Арістотель (384- 322 до н.е.) - грецький філософ

Арістотель (384- 322 до н.е.) - грецький філософ

 

...вивчення математики завжди сприяє розвитку строгості і ясності мислення.

Картан, Анрі (нар. 1904) французький математик

 

А математику ще й тому вивчати слід, що вона розум до ладу приводить.

Ломоносов М.В. (1711-1765) –вчений-енциклопедист, поет

Жодне технічне вдосконалення неможливе без складних розрахунків. Але так само важко уявити розвиток будь-якої науки, включаючи суспільні, без використання досягнень сучасної математики і кібернетики. Математика, все глибше проникаючи в суміжні з нею і віддалені науки, стає непохитною опорою прогресу людських знань.

Митропольський Ю.О, (нар. 1917) – український математик

У вивчення природи математика робить найбільший вклад, бо вона розкриває впорядкований зв’язок ідей, за яким побудований Всесвіт.

Прокл (410-485)-грецький філософ

Тим, хто не знає математики, важко збагнути справжню, глибоку красу природи

Фейнман Р. (нар. 1918) – американський фізик

 

 

І.Функції багатьох змінних

 

Числові множини, способи їх задання.

Побудова області на площині

 

Числова множина – це множина, елементами якої є числа. Відомо, що N, Z, Q, I, R – множини натуральних, цілих, раціональних, ірраціональних та дійсних чисел. Їх прийнято зображати у вигляді точок на числовій осі.

Якщо елементами множини є впорядкована пара чисел, то маємо множину точок М(х,у) на площині ХОУ, така множина позначається R².

У випадку, коли елементами множини є впорядковані трійки чисел, то маємо множину точок М(x,y,z) у просторі, яка позначається R³.

Часто доводиться розглядати впорядковані набори більшої кількості чисел. Наприклад, якщо х і у – координати точки місцевості, z – висота над рівнем моря в цій точці, t – температура, p – атмосферний тиск, g - відносна вологість повітря, v – величина швидкості вітру, a - напрям вітру, то впорядкований набір із восьми чисел (x, y, z, t, p,g, v, a) характеризує метеорологічний стан в даній місцевості.

У загальному випадку впорядкований набір із n чисел (х₁, х₂, …, х_n) по аналогії із n=2, n=3 теж зручно називати точкою, а множина точок М(х₁, х₂, …, х_n) утворює n-вимірний арифметичний простірRⁿ.

Дві точки M₁(x₁',x₂',…,x_n') і M₂(x₁'',x₂'',…,x_n'') збігаються між собою, якщо x₁'= x₁", …, x_n'= x_n".

Відомо, наприклад, що для двох точок М₁(x₁,y₁,z₁) і М₂(x₂,y₂,z₂) із простору R³ величина

 

є відстанню між цими точками. Подібним чином для двох точок М₁ і М₂, які належать Rⁿ, величину

теж називають відстанню між точками М₁ і М₂.

Окремі числові множини, як правило, задаються за допомогою нерівностей. Якщо всі нерівності строгі (<; >), то множина називається відкритою. Наприклад,

інтервал: (a,b) = { x: a < x < b};

відкритий прямокутник: (a,b; c,d) = {(x,y): a<x<b, c<y<d};

відкритий паралелепіпед:

(a,b; c,d; e,p) = {(x.y,z): a<x<b; c<y<d; e<z<p}.

У загальному випадку можна говорити про відкритий n- вимірний паралелепіпед:

(a₁,b₁; a₂,b₂; … a_n,b_n ) = {(x₁, x₂, … x_n): a₁<x₁<b₁; a₂<x₂<b₂; … a_n<x_n<b_n }.

Cеред числових множин, які задаються нерівностями, часто зустрічаються також:

(x-x₀ )² + (y-y₀ )² < r² -

відкритий круг у просторі R² радіуса r з центром в точці М₀ (x₀ , y₀ );

(x-x₀ )² + (y-y₀ )²+ (z-z₀ )² < r² -

відкрита куля у просторі R³ радіуса r з центром в точці М₀ (x₀ , y₀,z₀ );

(x₁-x₁⁰)² + (x₂-x₂⁰)² + … + (x_n-x_n⁰)² < r² -

відкрита куля в просторі Rⁿ радіуса r з центром в точці М₀ (x⁰₁ , х⁰₂, …, х⁰_n ).

