Найбільше і найменше значення функції двох змінних

В замкнутій області

Нехай функція визначена і неперервна в обмеженій замкненій області D і має в ній скінчені частинні похідні. В цій області знайдеться точка в якій функція приймає найбільше (найменше) значення.Якщо точка лежить усерединє області D, то в ній функція має максимум (мінімум), тому ця точка знаходиться серед критичних точок. Але найбільшого (найменшого) значення функція може досягати і на границі області. Тому, для того щоб знайти найбільше (найменше) значення функції в області D, треба знайти усі внутрішні критичні точки, обчислити значення функції в них і порівняти із найбільшим (найменшим) значенням функції в граничних точках області. Найбільше (найменше) з цих значень буде найбільшим (найменшим) значенням функції в усій області.

Приклад. Знайти найбільше значення добутку невід'ємних чисел за умови, що їх сума є стала величина:

Розв'язання. Покажемо, що найбільше значення отримаємо при

Знайдемо із даної умови: і підставимо в

Маємо функцію від незалежних змінних в двовимірній області згідно умов:

Геометрично - ця область є прямокутний трикутник, обмежений прямими

Знайдемо похідні і прирівняємо до нуля:

 

 

Внутрі області розв'язком системи є де

Враховуючи, що на границі області то в знайденій точці , дійсно функція має найбільше значення.

Задача розв'язана, тому що при для змінної маємо Згідно з результатом добуток невід'ємних чисел , сума яких дорівнює , не більше тобто Отже середнє геометричне не більше середнього арифметичного. Це вірно для довільної кількості чисел.

Умовний екстремум

Локальний екстремум функції двох змінних без будь-яких додаткових умов називається безумовним.

Якщо знаходиться екстремум функції за деяких додаткових умов, то він називається умовним.

Нехай треба знайти екстремум функції за умови . Якщо вважати, що функція описує поверхню, а

циліндр, то треба знайти екстремум не на всій поверхні, а тільки на лінії, яку вирізає з даної поверхні циліндрична поверхня (рис.13.1).

 

 

Рис.13.1.

 

Побудуємо допоміжну функцію трьох змінних, яка називається функцією Лагранжа: (13.1)

Необхідні умови екстремуму цієї функції мають вигляд:

або:

(13.2)

Для встановления виду умовного екстремуму досліджують знак другого повного диференціала функції Лагранжа

 

в знайдених із системи (13.2) критичних точках при умові, що і зв’язані рівнянням

.

Тоді функція має умовний максимум, якщо , і функція має умовний мінімум, якщо (див. 11.2⁰)

Приклад 11.1. Знайти екстремум функції за умови

За методом Лагранжа:

Запишемо необхідні умови екстремуму:

Звідки:

Знайдемо другий диференциал функції Лагранжа. Оскільки , , , то

.

Отже, функція має умовний мінімум в точці .

.

 

Метод найменших квадратів

При вивченні закономірностей в деяких дослідженнях інженерної справи, економіки, біології, медицини і т.п. приходиться аналітично описувати (у вигляді формули) зв'язок між двома змінними x та y. Для цього в процесі експериментів, спостережень вимірюють з можливою точністю окремі значення x_i і відповідні їм значення y_i (i=1,2,…,n), або отримують такі значення як статистичні дані. В результаті маємо таблицю значень (табл. 1).

 

Таблиця 1

x	x1	x2	…	xi	…	xn
y	y1	y2	…	yi	…	yn

 

Подібну таблицю можна отримати, наприклад, при дослідженні лінійного розширення стержня в залежності від температури, якщо коефіцієнт лінійного розширення данного матеріалу невідомий, тоді x₁, x₂,…, x_n – виміряні значення температури, а y₁, y₂,…,y_n – відповідні їм значення довжини.

Побудуємо у вибраній системі координат XOY точки M_i(x_i, y_i), координати яких відповідають даним таблиці 1 (див. рис. 1).

 

Тепер виникає необхідність вибору відповідної функції y=f(x), яка б описувала зв'язок між x і y. Таку функцію називають емпіричною. В загальному випадку вибір емпіричної функції не є однозначним. Можна знайти лінію, яка б проходила через кожну з точк M_i, це може бути так званий інтерполяційний многочлен (на рис. 1 це пунктирна лінія), порядок якого буде досить високим (на одиницю меншим, ніж кількість точок в таблиці). Крім того, дані таблиці 1 можуть бути не досить точними внаслідок наявності похибок вимірювання, а також впливу інших факторів, які ми не завжди можемо врахувати. Тому дослідники віддають перевагу більш простим і зручнішим функціям, таким, як лінійна , квадратична , показникова

, гіперболічна і ін. Вибрана функція повинна "найкращим" чином згладжувати експериментальні дані. В залежності від того, як вводиться поняття "найкраще згладжування" встановлюється той чи інший метод вибору емпіричної залежності

(на рис. 1 – суцільна лінія). Найбільш часто застосовується так званий метод найменших квадратів, який дозволяє знаходити параметри вибраної залежності

Позначимо через відхилення емпіричної функції в точці від відповідного табличного (експериментального) значення . Зрозуміло (див. рис. 1), що можуть бути для одних додатніми, а для інших від'ємними. Тому їх сума може навіть дорівнювати нулю. Краще було б брати суму їх абсолютних величин але досліджувати суму, яка містить модулі величин складніше, ніж суму квадратів цих величин. Тому зупиняються на останньому

Параметри функції вибирають так, щоб сума квадратів S приймала найменше значення.

1⁰. Розглянемо випадок, коли лінійна функція з невідомими параметрами a i b. Тоді величина відхилення

 

, а сума їх квадратів

(14.1)

є функцією двох змінних a i b (x_i, y_i – це числа із таблиці 1). Відомо, що S (a,b) приймає мінімальне значення при тих значеннях a i b, при яких частинні похідні по цих змінних дорівнюють нулю, тобто коли

Із (14.1) знаходимо:

Прирівнюючи до нуля частинні похідні, отримуємо систему рівнянь:

 

(14.2)

 

Система (14.2) називається нормальною системою методу найменших квадратів.

Розв'язуючи систему рівнянь (14.2), знаходимо числа a i b, які підставляємо в рівняння що і дає формулу шуканої залежності.

Отже під "найкращим" згладжуванням експериментальних даних в даному випадку вважається лінійна функція, параметри якої знайдені за методом найменших квадратів.

Метод найменших квадратів був запропонований німецьким математиком К. Гауссом.

Приклад 1. З різних дільниць шахт у вигляді таблиці отримані середні дані за квартал про залежність між собівартістю 1 тони залізної руди (в грошових одиницях) і глибиною добування (розробки, в метрах) (табл.2).

Таблиця 2

x – глибина в метрах
y – грошова одиниця	3,75	3,80	3,85	3,90	3,95	4,20	4,60

 

Припускаючи, що між змінними x i y існує лінійна залежність, знайти емпіричну формулу за методом найменших квадратів.

Розв'язання. Для зручності побудуємо обчислювальну таблицю (табл. 3).

Таблиця 3

№ п/п	xi	yi	xiyi	xi^2
1.		3,75	1312,5
2.		3,80	1444,0
3.		3,85	1540,0
4.		3,90	1638,0
5.		3,95	1777,5
6.		4,20	2100,0
7.		4,60	2415,0
cуми		28,05

 

За значеннями сум таблиці складаємо нормальну систему методу найменших квадратів:

Зауважимо при цьому, що кількість точок в таблиці n=7.

Систему розв'яжемо за формулами Крамера

Таким чином, емпірична формула залежності між глибиною розробки і собівартістю однієї тони залізної руди має такий вигляд:

Із формули видно, що із збільшенням глибини розробки на 100 метрів собівартість 1 тони залізної руди в середньому зростає на грошової одиниці.

Тепер згідно емпіричної формули обчислимо для відповідних значень x_i теоретичні значення y(x_i) і для порівняння заповнимо нову таблицю значень (табл. 4).

