. Якщо існує границя інтегральної суми при , що не залежить ні від способу розбиття відрізка , ні від вибору точок , то ця границя називається визначеним інтегралом від функції на відрізку і позначається , тобто

.

Число називають нижньою, число – верхньою межею визначеного інтеграла.

Якщо - первісна для , тобто на , то (формула Ньютона-Лейбніца). Різницю записують також у вигляді .

Основні методи обчислення визначеного інтеграла – інтегрування частинами і заміна змінної.

Якщо і - неперервно диференційовні функції на , то справедлива формула інтегрування частинами

.

 

Заміна змінної у визначеному інтегралі:

, де - функція, неперервна разом зі своєю похідною на відрізку ; , , - функція неперервна на .

Важливо те, що заміняючи змінну у визначеному інтегралі, знаходять також нові межі інтегрування, і надалі вже не повертаються до початкової змінної.

Якщо функція неперервна при , то невласний інтеграл з нескінченною верхньою межею знаходять як границю визначеного інтеграла: . Відповідно

.

Якщо неперервна на функція при необмежено зростає і в точці невизначена, то за означенням

, де e >0.

Площа фігури, обмеженої кривими і та прямими і знаходиться за формулою

.

Площа криволінійного сектора, обмеженого кривою і полярними радіусами та , виражається інтегралом

.

Якщо крива задана параметричними рівняннями , , , то площа відповідної криволінійної трапеції

.

Довжина дуги гладкої кривої , знаходиться за формулою . Якщо крива задана параметричними рівняннями , , , то . Довжина дуги кривої в полярних координатах .

Об’єм тіла, утвореного обертанням криволінійної трапеції, обмеженої лініями , , , , навколо осі

.

За допомогою визначеного інтеграла обчислюють також статичні моменти і моменти інерції плоских фігур, знаходять координати центра мас плоскої фігури, роботу, тиск та інші величини.

Функції багатьох змінних.

Нехай задано множину впорядкованих пар чисел . Якщо кожній парі чисел за певним законом відповідає число , то кажуть, що на множині визначено функцію від двох змінних і і записують .

Множину називають областю визначення функції .

Впорядкованій парі чисел у прямокутній системі координат відповідає єдина точка площини, тому функцію , де , можна розглядати як функцію точки і замість писати .

Нехай функція визначена в деякому околі точки М(x, y). Надамо змінній приріст , а змінній приріст так, щоб точки і належали даному околу.

Величини

,

називають частинними приростами функції відповідно по змінних і .

Якщо існує границя

,

то вона називається частинною похідною функції по змінній і позначається одним із символів: , , , .

Аналогічно частинна похідна функції по визначається як границя

і позначається одним із символів: , , , .

Частинними похідними другого порядку від функції називають частинні похідні від її перших похідних:

 

; ;

; .

 

Похідні та називають мішаними частинними похідними другого порядку.

Нехай задано скалярне поле, тобто скалярна функція разом з областю її визначення. Візьмемо в ньому точку і проведемо з цієї точки вектор , напрямні косинуси якого , , . На векторі на відстані від його початку візьмемо точку . Обчислимо приріст функції при переході від точки до в напрямі вектора .

Якщо існує границя

,

то її називають похідною функції в точці за напрямом вектора і позначають .

Похідну за напрямом обчислюють за формулою:

.

Градієнтом функції в точці називають вектор, координати якого є значення частинних похідних цієї функції в точці і позначають . Отже,

.

Градієнт вказує напрям максимального зростання скалярного поля.