Приклад 1. Розв’язати систему лінійних рівнянь

трьома способами:

а) методом Крамера;

б) матричним способом;

в) методом Гаусса.

Розв’язання.

Обчислимо визначник системи:

, тому розв’язок можна знайти за формулами Крамера та матричним способом.

а) Знайдемо :

Підставляючи знайдені значення визначників у формули Крамера (4) отримаємо

б) Знайдемо розв’язок матричним способом. Відповідно до введених позначень маємо

Використаємо отримане в попередньому пункті значення визначника матриці :

Для знаходження оберненої матриці обчислимо алгебраїчні доповнення елементів матриці :

Згідно формули (1) має вигляд

Розв’язок системи знайдемо за формулою (3):

звідки випливає, що , , .

 

Завдання до виконання:

 

1.Знайти значення матричного многочлена 5AB + 2B²;

2.Транспонувати матрицю В;

3.Знайти матрицю А^-1

 

1. А= В=

2. А= В=

3. А= В=

4. А= В=

5. А= В=

6. А= В=

7. А= В=

8. А= В=

9. А= В=

10. А= В=

11. А= В=

12. А= В=

13. А= В=

14. А= В=

15. А= В=

16. А= В=

17. А= В=

18. А= В=

19. А= В=

20. А= В=

21. А= В=

22. А= В=

23. А= В=

24. А= В=

25. А= В=

26. А= В=

27. А= В=

28. А= В=

29. А= В=

30. А= В=

 

Контрольні запитання:

1. Що таке матриця?

2. Як додати матриці?

3. Записати формулу множення матриць?

4. В чому полягає метод Гауса?

5. В чому полягає метод Крамера?

6. Записати формули для розв’язання системи лінійних рівнянь матричним способом.

7. Яка матриця називається транспонованою?

 

Практична робота № 3

Тема: Рівняння прямої на площині.

Мета: Систематизувати набуті знання. Вміти розрізняти різні форми прямої на площині та вміти їх записувати.

Навчитися відшукувати вірний підхід до розв’язання тієї чи іншої задачі.

Література: [1] – с. 140-144; [2] – с. 8-13, 37-48; [4] – с. 58-65; [5] – с. 23-51.

Теоретичні відомості

Пряма на площині.

1. Пряма, що проходить через точку перпендикулярно до вектора , який називається нормальним вектором прямої (рис. 2), має рівняння виду:

Позначимо , тоді отримаємо загальне рівняння прямої:

2. Пряма, що проходить через точку паралельно до вектора , який називається напрямним вектором прямої (рис. 2), має рівняння виду:

(6)

Рівняння (6) називають канонічним рівнянням прямої.

3. Пряма, що проходить через дві точки і , має рівняння виду:

(7)

Відстань від точки до прямої знаходять за формулою

. (8)

 

Приклад 2. (Задача 2.2.) Дано вершини трикутника : , , . Знайти:

1) рівняння сторін , і ;

2) рівняння медіани і висоти ;

3) рівняння прямої, що проходить через точку паралельно прямій , і обчислити відстань між цими прямими.

Розв’язання.

1) Запишемо рівняння прямої, що проходить через дві точки (7)

Отримали канонічне рівняння прямої (6), з якого встановимо, що – напрямний вектор прямої . Помножимо обидві частини рівняння на – 4 і перенесемо всі доданки в одну сторону.

Маємо загальне рівняння прямої, з якого – нормальний вектор прямої .

Аналогічно отримаємо рівняння інших сторін

2) Висота (рис. 3), тому нормальний вектор є напрямним для висоти. Скориставшись канонічним рівнянням прямої (6), записуємо рівняння , що проходить через точку

Медіана ділить точкою навпіл сторону . Координати середини відрізка, тобто точки , обчислимо за допомогою формул (2)

Складемо рівняння прямої, що проходить через дві точки і :

 

3) Пряма , що проходить через точку паралельно буде мати такий самий напрямний вектор як і , тобто . Запишемо канонічне рівняння прямої :

Оскільки прямі і паралельні, то відстань між цими прямими можна визначити як відстань від будь-якої точки однієї прямої до іншої прямої. Відстань від точки прямої до прямої знайдемо за формулою (8):

 

Завдання до виконання:

Оберіть значення для виконання завдань згідно таблиці:

П – номер студента в друкованому списку журналу.

№	а	в	с
	(n-2; n+6)	(2n-4; 3n+1)	(1/2n;0)
	(0;6-n)	(3n-2n;0)	(n+1;2)
	5n	-3n+1	3n-6

1. Заданий трикутник АВС. Знайти:

· Довжину та рівняння сторони АВ;

· Рівняння прямої, що проходить через точку В перпендикулярно медіані ВМ;

· Написати рівняння висоти та медіани, проведених з точки А;

· Знайти кути трикутника.

2. Знайти четверту вершину паралелограма АВСК та його гострий кут.

3. Дослідити взаємне розташування прямих

 

(а-в)х+(с-2в)у=8

3сх-2ау=11

4. Написати висновок.

Контрольні запитання

1. Записати рівняння прямої, що проходить через 2 точки.

2. Записати рівняння прямої, що проходить через точку А перпендикулярно заданому вектору.

3. Записати канонічне рівняння прямої.

4. Записати параметричне рівняння прямої.

5. Записати формулу для обчислення довжини відрізка.

6. Записати формулу для обчислення координат середини відрізка.

7. Умова паралельності (перпендикулярності) прямих.

Практична робота № 4

Тема: Дослідження форми кривої другого порядку за її канонічним рівнянням.

Мета: Навчитися приводити криві другого порядку до канонічного вигляду та досліджувати форму кривої за канонічним рівнянням.

Теоретичні відомості: