Інтегрування раціональних дробів.

Теоретичні відомості

Інтегральне числення.

Невизначений інтеграл

 

Функція називається первісною для функції на проміжку , якщо , .

Якщо є первісною для , то і кожна функція виду також буде первісною для .

Множина всіх первісних для функції називається невизначеним інтегралом від функції і позначається

.

Таблиця основних інтегралів:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17.

18.

Основні методи інтегрування – інтегрування частинами і заміна змінної.

Існують два способи заміни змінної: введення під знак диференціала і підстановка.

Метод введення під знак диференціала виражається формулою

,

де - первісна для , - неперервна диференційовна функція.

Метод підстановки полягає в тому, що коли функція неперервна, то, поклавши , де , - неперервні, отримуємо .

Метод інтегрування частинами виражається формулою

,

де і - диференційовні функції.

Далеко не кожну функцію можна проінтегрувати одним з вищеназваних способів. Наприклад: , , - інтеграли, які “не беруться”.

Наведемо основні типи інтегрованих функцій.

Інтегрування раціональних дробів.

Якщо степінь многочлена, який стоїть у чисельнику, більший або дорівнює степені многочлена, який стоїть у знаменнику, то такий раціональний дріб називається неправильним. Виділенням цілої частини неправильного дробу задача інтегрування зводиться до знаходження первісної правильного дробу. Далі правильний дріб потрібно розкласти на суму елементарних дробів виду

, , , ,

де ; A, B, a, p, q - константи; .

 

Інтегрування тригонометричних функцій.

Інтеграли виду універсальною підстановкою , , , зводяться до інтегралів від раціональних дробів. Проте, в деяких випадках зручніше скористатись іншими підстановками, наприклад:

а) якщо , то ;

б) якщо , то ;

в) якщо , то .

Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

1. Інтеграл виду , раціоналізується підстановкою .

2. Інтеграли виду

а) , б) , в) підстановками

а) , б) , в)

зводяться до інтегралів від тригонометричних функцій.

3. Інтеграл виду підстановкою зводиться до одного з інтегралів попереднього типу.

 

Визначений інтеграл

Нехай функція визначена на відрізку і – довільне розбиття цього відрізка на частинних відрізків , . На кожному з них виберемо довільну точку і складемо суму , . Число називається інтегральною сумою функції , що відповідає даному розбиттю відрізка і вибору точок . Позначимо , .

Означення. Якщо існує границя інтегральної суми при , що не залежить ні від способу розбиття відрізка , ні від вибору точок , то ця границя називається визначеним інтегралом від функції на відрізку і позначається , тобто

.

Число називають нижньою, число – верхньою межею визначеного інтеграла.

Якщо - первісна для , тобто на , то (формула Ньютона-Лейбніца). Різницю записують також у вигляді .

Основні методи обчислення визначеного інтеграла – інтегрування частинами і заміна змінної.

Якщо і - неперервно диференційовні функції на , то справедлива формула інтегрування частинами

.

 

Заміна змінної у визначеному інтегралі:

, де - функція, неперервна разом зі своєю похідною на відрізку ; , , - функція неперервна на .

Важливо те, що заміняючи змінну у визначеному інтегралі, знаходять також нові межі інтегрування, і надалі вже не повертаються до початкової змінної.

Якщо функція неперервна при , то невласний інтеграл з нескінченною верхньою межею знаходять як границю визначеного інтеграла: . Відповідно

.

Якщо неперервна на функція при необмежено зростає і в точці невизначена, то за означенням

, де e >0.

Площа фігури, обмеженої кривими і та прямими і знаходиться за формулою

.

Площа криволінійного сектора, обмеженого кривою і полярними радіусами та , виражається інтегралом

.

Якщо крива задана параметричними рівняннями , , , то площа відповідної криволінійної трапеції

.

Довжина дуги гладкої кривої , знаходиться за формулою . Якщо крива задана параметричними рівняннями , , , то . Довжина дуги кривої в полярних координатах .

Об’єм тіла, утвореного обертанням криволінійної трапеції, обмеженої лініями , , , , навколо осі

.

За допомогою визначеного інтеграла обчислюють також статичні моменти і моменти інерції плоских фігур, знаходять координати центра мас плоскої фігури, роботу, тиск та інші величини.

Функції багатьох змінних.

Нехай задано множину впорядкованих пар чисел . Якщо кожній парі чисел за певним законом відповідає число , то кажуть, що на множині визначено функцію від двох змінних і і записують .

Множину називають областю визначення функції .

Впорядкованій парі чисел у прямокутній системі координат відповідає єдина точка площини, тому функцію , де , можна розглядати як функцію точки і замість писати .

