Залежність між тригонометричними функціями одного й того самого аргументу.

sin² α + cos² α = l – основна триго­нометрична тотожність.

З цієї формули можна виразити sin α через cos α і навпаки:

За означенням тангенса і котангенса:

 

Перемноживши ці рівності, одержимо · = l

З цієї рівності можна виразити tg α через ctg α і навпаки:

Розділимо ліву і праву частину рівності sіn² α + соs² α = 1 на соs²α ≠ 0:

, де де

Розділимо ліву і праву частину рівності sіn² α + соs² α = 1 на sіn² α ≠ 0:

, де

Тригонометричні функції подвійного аргументу.

Тригонометричні функції подвійного аргументу виражають тригонометричні функції аргументу 2 через функції аргумента .

Із формули при , маємо:

Аналогічно із формули при одержуємо:

Якщо замінити за допомогою основної тригонометричної тотожності функцію на або на , то матимемо ще дві формули для

Із формули при , маємо:

 

Формули зведення.

Формулами зведення називаються співвідношення, за допомогою яких значення тригонометричних функцій аргументів , виражаються через функції кута α.

Для того щоб записати будь-яку з них, можна користуватися таким прави­лом:

1) В правій частині формули ставиться той знак, який має ліва частина при умові 0 < α < .

2) Якщо в лівій частині формули кут дорівнює ± α, ± α, то синус замінюється на косинус, тангенс — на котангенс і на­впаки. Якщо кут дорівнює π ± α, то заміна не виконується.

Наприклад: ;

За допомогою формул зведення знаходження значень тригонометричних функцій будь-якого кута можна звести до знаходження тригонометричних функцій гострого кута.

 

8. Тригонометричні рівняння. Розв’язування рівняння .

Рівняння, які містять змінну лише під знаком тригонометричної функції, називаються тригонометричними рівняннями.

Арксинусом числа називається таке число (кут) із проміжку , синус якого дорівнює .

Рівняння .

Якщо , то рівняння не має розв´язків, оскільки для будь – якого .

Якщо , то враховуючи те, що синус – це ордината точки одиничного кола, маємо: ординату, рівну , мають дві точки одиничного кола:

Враховуючиперіодичність , маємо:

Ці дві формули можна записати у вигляді однієї формули:

При парному маємо , при непарному .

 

9. Тригонометричні рівняння. Розв’язування рівняння .

Рівняння, які містять змінну лише під знаком тригонометричної функції, називаються тригонометричними рівняннями.

Арккосинусом числа називається таке число (кут) із проміжку , косинус якого дорівнює .

Рівняння .

Якщо , то рівняння не має розв´язків, оскільки для будь – якого .

Якщо , то враховуючи те, що косинус – це абсциса точки одиничного кола, маємо: абсцису, рівну , мають дві точки одиничного кола:

Враховуючиперіодичність , дістанемо множину розв´язків рівняння :

 

 

10. Тригонометричні рівняння. Розв’язування рівняння .

Рівняння, які містять змінну лише під знаком тригонометричної функції, називаються тригонометричними рівняннями.

Арктангенсом числа називається таке число (кут) із проміжку , тангенс якого дорівнює .

Рівняння має такі розв’язки:

Окремі випадки:

 

Корінь n-го степеня і його властивості.

Коренем п -го степеня із дійсного числа а називається число, n -й степінь якого дорівнює а.

Корінь п -го степеня — це корінь рівняння хⁿ = а. Число коренів цього рівняння залежить від п і а:

1) якщо п — парне п = 2k, k N, то рівняння х ^2k = а має два корені, якщо а > 0; один корінь, якщо а = 0; не має коренів, якщо а < 0.

2) якщо п — непарне п = 2k + 1, k N, то рівняння х^2k+1 = а завжди має лише один корінь.

Невід'ємний корінь рівняння х ⁿ = а називають арифметичним коренем n -го степеня із числа а.

Арифметичним коренем n -го степеня із невід'ємного числа а називається таке невід'ємне число, n -й степінь якого дорівнює а.

Число n – показник кореня, число а — підкоре­невий вираз.

Якщо п = 2, то маємо - арифме­тичний квадратний корінь.

Якщо п = 3, то маємо - арифметичний корінь третього степеня або кубічний корінь.

Корінь парного степеня існує лише з невід'ємних чисел: вираз має смисл, якщо і набуває невід'ємних значень.

Корінь непарного степеня існує з будь-якого дійсного числа і до того ж тільки один. Якщо а < 0, то = – .

Основні властивості коренів:

1. = · , , .

2. , , .

3. ,

4. ,

5. .

 

 

Степенева функція, її графік і властивості.

Степеневою функцією називається функція виду у = х^p, де р — постійне дійсне число, а х (основа) — змінна.