Означення 1.1. Околом точки називається довільна відкрита множина, яка містить дану точку.

У двовимірному випадку під околом точки розуміють круг, квадрат і т.п., що містять цю точку.

 

Означення 1.2. Множина точок називається зв'язною, якщо дві точки цієї множини можна з'єднати ламаною лінією, всі точки якої належать цій множині.

 

Означення 1.3. Точка М називається внутрішньою точкою множини D, якщо вона належить D разом з її достатньо малим околом.

 

Означення 1.4. Зв'язна множина, яка цілком складається із внутрішніх точок, називається областю.

Означення 1.5. Граничною точкою області D називається точка, в будь-якому околі якої знаходяться точки, які як належать області D, так і не належать їй.

Означення 1.6. Множина граничних точок області D називається її границею Г.

 

Означення 1.7. Область D разом з її границею Г називається замкненою областю D (позначається ).

Посилаючись на геометричну інтуіцію, можна сказати, що якщо з геометричного тіла зідрати його границю, то отримаємо відкриту множину.

На рисунку 1.1. точка М₀ (x₀ , y₀ ) – внутрішня точка області D, точка М₁ належить границі Г області D. Область D – відкрита, а область - замкнена область.

 

Рис. 1.1.

 

На рисунку 1.1. окіл точки М₀ (x₀ , y₀ ) зображений в вигляді круга і квадрата.

Наприклад, замкнені області:

сегмент: [a, b] =

замкнений прямокутник:

[a, b; с, d] =

замкнений круг радіуса r з центром в точці М₀ (x₀, y₀ ):

замкнений трикутник:

Таким чином, в замкнених областях обмеження задаються нестрогими нерівностями

В подальшому для наочності будемо вивчати числову множину R², тобто сукупність точок на площині.

Для побудови області на площині треба знайти такі точки М(x,_,y), координати яких задовольняли б нерівностям, які задають множину.

Приклад 1.1. Побудувати область D на площині, яка задана нерівностями:

Даним нерівностям задовольняють координати точки, яка знаходиться всередині або на границі прямокутника, сторони якого лежать на прямих

х = 2; х = 6; y = -1; y = 2.

Цей прямокутник є замкненою областю змінних х, у

(рис. 1.2)

Рис 1.2.

 

Приклад 1.2. Побудувати область D, яка задана нерівностями:

4 < x² + y² < 9.

Даним нерівностям задовольняють координати точок, які знаходяться всередині кругового кільця, обмеженого колами x² + y² = 4 та x² + y² = 9 з центрами в точці О(0, 0) та радіусами r₁ = 2, r₂ = 3. Таким чином, це кругове кільце – відкрита область D (рис. 1.3).

 

Рис. 1.3.

 

Приклад 1.3. Побудувати область D, задану нерівностями

0 < y < x

В даному випадку маємо відкриту область D, яка обмежена прямими y = x та y = 0 (рис. 1.4.). Геометрично – це всі точки, що знаходяться внутрі кута. Точки, що розміщені на сторонах кута області D не належать, тому на рис.1.4 сторони кута зображені пунктиром.

Розглянемо важливий випадок, коли область на площині задається лінійними нерівностями.

Нехай маємо лінійну нерівність з двома змінними x, y:

ax + by + c > 0 (1.1)

Якщо x, y розглядати як координати точок на площині, то множина точок, координати яких задовольнюють (1.1), називається областю розв'язків цієї нерівності. Областю розв'язків (1.1) є півплощина.

Рис.1.4.

Щоб дізнатись, яка з двох напівплощин відповідає нерівності (1.1), треба взяти пробну точку, яка не лежить на прямій ax + by + c = 0, наприклад, М₀ (x₀ , y₀ ), підставити її координати в нерівність (1.1). Якщо нерівність (1.1) виконується, то точка М₀ (x₀ , y₀ ) належить шуканій півплощині, якщо не виконується, то це друга півплощина.