Нехай функція визначена в деякому околі точки М(x, y). Надамо змінній приріст , а змінній приріст так, щоб точки і належали даному околу.

Величини

,

називають частинними приростами функції відповідно по змінних і .

Якщо існує границя

,

то вона називається частинною похідною функції по змінній і позначається одним із символів: , , , .

Аналогічно частинна похідна функції по визначається як границя

і позначається одним із символів: , , , .

Частинними похідними другого порядку від функції називають частинні похідні від її перших похідних:

 

; ;

; .

 

Похідні та називають мішаними частинними похідними другого порядку.

Нехай задано скалярне поле, тобто скалярна функція разом з областю її визначення. Візьмемо в ньому точку і проведемо з цієї точки вектор , напрямні косинуси якого , , . На векторі на відстані від його початку візьмемо точку . Обчислимо приріст функції при переході від точки до в напрямі вектора .

Якщо існує границя

,

то її називають похідною функції в точці за напрямом вектора і позначають .

Похідну за напрямом обчислюють за формулою:

.

Градієнтом функції в точці називають вектор, координати якого є значення частинних похідних цієї функції в точці і позначають . Отже,

.

Градієнт вказує напрям максимального зростання скалярного поля.

Контрольна робота №1

Завдання 1.

1. Знайти інтеграл .

Перевіримо диференціюванням вірність отриманого розв’язку. Для цього знайдемо похідну

Отримали підінтегральну функцію.

2. Знайти інтеграл .

.

3. Знайти інтеграл .

Використаємо формулу інтегрування частинами

(1)

Нехай , . Тоді , . Далі за формулою (1) маємо

.

Перевіримо диференціюванням вірність отриманого розв’язку. Для цього знайдемо похідну

=

Отримали підінтегральну функцію.

4. Знайти інтеграл .

Перетворимо знаменник дробу, що стоїть під знаком інтеграла наступним чином:

Тоді після підстановки , dt=dx отримуємо

При обчисленні інтеграла користувались заміною змінної . Тоді , звідки

5. Обчислити інтеграл .

Підінтегральна функція – неправильний дріб, тому, розділивши чисельник на знаменник, виділимо цілу частину

.

Правильний дріб розкладемо на суму елементарних дробів

,

де А, В, С, D – невизначені коефіцієнти. Звідси

.

Надамо х чотири різних значення (по кількості невизначених коефіцієнтів):

, тоді

, тоді

, тоді

, тоді .

Розв’язавши систему лінійних рівнянь ,

отримаємо , , , .

Тоді

В знаменнику останнього інтегралу виділимо повний квадрат і введемо заміну , , :

.

Остаточно маємо

.

6. Обчислити інтеграл

Виконаємо підстановку тоді Отримуємо

7. Знайти інтеграл .

Скористаємося універсальною тригонометричною підстановкою ,

.

Завдання 2.

1. Нехай необхідно обчислити інтеграл .

Використаємо формулу Ньютона–Лейбніца

Щоб обчислити визначений інтеграл потрібно знайти первісну функцію і замість змінної х спочатку підставити верхню межу b, а потім нижню межу a і від першого результату відняти другий.

 

2. Обчислити інтеграл .

При обчисленні даного інтегралу зробимо заміну змінної. В цьому випадку знаходимо нові границі інтегрування для нової змінної.

.

Завдання 3.

Обчислити інтеграл. .

.

 

Завдання 4.

1. Обчислити площу фігури, обмеженої заданими параболами

Розв’язування.

Знайдемо абсциси точок перетину заданих парабол. Для цього прирівняємо праві частини цих рівнянь:

Звідси

Площу фігури обчислюємо за формулою

де – криві, які обмежують фігуру .

В нашому випадку маємо

 

2. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, розташованої в першій координатній чверті і обмеженої параболою , прямою і віссю Ох.

Розв’язування.

Знайдемо абсцису точки перетину параболи і прямої в першій координатній чверті. Для цього розв’яжемо рівняння

або

Знаходимо, що Першій координатній чверті відповідає корінь

Абсцису точки перетину прямої з віссю Ох знайдемо, розв’язавши рівняння звідки

Таким чином, можемо вважати, що тіло обертання обмежене при поверхнею, яка утворена обертанням параболи навколо осі Ох, а при – обертанням прямої .

Завдання 5-6.

Нехай

При обчисленні частинної похідної змінну у розглядаємо як сталу величину. Користуючись правилами диференціювання функцій одного аргументу і правилом диференціювання складеної функції, отримуємо

Аналогічно обчислюємо . Вважаючи х сталою величиною, отримуємо

Завдання 7.

Нехай задано функцію . Знайдемо градієнт і похідну цієї функції в точці в напрямку вектора .