Таблиця 4

xi
yi	3,75	3,80	3,85	3,90	3,95	4,20	4,60
y(xi)	3,62	3,78	3,87	3,96	4,09	4,31	4,41

 

Для більшої наочності побудуємо в системі координат XOY точки за даними таблиці 4 і пряму лінію Точки (x_i,y(x_i)) належать прямій лінії, а точки (x_i, y_i) на графіку (позначені кружочками) розміщені вздовж лінії з певними відхиленнями від прямої.

 

 

2⁰. Зглажування квадратичною функцією експериментальних даних. Зауважимо, що метод найменших квадратів застосовується для знаходження параметрів після того, коли вигляд функції y=f(x) встановлений. Але якщо з теоретичних міркувань неможна зробити певного висновку, якою повинна бути емпірична формула, то її вигляд наочно визначають із графічних зображень експериментальних даних. Так із рис. 1 суцільна лінія, яка проходить поміж точок M₁, M₂, M₃,…,M_i,…,M_n нагадує параболу Тому у випадку квадратичної функції знаходимо мінімум суми як функції трьох змінних a, b, c, при яких частинні похідні її повинні дорівнювати нулю

Знаходимо частинні похідні:

Прирівнюючи кожну з похідних до нуля отримуємо систему лінійних відносно a, b, c рівнянь:

 

(14.3)

 

Приклад 2. Застосовуючи метод найменших квадратів знайти значення параметрів функції якщо відомі такі значення змінних (див. табл. 5).

 

Таблиця 5

x	0,5		1,5		2,5
y	0,8	1,9	4,9	8,8	13,9

 

Розв’язання. Для наочності побудуємо точки за даними таблиці 5 в системі XOY (див. рис.3), розміщення яких нагадує параболу, для знаходження параметрів якої заповнюєм обчислювальну таблицю 6.

Таблиця 6

№ п\п	xi	yi	xi^2	xi^3	xi^4	xiyi	xi^2yi
1.	0,5	0,8	0,25	0,125	0,0625	0,4	0,2
2.	1,0	1,9	1,0	1,0	1,0	1,9	1,9
3.	1,5	4,9	2,25	3,375	5,0625	7,35	11,025
4.	2,0	8,8	4,0	8,0	16,0	17,6	35,2
5.	2,5	13,9	6,25	15,625	39,0625	34,75	86,875
суми	7,5	30,3	13,75	28,125	61,1875	62,0	135,2

 

Підставляючи значення сум із табл.6 в (14.3) отримуємо лінійну систему рівнянь відносно параметрів a, b, c:

 

(14.4) Систему (14.4) можна розв'язати, наприклад, шляхом виключення невідомої з наступним розв'язуванням нової системи відносно . Наводимо готові результати: Шукана функція матиме вигляд:

Рис.3

3⁰. Вирівнювання дослідних даних за гіперболою здійснюється за допомогою заміни В такому разі в таблицю значень потрібно доповнити значеннями

Таблиця 7

			…		…
		y2	…		…
			…		…

Після цього знаходиться мінімум функції яка має такий же вигляд, як функція (14.1), і тому відповідна система запишеться:

(14.5)

Для отримання системи (14.5) складається відповідна обчислювальна таблиця відносно значень з якої знаходять

необхідні для системи суми. Після знаходження отримуємо функцію

4⁰. Вирівнювання дослідних даних за показниковою функцією

здійснюється за допомогою логарифмування і подальшою заміною

Тоді отримаємо лінійну залежність параметри якої знаходимо за розглянутим вище методом найменших квадратів.

Приклад 3. За даними таблиці 8 знайти параметри залежності

Таблиця 8

x
y

Розв'язання. Побудуємо точки відповідно таблиці 8 (див. рис.4).