Коли пряма не проходить через початок координат, то зручно пробною точкою взяти початок координат О(0, 0).

В випадку, коли задана система із m нерівностей:

a₁ x + b₁ y + c₁ > 0,

a₂ x + b₂ y + c₂ > 0, (1.2.)

...............

a_m x + b_m y + c_m > 0.

 

то геометрично отримаємо перетин півплощин, які можуть утворити многокутну область D. Така область називається областю розв'язків системи (1.2.). Ця область не завжди буває обмежена, вона може бути і необмеженою, і навіть порожньою. Останній випадок має місце, коли система нерівностей (1.2.) суперечлива.

Область розв'язків системи нерівностей є опуклою, тобто якщо разом із будь-якими своїми двома точками вона містить і відрізок, що їх з'єднує.

На рис. 1.5 зображені опукла і неопукла області. На рис. 1.5 а) разом з точками М₁ і М₂ даній області належить весь відрізок М₁М₂, область – опукла. На рис. 1.5 б) маємо випадок, коли крайні точки відрізка М₁ і М₂ належать області, однак існує точка М₃ цього відрізка, яка даній області не належить. Ця область – неопукла.

Рис. 1.5. Опукла (а) та неопукла (б) області.

 

Зауважимо, що півплощина є опуклою областю.

Має сенс підкреслити, що результат перетину опуклих областей є опукла область.

Приклад 1.4. Знайти область розв'язків системи нерівностей:

x – 1 > 0; y – 1 > 0; x + y – 3 > 0;

-6x – 7y + 42 > 0.

Замінюючи нерівності рівняннями, отримаємо рівняння чотирьох прямих:

x – 1 = 0 (1); y – 1 = 0; (2); x + y – 3 = 0; (3); -6x – 7y + 42 = 0 (4),

які зображені на рис. 1.6.

 

Рис. 1.6.

 

На рис. 1.6 стрілками показані півплощини, які є розв'язками нерівностей, а сама область D заштрихована і є опуклою.

Лінії та поверхні рівня

Означення 2.1. Змінна величина Z називається функцією двох змінних x і y, якщо кожній парі чисел (x, y) (або кожній точці М(x, y)) з деякої множини D площини xOy ставиться у відповідність визначене значення змінної Z. Позначається

Z = f(x, y) або Z = f (M).

 

Наприклад.

1) Площа прямокутника S = xy є функцією двох змінних x і y – довжин відповідних сторін;

2) Об'єм конуса V = 1/3 p R²h – функція радіуса основи R і висоти h.

 

Означення 2.1. узагальнюється на більшу кількість змінних.

 

Означення 2.2. Змінна Z називається функцією незалежних змінних x₁, x₂ , … x_n з деякої множини D, що належить n -вимірному простору Rⁿ, якщо кожній точці М(x₁, x₂ , … x_n) D ставиться у відповідність визначене значення змінної Z:

Z = f (M) = f (x₁, x₂ , … x_n).

Наприклад:

1) Температура Т в даній точці М залежить від її координат x, y, z, а також від моменту часу t, в який вона вимірюється, тобто

T = f (x, y, z, t).

2) Очікуваний прибуток Р від споруджуваного промислового об'єкта є функцією затрат на його будівництво, часу t від початку будівництва до початку випуску продукції, від величини попиту Q на цю продукцію та інших економічних факторів.

 

Означення 2.3. Множина D точок, в яких функція визначена називається областю визначення або областю існування функції, а множина Е, яка складається із значень функції, називається множиною значень функції f (M).

У випадку n = 2 функція двох змінних Z = f (x, y) може розглядатися як функція точки площини в тривимірному просторі R³.

Графіком функції Z = f (x, y) є геометричне місце точок (x, y,) f (x, y)), яке описує деяку поверхню в просторі R³.

Приклад 2.1. Знайти область визначення і множину значень функції

.