Для цього обчислимо частинні похідні функції

Обчислюємо значення цих похідних в точці :

Градієнт grad u функції u(x, y) обчислюється за формулою

Таким чином,

Похідна в напрямку вектора обчислюється за формулою

де

, ; .

Отримуємо:

 

Завдання 8.

Знайти загальний розв’язок (загальний інтеграл) диференціального рівняння

.

Розв’язування. Права частина рівняння має властивість Тому задане рівняння є однорідним диференціальним рівнянням першого порядку. Виконаємо заміну , де – деяка функція від аргументу х. Звідси . Вихідне рівняння приймає вигляд:

Продовжуємо перетворення:

Відокремлюємо змінні:

Після інтегрування обох частин рівняння отримуємо

Таким чином,

Потенціюючи, знаходимо

або

Остаточно, загальний інтеграл вихідного рівняння набуває вигляду:

де С – довільна стала.

 

Завдання 9.

Розв’язати рівняння .

Розв’язування.

Маємо рівняння виду . Поклавши

, дістанемо або .

Це рівняння розпадається на два:

.

З першого маємо , звідки . У другому рівнянні відокремлюються змінні:

.

Оскільки , то .

Замінивши на , на , знайдемо другий розв’язок даного рівняння: .

Отже, задане рівняння має розв’язки

та .

 

Завдання 10.

Знайти загальний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами

, ,

Розв’язування.

Знайдемо загальний розв’язок однорідного рівняння з тими ж коефіцієнтами, що і в лівій частині заданого рівняння:

Для цього складаємо характеристичне рівняння і знаходимо його корені.

,

.

Так як корені характеристичного рівняння є дійсними і різними, то загальний розв’язок однорідного рівняння записується у вигляді

де – довільні сталі.

Підбираємо тепер частинний розв’язок заданого неоднорідного рівняння у вигляді (врахуємо що є корінь характеристичного рівняння)

Звідси

Підставляємо у вихідне рівняння і скоротивши всі доданки на множник , отримуємо

або після спрощення

Звідси отримуємо рівності тобто

Таким чином, загальний розв’язок заданого неоднорідного диференціального рівняння має вигляд

Знайдемо частинний розв’язок, який задовольняє задані початкові умови. Продиференціюємо загальний розв’язок:

.

Підставивши в загальний розв’язок і його похідну початкові умови , , дістаємо систему рівнянь

,

Звідки . Отже,

- шуканий розв’язок.

 

Завдання 11.

Нехай задано систему лінійних диференціальних рівнянь першого порядку .

Продиференціюємо перше рівняння Із другого рівняння підставимо , отримаємо значення у візьмемо із першого рівняння, тобто , тоді або тобто отримали лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку. Записуємо і розв’язуємо його характеристичне рівняння , , . Тобто загальний розв’язок має вигляд: . Оскільки , знайдемо . Тоді . Отже, розв’язок системи має вигляд .

 

Запитання для самоконтролю

1. Сформулюйте означення первісної функції і невизначеного інтеграла.

2. Випишіть таблицю основних інтегралів.

3. Сформулюйте основні методи інтегрування.

4. Виведіть формули інтегрування елементарних дробів.

5. Сформулюйте правило розкладу правильного дробу на суму елементарних.

6. Виведіть універсальну тригонометричну підстановку.

7. Наведіть методи інтегрування деяких тригонометричних функцій, проілюструйте їх прикладами.

8. Наведіть методи інтегрування деяких ірраціональних функцій, проілюструйте їх прикладами.

9. В чому полягає задача про площу криволінійної трапеції, роботу сили, шлях?

10. Що називається визначеним інтегралом?

11. Сформулювати і довести основні властивості визначеного інтеграла.

12. Довести формулу Ньютона-Лейбніца.

13. В чому полягає метод заміни змінної у визначеному інтегралі?

14. Що називається невласним інтегралом першого роду? невласним інтегралом другого роду?

15. Як обчислити площу плоскої фігури в декартових та полярних координатах?

16. Що називається функцією двох змінних?

17. Дати означення частинної похідної функції двох змінних по одній з них.

18. Що називається скалярним полем? Навести приклади.

19. Дати означення похідної за напрямом, записати формулу для обчислення похідної за напрямом.

20. Дати означення градієнта скалярного поля. Сформулювати властивості градієнта.

21. Що називається диференціальним рівнянням першого порядку?

22. Сформулювати теорему Коші про існування та єдиність розв’язку рівняння першого порядку.

23. Вказати типи диференціальних рівнянь першого порядку, що інтегруються в квадратурах, методи їх розв’язання.

24. У чому суть методу пониження порядку диференціального рівняння?

25. Як звести до рівнянь першого порядку рівняння та