 

Рис.4

 

Складаємо обчислювальну таблицю

Таблиця 9

№ п/п	xi	yi	y1=lgy	xiy1,i	xi^2
1.
2.			2,1847	8,7388
3.			2,3600	18,8787
4.			2,4771	29,7255
5.			2,5611	38,4165
суми			11,5829	95,7595

 

За даними сум таблиці 9 маємо систему:

для якої знаходимо визначники

Згідно формул Крамера знаходимо

Отже маємо лінійну функцію

Поскільки то

Таким чином, відповідно до таблиці 8 і рис. 4 ми знайшли показникову залежність

Вправи до розділу

 

1.	Обчислити значення функцій:
	а)	при ;
	б)	в точці ;
	в)	при .
		Відповіді: а) 24; б) 6; в) 5/3.

 

 

Визначити та зобразити область існування таких функцій:
2.	.	3.	.	4.	.
5.	.	6.	.
	Відповіді: 2. Уся площина. 3. Уся площина за винятком прямої . 4. Уся площина за винятком кола . 5. Круг радиуса 2 разом з його контуром. 6. кут між прямими .

 

Знайти точки розриву функцій:
7.	.	8.	.	9.	.
	Відповіді: 7. (0;0). 8. (0;2). 9. Пряма .

 

Знайти границі функцій:
10.	.	11.	.
12.	.
	Відповіді: 10. 3. 11. 4. 12. 2.

 

Накреслити лінії рівня функцій:
13.	.	14.	.	15.	.
16.	.
	Відповіді: 13. Сім’я парабол . 14. Сім’я концентрических кіл. 15. Сім’я рівнобічних гіпербол з асимптотами . 16. Сім’я паралельних прямих.

 

 

Знайти частинні похідні від функцій:
17.	.
18.	.	19.	.
20.	.	21.	.	22.	.
23.	.	24.	.
25.	.	26.	.
	Відповіді:
17.	.
18.	.
19.	.
20.	.
21.	.
22.	.
23.	.
24.	.
25.	.
26.

 

27.	Показати, що , коли .
28.	Показати, що , коли .
29.	Показати, що , коли .

 

Знайти повні диференціали функцій:
30.	.	31.	.	32.	.
33.	.	34.	.
	Відповіді:
30.	.
31.	.
32.	.
33.	.
34.	.

 

	Обчислити значення повного диференціала
35.	при
36.	при
37.	при
	Відповіді:	35.	0,075	36.	1/30	37.	0,004

 

Обчислити наближені значення:
38.	.	39.		40.
41.
	Відповіді:	38.	1,08	39.	10,05	40.	1,00
		41.	-0,03

 

42.	З якими абсолютною та відносною похибками обчислено об’єм циліндра, якщо радіус основи , а висота .
	Відповідь:

 

	Для заданих складних функцій знайти указані похідні:
43.	Знайти .
44.	. Знайти .
45.	Знайти .
46.	. Знайти .
47.	Знайти .
48.	Знайти .
49.	. Знайти .
	Відповіді:
43.	.	44. .
45.		46.
47.	.
48.	.
49.

 

	Знайти похідні неявних функцій:
50.	. Знайти .
51.	. Знайти .
52.	. Знайти .
53.	Знайти .
54.	. Знайти .
55.	. Знайти .
	Відповіді:
50.	.	51. .
52.	.	53. .
54.	.
55.	.

 

	Знайти частинні похідні другого порядку:
56.	.	57. .
58.	, .
	Відповіді:
56.	.
57.	.
58.	.
59.	Довести, що якщо , то .
60.	Довести, що якщо , то .

 

	Знайти похідні функцій в заданих точках у заданих напрямах:
61.	в точці в напрямі відрізка , де .
62.	в точці в напрямі вектора .
63.	в точці в напрямі від до .
64.	Знайти величину й напрям градієнта функції у точці .В яких точках ?
65.	Знайти кут між градієнтами функцій і у точці .
	Знайти найбільшу швидкість зрастання функції в точці .
67.	Знайти величину і напрям градієнта функції у точці . Визначити, в яких точках він перпендикулярний до осі , та в яких дорівнює нулеві.
	Відповіді:
61.	1/5.	62.	26.	63.	.
64.	, ; , , , .
65.	.	66.	.
67.	. . У точках конуса – перпендикулярний ; при - дорівнює нулю.

 

	Скласти рівняння дотичної площини та рівняння нормалі до поверхні:
68.	у точці .
69.