Основні правила диференціювання.

Якщо функції і диференційовні в точці , тоді в цій точці мають місце такі співвідношення:

1) ;

2) ;

3) .

При розв’язанні задач на обчислення похідної застосовують ряд формул для похідних основних елементарних функцій:

1) ;

2) , ( – довільне число);

3) , ();

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12)

13) ;

14) ;

15) ;

16) ;

17) ;

18) .

Похідна складеної функції. Якщо функція має похідну в точці , а функція має похідну у відповідній точці , то складена функція має похідну в точці і справедливою є формула

.

Похідна функції, заданої параметрично. Похідна функції, яка задана параметрично рівняннями , де і диференційовні в точці , причому , обчислюється за формулою:

.

Диференціювання неявної функції. Нехай рівняння визначає як неявну функцію від . Будемо вважати дану функцію диференційовною.

Продиференціювавши обидві частини рівняння , отримаємо рівняння першого степеня відносно . З цього рівняння легко знайти , тобто похідну неявної функції для всіх значень і , при яких множник в рівнянні не перетворюється в нуль.

Диференціювання показниково-степеневої функції.

Похідну показниково-степеневої функції знаходять, провівши попереднє логарифмування.

– показниково-степенева функція,

де і – задані і диференційовні функції від . Маємо

, , ; .

Приклади розв’язання задач

Приклад 1. Знайти похідну функції .

Розв’язання:

 

Приклад 2. Знайти похідну функції .

Розв’язання:

Приклад 3. Знайти похідну функції, що задана параметрично

Розв’язання:

. Знайдемо і .

 

Приклад 4. Знайти похідну показниково-степеневої функції

.

Розв’язання:

, , ,
, , .

 

Приклад 5. Знайти похідну функції, яку задано неявно

.

Розв’язання:

, , ,

, , .

Похідні вищих порядків. Похідною другого порядку (другою похідною) функції називається похідна від її похідної. Друга похідна позначається так: або , або . Аналогічно похідною третього порядку функції є похідна від похідної другого порядку: . Взагалі, похідною -го порядку від функції називається похідна від похідної -го порядку: . Позначають -у похідну так: або , або . Якщо функція задана параметрично: , то обчислюється за формулою: .

 

Приклад 6. Знайти і , якщо функція задана параметрично

Розв’язання:

.

Завдання до виконання

Знайти перші похідні даних функцій. Для б) і д) знайти .

1.	а) ;	б) ;
	в) ;	г) ;
	д)
2.	а) ;	б) ;
	в) ;	г) ;
	д)
3.	а) ;	б) ;
	в) ;	г) ;
	д) , .
4.	а) ;	в) ;
	в) ;	г) ;
	д)
5.	а) ;	б) ;
	в) ;	г) ;
	д) .
6.	а) ;	б) ;
	в) ;	г) ;
	д)
7.	а) ;	б) ;
	в) ;	г) ;
	д)
8.	а) ;	б) ;
	в) ;	г) ;
	д)
9.	а) ;	б) ;
	в) ;	г) ;
	д)
10.	а) ;	б) ;
	в) ;	г) ;
	д) .

Контрольні запитання

1. Таблиця похідних.

2. Правила обчислення похідних.

3. Похідна неявно заданої функції.

4. Похідна показниково- степеневої функції.

5. Похідна функції, заданої параметрично.

6. Похідна складної функції.

Практична робота № 6

Тема: Застосування диференціального числення до дослідження функції і побудови графіка.

Мета: Навчитись застосовувати набуті теоретичні знання до дослідження функції та побудови графіка.

Теоретичні відомості

 

Література: [5] – с. 449-481, [6] – с. 165-210, [7] – с. 246-266, [8] – с. 167-183.

Монотонність функції. Якщо диференційовна на інтервалі і всюди, крім, можливо, скінченого числа точок, в яких на , то функція зростає (спадає) на .

Інтервали монотонності функції (інтервали спадання чи зростання) відділяються один від одного точками, де похідна функції рівна нулю або не існує. Дані точки називаються критичними точками.

Щоб знайти інтервали монотонності функції , необхідно: 1) знайти область визначення функції; 2) знайти похідну даної функції; 3) знайти критичні точки з рівняння та з умови, що не існує; 4) розділити критичними точками область визначення на інтервали і в кожному з них визначити знак похідної. На інтервалах, де похідна додатна, функція зростає, а де від’ємна – спадає.

Локальний екстремум. Достатні умови екстремуму:

Правило 1. Якщо – критична точка функції і при довільному малому виконуються нерівності , то функція в точці має максимум; якщо ж ,то в точці має мінімум; якщо ж знаки і однакові, то функція в точці екстремуму не має.

Правило 2. Якщо то функція в точці має екстремум, а саме максимум, якщо , і мінімум, якщо .

Для знаходження найбільшого (найменшого) значення функції на відрізку необхідно із значень функції на кінцях відрізка і в критичних точках, які належать даному відрізку, вибрати найбільше (найменше).

 

Приклад 1Знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку .

Розв’язання:

Знайдемо похідну: .

Знайдемо критичні точки, розв’язавши рівняння – стаціонарні точки, які належать вказаному відрізку .

