Диференціальне числення функції багатьох змінних

 

Література [5] – с. 499-574, [6] – с. 341-407, [7] – с. 284-329.

Якщо кожній точці множини -вимірного простору за деяким законом поставлено у відповідність одне і тільки одне дійсне число , то говорять, що в області задано функцію незалежних змінних

,

де – область визначення функції, – область значень функції.

Зокрема, коли , маємо функцію двох змінних , якщо кожній парі на площині поставлено у відповідність одне і тільки одне число .

Позначимо частинні прирости функції :

, .

Якщо існують скінченні границі

то їх називають частинними похідними функції у точці відповідно за змінними та .

Позначення: або .

Правило знаходження частинних похідних першого порядку:

Для обчислення частинних похідних користуються відомими формулами і правилами диференціювання функції однієї змінної, вважаючи всі змінні, крім , сталими.

 

Приклад 1. Знайти частинні похідні функції

Розв’язання.

Функція визначена в області . Вважаючи, що стале, знаходимо

Вважаючи, що стале, знаходимо

Функція називається диференційовною в точці , якщо її повний приріст можна подати у вигляді

де ; – нескінченно малі при

Повним диференціалом першого порядку функції в точці називається головна лінійна відносно та частина повного приросту функції:

Так як та – незалежні змінні, то , .

Теорема. Якщо функція диференційовна в точці і , то в точці існують частинні похідні, причому

Отже повний диференціал функції обчислюється за формулою

При досить малих та для диференційовної функції в точці має місце наближена формула

Приклад 2 Задана функція і точки .

1) Обчислити значення

2) Обчислити наближене значення за допомогою повного диференціала;

3) Знайти відносну похибку (у відсотках) при заміні приросту диференціалом;

4) Написати рівняння дотичної площини до поверхні в точці

Розв’язання.

1) Обчислимо значення

2) Обчислимо наближене значення за допомогою повного диференціала. Нехай

Підставимо знайдені значення у формулу (1):

3) Знайдемо відносну похибку при заміні приросту диференціалом .

4) Знайдемо рівняння дотичної площини до поверхні в точці За попередніми обчисленнями Тоді рівняння дотичної площини має вигляд

Нехай функція визначена в деякому околі точки , – вектор з початком у точці , – точка околу, що лежить на векторі ; – довжина відрізка Якщо існує

то ця границя називається похідною функції за напрямом вектора у точці , тобто

Похідна за напрямом характеризує швидкість зміни функції у точці за напрямом .

Якщо функція має в точці неперервні частинні похідні, то в цій точці існує похідна за будь-яким напрямом , причому

(2)

де

 

Приклад 3 Знайти похідну скалярного поля в точці за напрямом тої нормалі до поверхні , яка утворює гострий кут з додатнім напрямком осі . , .

Розв’язання.

Знайдемо нормальний вектор .

Отже нормальний вектор до поверхні в точці такий: Координата z вектора додатна (z=6), тому нормаль до поверхні утворює гострий кут з додатнім напрямом осі

Скористаємось формулою (2) для обчислення похідної за напрямом.

Знайдемо напрямні косинуси вектора :

Обчислимо значення частинних похідних у точці :

 

 

 

Отже

 

Вектор, координатами якого є значення частинних похідних функції в точці , називають градієнтом функції в цій точці і позначають :

Вектор градієнта вказує напрямок найшвидшого зростання функції.

Завдання:

Таблиця вибору варіантів:

	а	в	с		а	в	с
			-2
						-5
			-5				-1
			-3
						-1

 

Завдання до виконання:

1.Обчислити похідну за напрямом вектора М₁М₂ та градієнт в точці М_1, якщо М₁(а;в), а М₂(в;-с)

1.

2

3.

2.Обчислити похідну за напрямом градієнта в точці М(с;-а)

Контрольні запитання:

1. Як знайти частинні похідні першого порядку?

2. Що таке похідна за напрямом?

3. Формула для знаходження градієнта.

4. Що характеризують градієнт та похідну за напрямом?

 

Практична робота № 14

Тема: Застосування повного диференціала до наближених обчислень

Мета: Навчитись обчислювати наближені значення функції, використовуючи повний диференціал.

Теоретичні відомості:

Функція називається диференційованою в точці , якщо її повний приріст можна подати у вигляді

де ; – нескінченно малі при

Повним диференціалом першого порядку функції в точці називається головна лінійна відносно та частина повного приросту функції:

Так як та – незалежні змінні, то , .

Теорема. Якщо функція диференційована в точці і , то в точці існують частинні похідні, причому

Отже повний диференціал функції обчислюється за формулою

При досить малих та для диференційованої функції в точці має місце наближена формула , звідки

Приклади розв’язання завдань:

Приклад.

Задана функція і точки .

5) Обчислити значення

6) Обчислити наближене значення за допомогою повного диференціала;

7) Знайти відносну похибку (у відсотках) при заміні приросту диференціалом;

Розв’язання.

1) Обчислимо значення

2) Обчислимо наближене значення за допомогою повного диференціала. Нехай

Підставимо знайдені значення у формулу (1):

3) Знайдемо відносну похибку при заміні приросту диференціалом .

Завдання до виконання:

 

Задана функція і точки А(x;y) i .

1) Обчислити значення

2) Обчислити наближене значення за допомогою повного диференціала;

3) Знайти відносну похибку (у відсотках) при заміні приросту диференціалом;

Вказівка: т. А – добирати самостійно, виходячи з умови

1. , В(0,98;5,02)

2. , В(1,92;-2,38)

3. , В(2,32;-5,003)

4. , В(4,08;-1,93)

5. , В(3,99;8,02)

6. , В(-3,87;4,02)

7. , В(1,96;5,004)

8. , В(2,02;8,009)

9. , В(6,99;2,23)

10. ,В(2,96;7,02)

Контрольні запитання:

1. Дати означення функції багатьох змінних.