Функція Z має дійсні значення за умови 1 – x² – y² ≥ 0, або x² + y² < 1, тобто областю визначення даної функції є замкнений круг радіуса 1 з центром в точці О(0,0). Множиною значень функції є сегмент [ 0, 1 ], що випливає з виразу Z = Ö 1 – x² – y². Графіком функції є верхня напівсфера радіуса 1 з центром в точці О(0,0,0).

Рис 2.1

 

 

Приклад 2.2. Знайти область визначення поданих функцій:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

1). Розв’язання для виконаємо за такою схемою:

1. Нагадаємо, що елементарна функція визначена, якщо .

2. Складаємо аналогічну нерівність для заданої функції двох змінних: , яка рівносильна двом системам нерівностей, а саме,

(1) , або (2) .

3. Замінимо останні нерівності рівняннями, отримаємо рівняння границі області визначення: х=2 – пряма, перпендикулярна осі ОХ, у=1 – пряма, перпендикулярна осі ОУ. Будуємо їх в системі ХОУ (див. рис. 2.2)

4. Відносно прямих х=2 і у=-1 вибираємо ті частини площини ХОУ, де виконуються нерівності (1) або (2).

 

Рис. 2.2.

 

2). Розв’язання для функції , проведемо за викладеною вже схемою:

1. Елементарна функція однієї змінної y=lg x визначена, якщо x>0.

2. Аналогічна нерівність для функції запишеться:

. (3)

3. Замінимо в (3) нерівність рівнянням: - коло радіуса 5 з центром в О(0;0), яке є границею області.

4. Пробна точка О(0;0) задовольняє нерівність (3)

Отже, О(0;0) належить області розв’язків нерівності (3). Тобто вся область визначення – це множина точок, які лежать у середині заданого круга, виключаючи границю , бо нерівність (3) строга (див. рис. 2.3).

 

Рис 2.3

 

3) Розв’язання для функції за відомою схемою:

1. Відповідною елементарною функцією однієї змінної є , яка існує для .

2. Аналогічна нерівність для функції запишеться:

. (4)

3. Замінивши нерівності на рівняння, отримаємо дві параболи і , які симетричні відносно осі ОУ з вітками напрямленими вверх, причому вершина першої з них в точці , а другої в точці .

4. Пробна точка О(0,0) задовольняє ліву а також і праву нерівності (4)

,

Тобто початок координат знаходиться нижче першої параболи і вище другої - . Область визначення - всі точки площини ХОУ між цими параболами, включаючи і ці криві (див. рис. 2.4).

Рис. 2.4

4) Розв’язання для функції .

1. Відповідна функція однієї змінної визначена для .

2. Для функції аналогічна нерівність запишеться:

. (5)

3. Рівняння описує еліпс, канонічна форма якого:

, (6)

півосі цього еліпса , .

 

4. Пробна точка О(0,0) нерівність (5) не задовольняє, бо нерівність - невірна, тобто О(0,0), як внутрішня точка даної фігури, не входить у множину розв’язків нерівності (5). Множина розв’язків нерівності (5) – це всі точки, які лежать зовні еліпса. (див. рис. 2.4), не включаючи точок еліпса.

 

Рис 2.5

 

 

Приклади для самостійного розв’язання:

Знайти область визначення функції:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

Відповіді. 1. Множина точок, які розміщені між віссю ОУ вище вітки параболи в першій чверті. 2. Множина точок .

3. Множина точок . 4. Множина точок , які розміщені на еліпсі та зовні його. 5. Множина точок , які розміщені строго нижче прямої . 6. Областью визначення є смуга між двома паралельними прямими і , включно з цими прямими.

Означення 2.4. Лінією рівня функції Z = f (x, y) називається лінія f (x, y) = С на площині xOy, в точках якої функція має стале значення Z = C.

 

Означення 2.5. Поверхнею рівня функції U = f (x, y, z) називається поверхня f (x, y, z) = С, в точках якої функція має стале значення U = C.

Приклад 2.3. Знайти лінії рівня функції

Рівняння ліній рівня мають вигляд

(C > 0). Якщо С приймає дійсні значення, то отримуємо концентричні кола з центром в точці О(0,0), радіуса , де ..

