Дослідити функції та побудувати їхні графіки.

 

1. .

 

1) Функція є многочленом, область існування якого – вся множина дійсних чисел.

.

2) Знайдемо точки перетину графіка с віссю , для цього покладемо : , звідки . Отже, в точках та графік перетинає вісь .

Точки перетину з віссю : покладемо , тоді знайдемо . Тобто, графік перетинає вісь у точці .

3) Функція не періодична, вона не є парною, не є непарною та .

4) Функція є неперервною на всій числовій прямій. Тобто точок розриву не має.

5) Досліджуємо функцію на монотонність та екстремум. Обчислимо . Знайдемо критичні точки з рівняння : або . Отримаємо, що та .

Функція зростає на інтервалах ; функція спадає на інтервалі .

Згідно з правилом знаходження екстремуму, - точка максимуму, - точка мінімуму.

 

Обчислимо ,

.

Таким чином, екстремальні точки: та .

6) Знайдемо інтервали вгнутості та опуклості, точки перегину.

.

Розв’яжемо рівняння - критична точка другого роду.

Функція вгнута на інтервалі та опукла на інтервалі .

Значення є абсцисою точки перегину. Знайдемо , тобто точка - точка перегину графіка.

 

7) Знайдемо асимптоти заданої кривої.

Вертикальних асимптот немає. З’ясуємо, чи є похилі асимптоти

Обчислимо .

Отже, наша крива не має і похилих асимптот

8) Побудуємо графік функції.

 

 

2. .

 

1) , тобто .

2) Точки перетину графіка з координатними осями. При , звідки , тобто з віссю графік не перетинається. Зважаючи на те, що , робимо висновок, що графік не перетинає вісь .

3) Функція не періодична, вона непарна бо

. Тому її графік є симетричним відносно початку координат.

4) В точці функція має розрив II-го роду, тому що .

Отже, пряма - вертикальна асимптота.

5) Знайдемо . Розв’яжемо рівняння , ,

, звідки - критичні точки функції. Похідна не існує при .

Функція зростає на інтервалах та ; функція спадає на інтервалі .

- точка максимуму функції, а - точка мінімуму.

Обчислимо ,

.

Отже, , - екстремальні точки.

6) Знайдемо .

Зважаючи на те, що робимо висновок, що точок перегину графік функції не має.

 

Функція вгнута на інтервалі та опукла на інтервалі .

 

7) Вертикальну асимптоту ми вже знайшли: . Знайдемо похилу асимптоту.

Обчислимо ,

.

Тоді пряма - похила асимптота.

8) Побудуємо графік.

 

3. .

 

1) .

2) Розглянемо перетин графіка з координатними осями.

З віссю , тобто у точці графік перетинає вісь . З віссю , звідки або . Зрозуміло, що остання рівність розв’язків не має. Отже, графік не перетинає вісь .

3) Функція не періодична, але є парною, бо , тому її графік є симетричним відносно осі .

4) Точок розриву функція не має.

5) . Знайдемо критичні точки: .

 

	Знак

 

Функція зростає на інтервалі та спадає на інтервалі .

Точка є точкою мінімуму функції.

Обчислимо .

Тобто точка екстремуму нашої функції .

6) Знайдемо .

Дослідимо функцію на вгнутість та опуклість.

, звідки , - критичні точки.

 

Функція вгнута на інтервалі , опукла на інтервалах та . У точках , функція має перегин графіку.

Знайдемо , .

Отже, , - точки перегину.

 

7) Вертикальних асимптот графік не має.

Для похилих асимптот знайдемо і .

 

 

Будемо мати:

,

.

Отже, похилих асимптот не буде.

8) Будуємо графік.

 

4. .

 

1) .

2) Якщо , то . Знайшли, що графік перетинає вісь у точці . Якщо , то , звідки , тому . Знову отримали ту саму точку , в якій графік перетинає вісь . З’ясовано, що тільки у початку координат графік перетинає обидві координатні осі.

3) Функція не періодична, не є парною або непарною та .

4) Функція неперервна в області визначення, тому точок розриву не має.

5) Обчислимо .

З умови знайдемо критичні точки.

Будемо мати: , тому , звідки .

Ф ункція зростає на інтервалі та спадає на інтервалі . Зрозуміло, що - точка максимуму функції.

.

Точка - екстремальна точка функції.

6) Знайдемо .

Тоді , тому , звідки - критична точка функції.

Функція вгнута на інтервалі та опукла на інтервалі .

Отже, у точці функція має перетин.

.

Тому - точка перетину графіка функції.

 

7) Вертикальної асимптоти графік функції не має.

Для похилих асимптот знайдемо і .

Отримаємо: ,

.

Тому - пряма, яка співпадає з віссю , буде горизонтальною асимптотою.

У випадку коли : , тому ніякої асимптоти не буде.

8) Будуємо графік.

 

5. .

 

1) Оскільки задана функція дробово-раціональна, то вона не існує в тих точках, де знаменник дорівнює нулю: , звідки .

Отже, .

2) Нехай , тоді , звідки .

Нехай , тоді . Отже, графік перетинає обидві координатні осі в точці , тобто проходить через початок координат.

3) Функція не періодична, вона непарна, тому що

.

Її графік є симетричним відносно початку координат.

4) Маємо дві точки розриву II-го роду: та , тому що та .

Отже, прямі та є вертикальними асимптотами.

5) Знайдемо .

Розв’яжемо рівняння , звідки , - критичні точки функції.

Помітимо, що похідна не існує при , але вони обидві не входять до області визначенності функції.

 

Функція зростає на інтервалах , функція спадає на інтервалах .

Похідна змінює знак при переході через точки . А саме: є точкою мінімуму функції, а - точкою максимуму.

, .

Отже, екстремальні точки , .

6) Обчислимо

.

Розв’яжемо рівняння , звідки , а саме - це критична точка функції.

Помічаємо, що не існує при .

 

Функція вгнута на інтервалах , функція опукла на інтервалах .

При переході через змінює знак.

.Точка є точкою перегину.

 

7) Вертикальні асимптоти: . Для похилих асимптот знайдемо і .

,

.

Отже, рівняння похилої асимптоти: .

8) Побудуємо графік функції.

 

y

 

 

Завдання для самостійної роботи

Дослідити функції та побудувати їхні графіки:

 

1. ;

 

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

 

Розділ 2

ФУНКЦІЇ ДВОХ ЗМІННИХ