Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Визначники 3-го, n-го порядку. Властивості визначників.↑ Стр 1 из 18Следующая ⇒ Содержание книги
Поиск на нашем сайте
Розклад визначника за елементами рядків та стовпців Мета теми: вивчити поняття визначника третього порядку,-го порядку, їх властивості. Навчитися користуватися теоремою про розкладання визначника. Студент повинен знати: означення визначника третього та n порядків, властивості; теорему про розкладання визначника. Студент повинен вміти:обчислювати визначники другого, третього та четвертого порядків; застосовувати теорему про розкладання визначника за елементами рядків та стовпчиків для обчислювання визначників.
Основні питання теми При вивченні цієї теми треба спочатку уважно прочитати матеріал, зробити конспект, в якому повинні бути означення визначників, їх властивості та схема їх обчислення. Це зручно зробити за наступним планом: 1.Означення визначника 2,3 та n порядку. 2.Загальний вигляд визначника 2, 3 та n порядку. 3.Властивості. 4.Розкладання визначника за елементами рядків та стовпців. 5.Приклади.
Свої набуті знання ви можете перевірте в наступному тесті. 1.Різниця добутків елементів, що стоять у головній та побічній діагоналях називається... а)матрицею другого порядку б)визначником другого порядку в)визначником третього порядку г)квадратною матрицею 2.Якщо рядки визначника замінити відповідними стовпцями, а стовпці рядками, то визначник.... а)дорівнює 0 б)не зміниться в)збільшить порядок г)поміняє знак на протилежний 3.Якщо у визначника поміняти місцями 2 рядка або стовпчика, то він... а)буде дорівнювати 0 б)не зміниться в)збільшить порядок г)змінить знак на протилежний 4.Якщо один з рядків визначника (або стовпчиків) складається з нулів, то він... а)буде дорівнювати 0 б)не зміниться в)збільшить порядок г)змінить знак на протилежний 5.Якщо визначник має 2 однакових рядка або стопчика, то він... а)буде дорівнювати 0 б)не зміниться в)збільшує порядок г)змінить знак на протилежний 6.Якщо елементи двох рядків або стовпчиків визначника пропорційні, то він... а)буде дорівнювати 0 б)не змінюється в)збільшує порядок г)змінює знак на протилежний 7.Якщо до елементів одного рядка (стовпчика) визначника додати або відняти елементи іншого рядка (стовпчика), або елементи, пропор-ційні до них, то визначник... а)буде дорівнювати 0 б)не зміниться в)збільшить порядок г)змінить знак на протилежний 8.Обчислити визначники
Завдання для самоперевірки Обчислити визначники різними методами:
3 2 4 1 -2 5 -3 4 0 6 1 -4 5 2 1 -3 2 -1 3 2 2 3 1 -1 3 4 4 0 5 1 1 2 3 -5 Література: В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001, стор. 6 – 12.
Лекція „Визначники третього порядку” Вираз
являє собою визначник третього порядку. Існує простий спосіб розкриття визначника третього порядку — так зване правило Саррюса. Допишемо до визначника (2) перший і другий стовпці, а далі перемножатимемо елементи, що розміщені на одній лінії, як показано на схемі:
Добуток елементів, які розміщені на лініях, що йдуть згори ліворуч униз праворуч, береться зі знаком «+». Добуток елементів, розміщених на лініях, що йдуть згори праворуч униз ліворуч, береться зі знаком «–».
Обчислимо визначник третього порядку . · За правилом Саррюса складемо таблицю
і знайдемо значення визначника: D 3 = 1 × 2 × 2 + 2 × 1 × 3 + 3 × 2 × 1 – 3 × 2 × 3 – 1 × 1 × 1 – 2 × 2 × 2 = –11. · Оскільки визначник n -го порядку складається з n! доданків, то формула (1) не застосовується для обчислення визначників при n > 3 (уже при n = 4 визначник містить 4! = 24 доданки). Для обчислення визначників застосовують властивості, що розглядаються далі. Властивості визначників Властивість1. При транспонуванні визначника його значення не змінюється. Доведення. Доведемо, що визначники рівні. Розглянемо доданки, які входять до D: . Якщо позначити , то до визначника D 1 увійде відповідний доданок . Оскільки до визначників D та D 1 входять однакові доданки з однаковими знаками, то D = D 1. Із властивості 1 випливає, що рядки та стовпці визначника рівноправні. Усі наведені далі властивості, що справджуються для рядків, виконуються й для стовпців. ¨
Для визначника другого порядку маємо: .
