Рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні. Екстремум функції двох змінних

Рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні в даній її точці мають вигляд:

; (2.9)

. (2.10)

Нехай функція визначена в деякому околі точки . Точка називається точкою максимуму (мінімуму) функції , якщо знайдеться такій окіл точки , в якому для будь-якої точки виконується нерівність: . Максимуми і мінімуми функції називаються її екстремумами, а точки, в яких досягаються екстремуми - точками екстремуму.

Необхідна умова існування екстремуму.

Якщо диференційована функція має в точці екстремум, то в цій точці виконуються рівності:

, . (2.11)

Точки, в яких виконуються рівності (2.11), називаються точками можливого екстремуму або стаціонарними.

Достатня умова існування екстремуму функції.

Нехай у точці можливого екстремуму і деякому її околі функція має неперервні частинні похідні другого порядку. Позначимо і покладемо . Тоді:

а) якщо , то - точка екстремуму, причому при - точка максимуму, при - мінімуму;

б) якщо , то в точці екстремуму немає;

в) у випадку , функція у стаціонарній точці може мати екстремум або ні.

 

Зразки розв’язування задач

1. Скласти рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні у точці :

а) у точці .

Знайдемо : . Отже, .

Позначимо .Тоді частинні похідні:

, , .

Обчислимо значення частинних похідних в точці :

,

,

.

Згідно з формулою (2.9), рівняння дотичної площини має вигляд:

,

або .

За формулою (2.10) складемо рівняння нормалі:

.

б) у точці .

Знайдемо , , .

Значення частинних похідних в точці :

,

,

.

Складемо рівняння дотичної площини:

,

або .

Рівняння нормалі:

або .

 

2. Дослідити функції на екстремум:

а) .

Обчислимо частинні похідні функції: , .

Знайдемо стаціонарні точки. Для цього розв’яжемо систему рівнянь:

або

Визначаючи з першого рівняння і підставляючи його вираз у

друге, маємо: , звідки , . Тоді , .

Отже, точки і - стаціонарні. Обчислимо частинні похідні другого порядку даної функції: , , .

Знайдемо їх значення в стаціонарних точках:

, , ;

, , .

Враховуємо, що , отже, в точці

екстремуму немає. Обчислимо та , а тому в точці дана функція має мінімум, причому .

б) .

Частинні похідні першого порядку: та . Знайдемо

стаціонарні точки:

, звідки

Отже, точка є стаціонарною. Частинні похідні другого порядку:

, , .

Тоді , , . Обчислимо .

Отже, в точці є екстремум. Так як , то в точці функція має мінімум:

.

Завдання для самостійної роботи

1. Скласти рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні у заданій точці:

а) , ;

б) , ;

в) , .

2. Дослідити функції на екстремум:

а) ; б) .

 

Розділ 3

НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла. Метод безпосереднього інтегрування

Функція називається первісною функції на проміжку , якщо диференційовна на і для всіх . Очевидно, що будь-яка з функцій , де - довільна стала, також є первісною функції на цьому проміжку.

Сукупність усіх первісних функції на проміжку називають невизначеним інтегралом функції на цьому проміжку і позначають

 

,

де - підінтегральна функція, - підінтегральний вираз, - довільна стала.

Операцію знаходження невизначеного інтеграла від функції називають інтегруванням цієї функції.

Властивості невизначеного інтеграла:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. Якщо і - довільна функція, що має неперервну похідну, то .

При обчисленні невизначених інтегралів зручно користуватися наступними правилами: якщо , тоді

,

,

,

де та - сталі величини.

 

Таблиця основних інтегралів

1. ,

 

1'. ,

 

2. ,

 

3. , > , ,

 

3'. ,

 

4. ,

 

5. ,

 

6. ,

 

7. ,

 

8. ,

 

8'. , > ,

 

9. ,

 

9'. , ,

 

10. , ,

 

11. ,

,

 

12. ,

 

13. ,

 

14. ,

 

15. .

Зауваження. Варто відзначити, що задача інтегрування функції вирішується неоднозначно. Тобто один і той же інтеграл може бути обчислений не єдиним методом.

Метод безпосереднього інтегрування полягає у зображенні вихідного інтеграла у вигляді алгебраїчної суми табличних інтегралів.

 

Зразки розв’язування задач

Обчислити інтеграли.

1. .

 

Користуючись властивостями 4 та 5, будемо мати:

2.

3.

 

4.

5. .

Тут, крім властивостей 4 та 5, застосуємо правила інтегрування. Дістанемо:

 

 

6.

 

 

7. .

 

Інтеграл не є табличним, тому за допомогою алгебраїчних перетворень треба підінтегральну функцію подати у такому вигляді, щоб можна було застосувати властивості невизначеного інтеграла та обчислити його. Для цього в чисельнику дробу додамо і віднімемо 1. Поділивши почленно на , отримаємо алгебраїчну суму двох табличних інтегралів:

 

8. .

Використаємо формулу тригонометрії: .

 

Тоді

 

Завдання для самостійної роботи

Обчислити інтеграли:

 

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. .