Числова функція. Основні властивості функції та її графік.

Числова функція. Основні властивості функції та її графік.

Числовою функцією з областю визначення називають таку залежність, при якій кожному числу з множини відповідає одне дійсне число : .

незалежна змінна або аргумент, залежна змінна або функція.

Множину всіх значень незалежної змінної називають областю визначення функції . Множину значень функції, яких вона набуває при всіх значеннях з її області визначення, називають множиною значень функції

Основними способами задання функції є аналітичний (за допомогою формули), графічний і табличний.

Функція називається зростаючою (спадною) на проміжку, якщо більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає більше (менше) значення функції.

 

2. Функція , її графік і властивості.

Синусом числа називається ордината точки одиничного кола, в яку переходить початкова точка при повороті навколо центра кола на кут радіан - .

Крива, яка є графіком функції у = sin x, називається синусої­дою.

Властивості функції :

1. Область визначення функції – множина всіх дійсних чисел: .
2. Множина значень функції – проміжок : .
3. Непарна функція: .

Графік функції симетричний відносно початку координат.

1. Періодична функція з найменшим додатним періодом : .
2. Точки перетину з осями координат:

з віссю О : , тобто графік проходить через (0;0) – початок координат;

з віссю О : .

1. Проміжки знакосталості:

, якщо – І і ІІ чверті на одиничному колі;

, якщо – ІІІ і І чверті на одиничному колі.

1. Проміжки монотонності:

функція зростає на кожному з проміжків

і спадає на кожному з проміжків .

1. Найменші значення функції: , якщо .
2. Найбільші значення функції: якщо .

 

 

3. Функція , її графік і властивості.

Косинусом числа називається абсциса точки одиничного кола, в яку переходить початкова точка при повороті навколо центра кола на кут радіан - .

 

 

Графіком функції є косинусоїда.

Властивості функції :

1. Область визначення функції – множина всіх дійсних чисел: .
2. Множина значень функції – проміжок : .
3. Парна функція: . Графік функції симетричний відносно осі О .
4. Періодична функція з найменшим додатним періодом : .
5. Точки перетину з осями координат:

з віссю О : ; з віссю О : .

1. Проміжки знакосталості:

, якщо – І і І чверті на одиничному колі;

, якщо – ІІ і III чверті на одиничному колі.

1. Проміжки монотонності:

функція зростає на кожному з проміжків

і спадає на кожному з проміжків .

1. Найменші значення функції: , якщо .
2. Найбільші значення функції: якщо .

 

 

4. Функція , її графік і властивості.

Тангенсом числа називається відношення : .

 

Графіком функції є тангенсоїда.

Властивості функції :

1. Область визначення функції –

2. Множина значень функції – .

3. Непарна функція: .

Графік функції симетричний відносно початку координат.

4. Періодична функція з найменшим додатним періодом : .

5. Точки перетину з осями координат:

з віссю О : , тобто графік проходить через початок координат;

з віссю О : .

6. Проміжки знакосталості:

, якщо – І і ІІI чверті на одиничному колі;

, якщо – ІІ і І чверті на одиничному колі.

7. Проміжки монотонності:

функція зростає на кожному з проміжків .

8. Найменших значень функція немає.

9. Найбільших значень функція немає.

 

Залежність між тригонометричними функціями одного й того самого аргументу.

sin² α + cos² α = l – основна триго­нометрична тотожність.

З цієї формули можна виразити sin α через cos α і навпаки:

За означенням тангенса і котангенса:

 

Перемноживши ці рівності, одержимо · = l

З цієї рівності можна виразити tg α через ctg α і навпаки:

Розділимо ліву і праву частину рівності sіn² α + соs² α = 1 на соs²α ≠ 0:

, де де

Розділимо ліву і праву частину рівності sіn² α + соs² α = 1 на sіn² α ≠ 0:

, де

Тригонометричні функції подвійного аргументу.

Тригонометричні функції подвійного аргументу виражають тригонометричні функції аргументу 2 через функції аргумента .

Із формули при , маємо:

Аналогічно із формули при одержуємо:

Якщо замінити за допомогою основної тригонометричної тотожності функцію на або на , то матимемо ще дві формули для

Із формули при , маємо:

 

Формули зведення.

Формулами зведення називаються співвідношення, за допомогою яких значення тригонометричних функцій аргументів , виражаються через функції кута α.

Для того щоб записати будь-яку з них, можна користуватися таким прави­лом:

1) В правій частині формули ставиться той знак, який має ліва частина при умові 0 < α < .

2) Якщо в лівій частині формули кут дорівнює ± α, ± α, то синус замінюється на косинус, тангенс — на котангенс і на­впаки. Якщо кут дорівнює π ± α, то заміна не виконується.

Наприклад: ;

За допомогою формул зведення знаходження значень тригонометричних функцій будь-якого кута можна звести до знаходження тригонометричних функцій гострого кута.