Властивість2. Якщо всі елементи деякого рядка дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю. Доведення. Оскільки кожний із доданків, що входять до визначника, містить нульовий множник, то всі доданки дорівнюють нулю і визначник також дорівнює нулю. ¨
Властивість 3. Якщо всі елементи будь-якого рядка мають спільний множник, то його можна винести за знак визначника. Доведення. Кожний із доданків, що входять до визначника, містить один із елементів розглядуваного рядка. Тому спільний множник елементів цього рядка можна виносити із суми цих доданків. ¨
Обчислимо визначник: . Властивість 4. Якщо поміняємо місцями два рядки визначника, то він змінить свій знак. Доведення. У визначнику n -го порядку поміняємо місцями k -й і s -й рядки (s > k). Здобутий визначник позначимо D 1. Якщо до визначника D входить доданок , то до визначника D 1 обов’язково входить аналогічний доданок . Оскільки переставлення других індексів відрізняються однією транспозицією, то парність переставлень різна. Отже, доданок, що є добутком розглядуваних елементів, завжди входить до визначників D та D 1 з різними знаками. Це й доводить потрібну властивість. ¨
Поміняємо місцями рядки у визначнику: .
Властивість 5. Якщо у визначнику два рядки однакові, то визначник дорівнює нулю. Доведення. Поміняємо місцями однакові рядки визначника. Він при цьому не зміниться, а згідно з властивістю 4 лише змінить свій знак, тобто D = – D. Звідси випливає, що D = 0. ¨
Для визначника третього порядку виконується рівність: , оскільки цей визначник має два однакові рядки.
Властивість 6. Якщо у визначнику елементи одного рядка пропорційні до відповідних елементів іншого рядка, то визначник дорівнює нулю. Доведення. Винесемо множник пропорційності за знак визначника й дістанемо визначник з двома однаковими рядками, який дорівнює нулю. ¨
Властивість 7. Якщо у визначнику D всі елементи будь-якого рядка є сумою двох доданків, то цей визначник є сумою двох визначників, усі елементи яких (крім фіксованого рядка) збігаються. У першому визначнику фіксований рядок містить перші доданки, у другому визначнику фіксований рядок містить другі доданки. Доведення. Візьмемо k -й рядок. Оскільки до кожного з доданків, що утворюють визначник, входить один із елементів k -го рядка, то можна в загальному вигляді записати розклад визначника за елементами цього рядка: .
Множники називаються алгебраїчними доповненнями елементів . Якщо що й доводить сформульовану властивість. ¨
За властивістю 7 маємо: .
Властивість 8. Якщо до елементів деякого рядка визначника додати відповідні елементи іншого його рядка, помноживши на одне й те саме число, то значення визначника при цьому не зміниться. Доведення. Додамо до елементів k -го рядка визначника D елементи s -го його рядка , помножені на число l. Здобутий визначник набере такого вигляду D 1: Останній доданок дорівнює нулю, бо визначник має однакові k -ті та s -ті рядки. Отже, D 1 = D. ¨
Маємо рівність визначників: . Із доведення властивостей 7 і 8 випливають розглянуті далі властивості визначників.
Властивість 9. Сума добутків елементів будь-якого рядка або стовпця визначника на відповідні алгебраїчні доповнення дорівнює цьому визначнику, тобто якщо , то справджуються рівності:
Властивість 10. Сума добутків елементів будь-якого рядка визначника на алгебраїчне доповнення відповідних елементів іншого його рядка дорівнює нулю: . Аналогічна властивість виконується для стовпців: . Обчислимо визначник четвертого порядку . · Додамо перший рядок до другого і четвертого, утворивши визначник . Поміняємо місцями перший і третій стовпці: . Додамо другий рядок до третього і четвертого рядків і винесемо спільний множник елементів третього і четвертого рядків: . Віднявши третій рядок від четвертого, обчислимо даний визначник за формулою (1): .
Література: В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001
Тема 2:
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-26; просмотров: 997; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.119.135.231 (0.006 с.) |