2. Дати означення повного диференціала.

3. Записати формулу для обчислення повного диференціала.

Практична робота № 15.

Тема: Дослідження рядів на збіжність. Розклад функцій в степеневі ряди Тейлора-Маклорена.

Мета: Навчитися застосовувати ознаки збіжності рядів до дослідження рядів на збіжність. Навчитися розкладати функції в степеневі ряди Тейлора-Маклорена

Література:

[4] – с. 254-259; [1] – с. 493-497; [5] – с. 249-256. с. 295-261; [1] – с. 498-499; [5] – с. 257-259.

 

Теоретичні відомості:

 

Нехай задано нескінченну послідовність чисел

.

Вираз (1) називається числовим рядом.

 

Якщо послідовність частинних сум збіжна і , то число називається сумою ряду (1), а ряд називається збіжним.

Якщо послідовність скінченної границі не має, то ряд називається розбіжним.

Необхідна умова збіжності ряду. Якщо ряд збіжний, то

.

Наслідок. Якщо , то ряд розбіжний.

 

Достатні умови збіжності ряду:

І. Ознаки порівняння.

1. Перша ознака порівняння. Нехай задано два знакододатні ряди

, і .

Якщо ряд збіжний, то збіжний і ряд .

Якщо ряд розбіжний, то розбіжний і ряд .

2. Друга ознака порівняння. Якщо задано два знакододатні ряди

і ,

причому існує скінчена границя і ця границя не дорівнює 0, то ці ряди збіжні або розбіжні одночасно.

Ознака Д’Аламбера. Якщо для знакододатного ряду , () існує границя

,

то

1) цей ряд збіжний при ;

2) цей ряд розбіжний при .

Радикальна ознака Коші.

Якщо для знакододатного ряду існує границя , то

1) ряд збіжний при ;

2) ряд розбіжний при .

 

Інтегральна ознака Коші. Нехай функція , визначена на проміжку є додатною та не зростаючою на цьому проміжку. Тоді невласний інтеграл збіжний (розбіжний) одночасно із знакододатнім числовим рядом

.

 

 

Числовий ряд, члени якого можуть бути як додатними, так і від’ємними називається знакозмінним.

Теорема Лейбніца. Знакозмінний ряд збіжний, якщо

1)

2) .

При цьому сума додатна і не перевищує першого його члена.

 

Знакозмінний ряд називається абсолютно збіжним, якщо ряд , складений з модулів його членів, є збіжним.

Якщо знакозмінний ряд збіжний, а ряд , складений з модулів його членів, розбіжний, то ряд називають умовно збіжним.

Ряд , членами якого є функції, визначені на деякій множині , називається функціональним рядом.

Функціональний ряд виду ,

де – дійсні числа, називають степеневим рядом.

Інтервалом збіжності степеневого ряду називають такий інтервал , що для кожної точки , яка лежить в середині цього інтервалу, ряд збіжний, і причому абсолютно, а для точок , які знаходяться зовні цього інтервалу, ряд розбіжний. Число називають радіусом збіжності степеневого ряду.

Радіус збіжності степеневого ряду можна знайти за формулами:

, або .

Розклади основних елементарних функцій в степеневі ряди Маклорена:

 

 

Приклади розв’язання рівнянь:

Приклад 1.

Дослідити на збіжність ряд .

Розв’язання.

Застосуємо ознаку порівняння. Порівнюємо з рядом , який збіжний, так як його члени утворюють геометричну прогресію із знаменником , а оскільки то ряд – теж збіжний.

Приклад 2.

Застосовуючи ознаку Д’Аламбера, дослідити на збіжність ряд .

Розв’язання.

Заданий ряд розбіжний.

 

Завдання до виконання:

 

1. Дослідити ряди на збіжність

 

1. 2. 3. 4.

 

 

5. 6. 7. 8.

 

 

9. 10. 11. 12.

 

 

13. 14. 15.

2.Розкласти функцію в ряд Тейлора-Маклорена

 

1. 2. 3.

 

4. 5. 6.

 

7. 8. 9.

 

10.

Контрольні запитання:

1. Дати означення числового ряда.

2. Дати означення функціонального ряда.

3. Дати означення степеневого ряда.

4. Сформулювати необхідну ознаку збіжності рядів.

5. Сформулювати достатню ознаку збіжності рядів.

6. Записати загальний вигляд ряда Тейлора – Маклорена.

7. Записати формули для обчислення радіусу збіжності степеневого ряду.

8. Навести розклад елементарних функцій в ряд Тейлора – Маклорена.

Література:

 

1. И.И.Валуцэ, Г.Д. Дилигул. Математика для техникумов.Москва. «Наука», 1989г.

2. Вища математика. П.П. Овчинников та ін. Ч.1.Київ «Техніка», 2003р.

3. А.М. Самойленко, С.А. Кривошея, А.М. Самойленко, С.А. Кривошея, Н.А. Перестюк. Дифференциальные уравнения. Примеры и задачи.-Москва, «Высшая школа», 1989г.

4. П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах.-Москва «Высшая школа», 1980г.

5. Л.І.Дюженкова, Т.В.Колесник, М.Я. Ляшенко, Г.О.Михалін, М.І.Шкіль, Математичний аналіз у задачах і прикладах. В 2 частинах.-Київ, «Вища школа»,2003р.

6. Навчально – методичні матеріали до виконання контрольних робіт з вищої математики. Ч.1 / Грижук О.П. та ін. – Черкаси, ЧДТУ, 2004 р.