 

8. Тригонометричні рівняння. Розв’язування рівняння .

Рівняння, які містять змінну лише під знаком тригонометричної функції, називаються тригонометричними рівняннями.

Арксинусом числа називається таке число (кут) із проміжку , синус якого дорівнює .

Рівняння .

Якщо , то рівняння не має розв´язків, оскільки для будь – якого .

Якщо , то враховуючи те, що синус – це ордината точки одиничного кола, маємо: ординату, рівну , мають дві точки одиничного кола:

Враховуючиперіодичність , маємо:

Ці дві формули можна записати у вигляді однієї формули:

При парному маємо , при непарному .

 

9. Тригонометричні рівняння. Розв’язування рівняння .

Рівняння, які містять змінну лише під знаком тригонометричної функції, називаються тригонометричними рівняннями.

Арккосинусом числа називається таке число (кут) із проміжку , косинус якого дорівнює .

Рівняння .

Якщо , то рівняння не має розв´язків, оскільки для будь – якого .

Якщо , то враховуючи те, що косинус – це абсциса точки одиничного кола, маємо: абсцису, рівну , мають дві точки одиничного кола:

Враховуючиперіодичність , дістанемо множину розв´язків рівняння :

 

 

10. Тригонометричні рівняння. Розв’язування рівняння .

Рівняння, які містять змінну лише під знаком тригонометричної функції, називаються тригонометричними рівняннями.

Арктангенсом числа називається таке число (кут) із проміжку , тангенс якого дорівнює .

Рівняння має такі розв’язки:

Окремі випадки:

 

Числова функція. Основні властивості функції та її графік.

Числовою функцією з областю визначення називають таку залежність, при якій кожному числу з множини відповідає одне дійсне число : .

незалежна змінна або аргумент, залежна змінна або функція.

Множину всіх значень незалежної змінної називають областю визначення функції . Множину значень функції, яких вона набуває при всіх значеннях з її області визначення, називають множиною значень функції

Основними способами задання функції є аналітичний (за допомогою формули), графічний і табличний.

Функція називається зростаючою (спадною) на проміжку, якщо більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає більше (менше) значення функції.

 

2. Функція , її графік і властивості.

Синусом числа називається ордината точки одиничного кола, в яку переходить початкова точка при повороті навколо центра кола на кут радіан - .

Крива, яка є графіком функції у = sin x, називається синусої­дою.

Властивості функції :

1. Область визначення функції – множина всіх дійсних чисел: .
2. Множина значень функції – проміжок : .
3. Непарна функція: .

Графік функції симетричний відносно початку координат.

1. Періодична функція з найменшим додатним періодом : .
2. Точки перетину з осями координат:

з віссю О : , тобто графік проходить через (0;0) – початок координат;

з віссю О : .

1. Проміжки знакосталості:

, якщо – І і ІІ чверті на одиничному колі;

, якщо – ІІІ і І чверті на одиничному колі.

1. Проміжки монотонності:

функція зростає на кожному з проміжків

і спадає на кожному з проміжків .

1. Найменші значення функції: , якщо .
2. Найбільші значення функції: якщо .

 

 

3. Функція , її графік і властивості.

Косинусом числа називається абсциса точки одиничного кола, в яку переходить початкова точка при повороті навколо центра кола на кут радіан - .

 

 

Графіком функції є косинусоїда.

Властивості функції :

1. Область визначення функції – множина всіх дійсних чисел: .
2. Множина значень функції – проміжок : .
3. Парна функція: . Графік функції симетричний відносно осі О .
4. Періодична функція з найменшим додатним періодом : .
5. Точки перетину з осями координат:

з віссю О : ; з віссю О : .

1. Проміжки знакосталості:

, якщо – І і І чверті на одиничному колі;

, якщо – ІІ і III чверті на одиничному колі.

1. Проміжки монотонності:

функція зростає на кожному з проміжків

і спадає на кожному з проміжків .

1. Найменші значення функції: , якщо .
2. Найбільші значення функції: якщо .

 

 

4. Функція , її графік і властивості.

Тангенсом числа називається відношення : .

 

Графіком функції є тангенсоїда.

Властивості функції :

1. Область визначення функції –

2. Множина значень функції – .

3. Непарна функція: .

Графік функції симетричний відносно початку координат.

4. Періодична функція з найменшим додатним періодом : .

5. Точки перетину з осями координат:

з віссю О : , тобто графік проходить через початок координат;

з віссю О : .

6. Проміжки знакосталості:

, якщо – І і ІІI чверті на одиничному колі;

, якщо – ІІ і І чверті на одиничному колі.

7. Проміжки монотонності:

функція зростає на кожному з проміжків .

8. Найменших значень функція немає.

9. Найбільших значень функція немає.