Похідна складної і неявної функції

 

Нехай Z=Z(u,v), a u=u(x,y), v=v(x,y). Для складної функції Z відносно змінних х і у необхідно знайти частинні похідні і . Нехай усі похідні існують.

 

Оскільки ,

то

.

Зафіксуємо y (y=const). Тоді

або:

.

При

(6.1)

 

Аналогічно:

.

Якщо u=u(x), v=v(x), то з (6.1) дістанемо вираз для повної похідної:

.

Повний диференціал складної функції має вигляд:

= .

Отже,

.

Таким чином, встановлено інваріантність форми повного диференціала функції.

Розглянемо неявні функції. Нехай маємо неявну функцію однієї змінної F(x,y)=0, для якої

.

Звідси:

Тепер розглянемо неявну функцію двох змінних F(x,y,z)=0. Тоді:

. Нехай y=const, тобто dy=0. Маємо:

, або:

,

аналогічно,

.

Частинні похідні й диференціали вищих порядків

Нехай z = f (x,y), тоді , .

Якщо , можна диференцювати по х або у, то дістанемо похідні другого порядку:

 

, ,

, ,

 

або , , , .

Останні дві похідні називають мішаними похідними другого порядку.

Рівність мішаних похідних визначається теоремою:

Теорема 7.1. Якщо функція z=f (x,y) та її похідні , , , неперервні в точці М(х,у) і деякому її околі, то в цій точці = .

Диференціали вищих порядків

 

В §5 для функції двох змінних z=f (x,y) було встановлено формулу повного диференціала

, (7.1)

або його ще називають диференціалом І-го порядку.

За означенням диференціалом ІІ-го порядку називається диференціал від диференціала І-го порядку, тобто:

.

За формулою (7.1) маємо:

 

, (7.2)

при цьому прийнято скорочено писати

(dx)²=dx², (dy)²=dy².

Аналогічно вводяться диференціали

d³f, d⁴f і т.д.

Для отримання виразів для диференціалів вищих порядків зручно скористатися таким підходом.

Запишемо формально диференціал І-го порядку для функції z=f(x,y) у вигляді:

,

де вираз

,

називається оператором повного диференціала. За його допомогою вводиться оператор диференціала ІІ порядку:

,

Очевидно, що застосовуючи останній оператор до функції z=f(x,y), отримаємо формулу (7.2).

Аналогічно, за допомогою оператора

,

можна записати диференціал ІІІ-го порядку

(7.3)

і т.д.

Формула Тейлора для функцій одної і двох змінних

 

Нехай функція однієї змінної y=f(x) в околі точки х₀ (n+1) -раз диференційована, тоді має місце Формула Тейлора:

, (8.1)

де R_n(x) називається залишковим членом формули Тейлора. Для R_n(x) Лагранжем було встановлено, що

,

де С знаходиться в інтервалі (x₀,x), якщо x₀<x, або , якщо x<x₀, скорочено .

Користуючись формулами диференціалів, запишемо:

,

,

..........................................

,

Покладемо також

,

де .

Тоді формула Тейлора (8.1) прийме вигляд:

(8.2)

де .

Формулу (8.2) можна узагальнити для функцій двох змінних, якщо припустити, що функція z=f(x,y), або скорочено z=f(M), має в околі точки M₀(x₀ ,y₀ ) (n+1) неперевну мішану частинну похідну по х і у. Тоді можна записати:

 

, (8.3)

де , , .

Щоб записати формулу (8.3) в розгорнутому вигляді, необхідно скористатись формулами (7.1), (7.2), (7.3) і т.п.