Зауважимо, що за допомогою ліній рівня f (x, y) = С можна побудувати поверхню Z = f (x, y) (рис. 2.2)

 

Рис. 2.6.

Основними способами задання функції двох змінних є такі:

1) аналітичний, тобто за допомогою аналітичного виразу(формули);

2) табличний, за допомогою таблиці з двома входами, де кожній парі чисел та ставиться в таблиці відповідне значення

 

y x	y1	y2	y3	…
x1 x2 …	z11 z21 …	z12 z22 …	z13 z23 …	… … …

 

3) графічний, графіком функції двох змінних може бути деяка поверхня

......

x_n ® a_n

Приклад 3.1. З'ясувати, чи має функція

 

x² – y²

Z =

x² + y²

границю при x ® 0, y ® 0.

 

Нехай точка M(x, y) прямує до точки O(0, 0) по прямій y = kx. Тоді:

x² – y² x² – k² x² 1 – k² 1 – k²

lim = lim = lim =

x ® 0x² + y² x ® 0 x² + k² x² x ® 0 1 + k² 1 + k²

y ® 0

Результат залежить від k, тому функція не має границі.

Приклад 3.2. Обчислити границю

x² + y²

lim.

x ® 0Ö x² + y² + 1 - 1

y ® 0

 

Для обчислення границі перейдемо до полярних координат:

x = r cos j; y = r sin j.

 

Тоді x² + y² = r², і тому маємо:

 

 

x² + y² r² 0

lim = lim = { } =

x ® 0Ö x² + y² + 1 - 1 r ® 0 Ö r² + 1 – 1 0

y ® 0 0 < j < 2p

 

r² Ö (r² + 1 + 1)

= lim = lim (Ö (r² + 1 + 1) = 2.

r ® 0r² r ® 0

Таким чином, при будь-якому прямуванні М (x, y) до О (0, 0) маємо число 2, тобто границя дорівнює 2.

Разом з поняттям кратної границі функції можна розглянути повторні границі, які обчислюються послідовно. Наприклад, для функції двох змінних:

lim f (x, y) = A; lim lim f (x, y) = B; lim lim f (x, y) = C

x ® x₀ x ® x₀ y ® y₀ y ® y₀ x ® x₀

y ® y₀

В загальному випадку А ¹ В ¹ С.

Очевидно, якщо границя існує, то А = В = С.

Означення 3.2. Функція Z = f (M) називається неперервною в точці

M₀, якщо виконуються умови:

1) функція визначена в точці М₀, тобто існує f (M₀);

2) існує lim f (M);

M ® M₀

3) виконується рівність .

 

Означення 3.3. Функція називається неперервною в області, якщо вона неперервна в кожній точці цієї області.

Якщо хоча б одна із умов 1) – 3) означення 3.2 не виконується, то точка М₀ називається точкою розриву функції. Точки розриву функції можуть бути ізольованими, утворювати лінії розриву, поверхні розриву.

Приклад 3.3. Знайти точки розриву функції:

Xy

Z =.

2x + 3y + 4

Функція невизначена в точках, де знаменник дорівнює нулю. Тому маємо лінію розриву - пряму 2x + 3y + 4 = 0.

 

Диференціали вищих порядків

 

В §5 для функції двох змінних z=f (x,y) було встановлено формулу повного диференціала

, (7.1)

або його ще називають диференціалом І-го порядку.

За означенням диференціалом ІІ-го порядку називається диференціал від диференціала І-го порядку, тобто:

.

За формулою (7.1) маємо:

 

, (7.2)

при цьому прийнято скорочено писати

(dx)²=dx², (dy)²=dy².

Аналогічно вводяться диференціали

d³f, d⁴f і т.д.

Для отримання виразів для диференціалів вищих порядків зручно скористатися таким підходом.

Запишемо формально диференціал І-го порядку для функції z=f(x,y) у вигляді:

,

де вираз

,

називається оператором повного диференціала. За його допомогою вводиться оператор диференціала ІІ порядку:

,

Очевидно, що застосовуючи останній оператор до функції z=f(x,y), отримаємо формулу (7.2).