Визначимо значення функції в стаціонарних точках і на кінцях відрізка:

.

Із знайдених значень вибираємо найбільше і найменше: на , на .

 

Опуклість. Увігнутість. Точки перегину. Графік функції називається опуклим (увігнутим) на інтервалі , якщо він розташований нижче (вище) дотичної, проведеної в довільній точці графіка над даним інтервалом.

Достатні умови опуклості (увігнутості) графіка функції: Якщо на інтервалі , то графік функції опуклий на вказаному інтервалі; якщо , то графік функції увігнутий на інтервалі .

Точка графіка функції, яка відділяє його опуклу частину від увігнутої називається точкою перегину. В абсцисах точок перегину друга похідна функції дорівнює нулю або не існує ( або – не існує). Точки, в яких або не існує, називають критичними точками другого роду.

Якщо – критична точка другого роду і при довільному достатньо малому виконуються нерівності або , то точка кривої з абсцисою є точкою перегину.

 

Приклад 2. Знайти проміжки опуклості та ввігнутості графіка функції .

Розв’язання:

Знайдемо . – критична точка другого роду. Якщо , то – крива опукла. Якщо , то – крива ввігнута. Отже, на проміжку – крива випукла, а на – ввігнута.

 

Асимптоти. Пряма називається асимптотою кривої , якщо відстань від точки кривої до прямої прямує до нуля при необмеженому віддаленні даної точки по кривій від початку координат.

Пряма є вертикальною асимптотою кривої , якщо .

Пряма є горизонтальною асимптотою кривої , якщо існує границя або .

Пряма є похилою асимптотою кривої , якщо існують границі:

або

Схема дослідження функції та побудова графіка.

1. Знайти область визначення функції, інтервали неперервності, точки розриву.

2. Знайти (якщо це можливо) точки перетину графіка з координатними осями.

3. Дослідити функцію на періодичність, парність і непарність.

4. Знайти інтервали монотонності, точки локальних екстремумів та значення функції у цих точках.

5. Знайти інтервали опуклості, ввігнутості та перегину.

6. Дослідження функції на межі області існування. Асимптоти графіка.

7. Побудувати графік функції, враховуючи дослідження.

 

Приклад 3

Дослідити методами диференціального числення функцію

та побудувати її графік

Розв’язання:

1. Область визначення: . Точки розриву .

2. Якщо , то , тому графік перетинає осі координат в точці .

3. Функція не періодична. Оскільки , то функція непарна, а отже графік функції симетричний відносно початку координат.

4. . Розв’язком даного рівняння є . Похідна не існує в . Знайдемо знаки на проміжках:

Отже, на – функція спадає,
на – функція зростає,
на – функція спадає.

У точках функція має локальний екстремум: – локальний максимум, – локальний мінімум.

5. Знаходимо . Похідна при і не існує при . Знайдемо знаки на проміжках:

Отже, на – крива ввігнута, на – крива опукла.

6. – вертикальні асимптоти кривої. Знайдемо похилу асимптоту кривої .

– похила асимптота.

7. Враховуючи проведені дослідження будуємо графік функції.

 

Завдання до виконання:

 

Дослідити функції та побудувати їх графіки(Завдання обираються відповідно номера студента в друкованому списку журналу):

 

1. 14.

 

2. 15.

 

3. 16.

 

4. 17.

 

5. 18.

 

6. 19.

 

7. 20.

 

8. 21.

 

9. 22.

 

10. 23.

 

11. 24.

 

12. 25.

 

13. 26.

 

27. 29.

 

28. 30.

Контрольні запитання:

1. Що таке область допустимих значень функції?

2. Надати класифікацію точок розриву.

3. В яких точках можуть існувати вертикальні асимптоти?

4. Як знайти похилі асимптоти?

5. Дати означення парної (непарної) функції

6. Дати означення періодичної функції. Навести приклади періодичних функцій.

7. Дати означення критичних точок першого та другого роду.

8. Як знайти проміжки монотонності та екстремуми функції?

9. Як знайти проміжки опуклості та угнутості функції та точки перегину?

10. Як знайти точки перетину графіка функції з осями координат?

Практична робота № 7

Тема: Інтегрування раціональних функцій.

Мета: Навчитися інтегрувати раціональні функції.

Вміти користуватися методом невизначених коефіцієнтів.

Теоретичні положення:

Інтегрування раціональних дробів дробів. Раціональним дробом називається вираз , де і – многочлени. Раціональний дріб називається правильним, якщо степінь многочлена менший степеня многочлена . У противному випадку дріб називається неправильним.

Найпростіші (елементарні) дроби:

1) ;

2) , де ;

3) , де , тобто квадратний тричлен не має дійсних коренів;

4) , де , не має дійсних коренів.

Інтеграли від елементарних дробів 1-2 типу:

1) ;

2) ;

3) Щоб обчислити інтеграл 3-го типу необхідно:

а) виділити в чисельнику похідну знаменника;

б) розбити інтеграл на два;

в) у другому інтегралі виділити у знаменнику повний квадрат.

 

 

Приклад 1. Знайти невизначений інтеграл .

Розв’язання: