Картан, Анрі (нар. 1904) французький математик

 

А математику ще й тому вивчати слід, що вона розум до ладу приводить.

Ломоносов М.В. (1711-1765) –вчений-енциклопедист, поет

Жодне технічне вдосконалення неможливе без складних розрахунків. Але так само важко уявити розвиток будь-якої науки, включаючи суспільні, без використання досягнень сучасної математики і кібернетики. Математика, все глибше проникаючи в суміжні з нею і віддалені науки, стає непохитною опорою прогресу людських знань.

Митропольський Ю.О, (нар. 1917) – український математик

У вивчення природи математика робить найбільший вклад, бо вона розкриває впорядкований зв’язок ідей, за яким побудований Всесвіт.

Прокл (410-485)-грецький філософ

Тим, хто не знає математики, важко збагнути справжню, глибоку красу природи

Фейнман Р. (нар. 1918) – американський фізик

 

 

І.Функції багатьох змінних

 

Числові множини, способи їх задання.

Побудова області на площині

 

Числова множина – це множина, елементами якої є числа. Відомо, що N, Z, Q, I, R – множини натуральних, цілих, раціональних, ірраціональних та дійсних чисел. Їх прийнято зображати у вигляді точок на числовій осі.

Якщо елементами множини є впорядкована пара чисел, то маємо множину точок М(х,у) на площині ХОУ, така множина позначається R².

У випадку, коли елементами множини є впорядковані трійки чисел, то маємо множину точок М(x,y,z) у просторі, яка позначається R³.

Часто доводиться розглядати впорядковані набори більшої кількості чисел. Наприклад, якщо х і у – координати точки місцевості, z – висота над рівнем моря в цій точці, t – температура, p – атмосферний тиск, g - відносна вологість повітря, v – величина швидкості вітру, a - напрям вітру, то впорядкований набір із восьми чисел (x, y, z, t, p,g, v, a) характеризує метеорологічний стан в даній місцевості.

У загальному випадку впорядкований набір із n чисел (х₁, х₂, …, х_n) по аналогії із n=2, n=3 теж зручно називати точкою, а множина точок М(х₁, х₂, …, х_n) утворює n-вимірний арифметичний простірRⁿ.

Дві точки M₁(x₁',x₂',…,x_n') і M₂(x₁'',x₂'',…,x_n'') збігаються між собою, якщо x₁'= x₁", …, x_n'= x_n".

Відомо, наприклад, що для двох точок М₁(x₁,y₁,z₁) і М₂(x₂,y₂,z₂) із простору R³ величина

 

є відстанню між цими точками. Подібним чином для двох точок М₁ і М₂, які належать Rⁿ, величину

теж називають відстанню між точками М₁ і М₂.

Окремі числові множини, як правило, задаються за допомогою нерівностей. Якщо всі нерівності строгі (<; >), то множина називається відкритою. Наприклад,

інтервал: (a,b) = { x: a < x < b};

відкритий прямокутник: (a,b; c,d) = {(x,y): a<x<b, c<y<d};

відкритий паралелепіпед:

(a,b; c,d; e,p) = {(x.y,z): a<x<b; c<y<d; e<z<p}.

У загальному випадку можна говорити про відкритий n- вимірний паралелепіпед:

(a₁,b₁; a₂,b₂; … a_n,b_n ) = {(x₁, x₂, … x_n): a₁<x₁<b₁; a₂<x₂<b₂; … a_n<x_n<b_n }.

Cеред числових множин, які задаються нерівностями, часто зустрічаються також:

(x-x₀ )² + (y-y₀ )² < r² -

відкритий круг у просторі R² радіуса r з центром в точці М₀ (x₀ , y₀ );

(x-x₀ )² + (y-y₀ )²+ (z-z₀ )² < r² -

відкрита куля у просторі R³ радіуса r з центром в точці М₀ (x₀ , y₀,z₀ );

(x₁-x₁⁰)² + (x₂-x₂⁰)² + … + (x_n-x_n⁰)² < r² -

відкрита куля в просторі Rⁿ радіуса r з центром в точці М₀ (x⁰₁ , х⁰₂, …, х⁰_n ).

Означення 1.1. Околом точки називається довільна відкрита множина, яка містить дану точку.

У двовимірному випадку під околом точки розуміють круг, квадрат і т.п., що містять цю точку.

 

Означення 1.2. Множина точок називається зв'язною, якщо дві точки цієї множини можна з'єднати ламаною лінією, всі точки якої належать цій множині.

 

Означення 1.3. Точка М називається внутрішньою точкою множини D, якщо вона належить D разом з її достатньо малим околом.

 

Означення 1.4. Зв'язна множина, яка цілком складається із внутрішніх точок, називається областю.

Означення 1.5. Граничною точкою області D називається точка, в будь-якому околі якої знаходяться точки, які як належать області D, так і не належать їй.

Означення 1.6. Множина граничних точок області D називається її границею Г.

 

Означення 1.7. Область D разом з її границею Г називається замкненою областю D (позначається ).

Посилаючись на геометричну інтуіцію, можна сказати, що якщо з геометричного тіла зідрати його границю, то отримаємо відкриту множину.

На рисунку 1.1. точка М₀ (x₀ , y₀ ) – внутрішня точка області D, точка М₁ належить границі Г області D. Область D – відкрита, а область - замкнена область.

 

Рис. 1.1.

 

На рисунку 1.1. окіл точки М₀ (x₀ , y₀ ) зображений в вигляді круга і квадрата.

Наприклад, замкнені області:

сегмент: [a, b] =

замкнений прямокутник:

[a, b; с, d] =

замкнений круг радіуса r з центром в точці М₀ (x₀, y₀ ):

замкнений трикутник:

Таким чином, в замкнених областях обмеження задаються нестрогими нерівностями

В подальшому для наочності будемо вивчати числову множину R², тобто сукупність точок на площині.

Для побудови області на площині треба знайти такі точки М(x,_,y), координати яких задовольняли б нерівностям, які задають множину.

Приклад 1.1. Побудувати область D на площині, яка задана нерівностями:

Даним нерівностям задовольняють координати точки, яка знаходиться всередині або на границі прямокутника, сторони якого лежать на прямих

х = 2; х = 6; y = -1; y = 2.

Цей прямокутник є замкненою областю змінних х, у

(рис. 1.2)

Рис 1.2.

 

Приклад 1.2. Побудувати область D, яка задана нерівностями:

4 < x² + y² < 9.

Даним нерівностям задовольняють координати точок, які знаходяться всередині кругового кільця, обмеженого колами x² + y² = 4 та x² + y² = 9 з центрами в точці О(0, 0) та радіусами r₁ = 2, r₂ = 3. Таким чином, це кругове кільце – відкрита область D (рис. 1.3).

 

Рис. 1.3.

 

Приклад 1.3. Побудувати область D, задану нерівностями

0 < y < x

В даному випадку маємо відкриту область D, яка обмежена прямими y = x та y = 0 (рис. 1.4.). Геометрично – це всі точки, що знаходяться внутрі кута. Точки, що розміщені на сторонах кута області D не належать, тому на рис.1.4 сторони кута зображені пунктиром.

Розглянемо важливий випадок, коли область на площині задається лінійними нерівностями.

Нехай маємо лінійну нерівність з двома змінними x, y:

ax + by + c > 0 (1.1)

Якщо x, y розглядати як координати точок на площині, то множина точок, координати яких задовольнюють (1.1), називається областю розв'язків цієї нерівності. Областю розв'язків (1.1) є півплощина.

Рис.1.4.

Щоб дізнатись, яка з двох напівплощин відповідає нерівності (1.1), треба взяти пробну точку, яка не лежить на прямій ax + by + c = 0, наприклад, М₀ (x₀ , y₀ ), підставити її координати в нерівність (1.1). Якщо нерівність (1.1) виконується, то точка М₀ (x₀ , y₀ ) належить шуканій півплощині, якщо не виконується, то це друга півплощина.

Коли пряма не проходить через початок координат, то зручно пробною точкою взяти початок координат О(0, 0).

В випадку, коли задана система із m нерівностей:

a₁ x + b₁ y + c₁ > 0,

a₂ x + b₂ y + c₂ > 0, (1.2.)

...............

a_m x + b_m y + c_m > 0.

 

то геометрично отримаємо перетин півплощин, які можуть утворити многокутну область D. Така область називається областю розв'язків системи (1.2.). Ця область не завжди буває обмежена, вона може бути і необмеженою, і навіть порожньою. Останній випадок має місце, коли система нерівностей (1.2.) суперечлива.

Область розв'язків системи нерівностей є опуклою, тобто якщо разом із будь-якими своїми двома точками вона містить і відрізок, що їх з'єднує.

На рис. 1.5 зображені опукла і неопукла області. На рис. 1.5 а) разом з точками М₁ і М₂ даній області належить весь відрізок М₁М₂, область – опукла. На рис. 1.5 б) маємо випадок, коли крайні точки відрізка М₁ і М₂ належать області, однак існує точка М₃ цього відрізка, яка даній області не належить. Ця область – неопукла.

Рис. 1.5. Опукла (а) та неопукла (б) області.

 

Зауважимо, що півплощина є опуклою областю.

Має сенс підкреслити, що результат перетину опуклих областей є опукла область.

Приклад 1.4. Знайти область розв'язків системи нерівностей:

x – 1 > 0; y – 1 > 0; x + y – 3 > 0;

-6x – 7y + 42 > 0.

Замінюючи нерівності рівняннями, отримаємо рівняння чотирьох прямих:

x – 1 = 0 (1); y – 1 = 0; (2); x + y – 3 = 0; (3); -6x – 7y + 42 = 0 (4),

які зображені на рис. 1.6.

 

Рис. 1.6.

 

На рис. 1.6 стрілками показані півплощини, які є розв'язками нерівностей, а сама область D заштрихована і є опуклою.