Аналогічно, за допомогою оператора

,

можна записати диференціал ІІІ-го порядку

(7.3)

і т.д.

В замкнутій області

Нехай функція визначена і неперервна в обмеженій замкненій області D і має в ній скінчені частинні похідні. В цій області знайдеться точка в якій функція приймає найбільше (найменше) значення.Якщо точка лежить усерединє області D, то в ній функція має максимум (мінімум), тому ця точка знаходиться серед критичних точок. Але найбільшого (найменшого) значення функція може досягати і на границі області. Тому, для того щоб знайти найбільше (найменше) значення функції в області D, треба знайти усі внутрішні критичні точки, обчислити значення функції в них і порівняти із найбільшим (найменшим) значенням функції в граничних точках області. Найбільше (найменше) з цих значень буде найбільшим (найменшим) значенням функції в усій області.

Приклад. Знайти найбільше значення добутку невід'ємних чисел за умови, що їх сума є стала величина:

Розв'язання. Покажемо, що найбільше значення отримаємо при

Знайдемо із даної умови: і підставимо в

Маємо функцію від незалежних змінних в двовимірній області згідно умов:

Геометрично - ця область є прямокутний трикутник, обмежений прямими

Знайдемо похідні і прирівняємо до нуля:

 

 

Внутрі області розв'язком системи є де

Враховуючи, що на границі області то в знайденій точці , дійсно функція має найбільше значення.

Задача розв'язана, тому що при для змінної маємо Згідно з результатом добуток невід'ємних чисел , сума яких дорівнює , не більше тобто Отже середнє геометричне не більше середнього арифметичного. Це вірно для довільної кількості чисел.

Умовний екстремум

Локальний екстремум функції двох змінних без будь-яких додаткових умов називається безумовним.

Якщо знаходиться екстремум функції за деяких додаткових умов, то він називається умовним.

Нехай треба знайти екстремум функції за умови . Якщо вважати, що функція описує поверхню, а

циліндр, то треба знайти екстремум не на всій поверхні, а тільки на лінії, яку вирізає з даної поверхні циліндрична поверхня (рис.13.1).

 

 

Рис.13.1.

 

Побудуємо допоміжну функцію трьох змінних, яка називається функцією Лагранжа: (13.1)

Необхідні умови екстремуму цієї функції мають вигляд:

або:

(13.2)

Для встановления виду умовного екстремуму досліджують знак другого повного диференціала функції Лагранжа

 

в знайдених із системи (13.2) критичних точках при умові, що і зв’язані рівнянням

.

Тоді функція має умовний максимум, якщо , і функція має умовний мінімум, якщо (див. 11.2⁰)

Приклад 11.1. Знайти екстремум функції за умови

За методом Лагранжа:

Запишемо необхідні умови екстремуму:

Звідки:

Знайдемо другий диференциал функції Лагранжа. Оскільки , , , то

.

Отже, функція має умовний мінімум в точці .

.

 

Метод найменших квадратів

При вивченні закономірностей в деяких дослідженнях інженерної справи, економіки, біології, медицини і т.п. приходиться аналітично описувати (у вигляді формули) зв'язок між двома змінними x та y. Для цього в процесі експериментів, спостережень вимірюють з можливою точністю окремі значення x_i і відповідні їм значення y_i (i=1,2,…,n), або отримують такі значення як статистичні дані. В результаті маємо таблицю значень (табл. 1).

 

Таблиця 1

x	x1	x2	…	xi	…	xn
y	y1	y2	…	yi	…	yn

 

Подібну таблицю можна отримати, наприклад, при дослідженні лінійного розширення стержня в залежності від температури, якщо коефіцієнт лінійного розширення данного матеріалу невідомий, тоді x₁, x₂,…, x_n – виміряні значення температури, а y₁, y₂,…,y_n – відповідні їм значення довжини.

Побудуємо у вибраній системі координат XOY точки M_i(x_i, y_i), координати яки