Екстремум функції двох змінних

 

Означення 1. Функція z=f(x,y) має максимум в точці M_о(x_о,y_о), якщо для всіх точок M(x,y), досить близьких до точки M_о(x_о,y_о) виконується нерівність

 

.

 

Означення 2. Функція z=f(x,y) має мінімум в точці M_о (x_о ,y_о ), якщо для всіх точок M(x,y), досить близьких до точки M_о (x_о ,y_о ), виконується нерівність

 

 

.

 

Точки максимума і мінімума функції мають спільну назву точок екстремуму. Коли говорять, що функція має екстремум, то це означає, що вона має в цій точці максимум або мінімум.

Як і для функції однієї змінної, у двовимірному випадку теж виділяють необхідні і достатні умови екстремуму.

1^О. Необхідні умови існування екстремуму.

Теорема 11.1. Якщо в точці екстремуму M_о (x_о ,y_о ) функція z=f(x,y) має перші частинні похідні, то вони в цій точці перетворюються в нуль, тобто

 

(11.1)

 

Доведення. Із означення екстремуму випливає, що функція однієї змінної z=f(x,y_о ) при фіксованому y=y_о має екстремум при x=x_о. Згідно необхідної умови екстремуму для функції однієї змінної маємо

 

Аналогічно приходимо до умови

 

Геометрично це означає, що дотичні прямі, проведені в точці екстремуму до лінії z=f(x,y_о) і z=f(x_о,y), паралельні відповідним координатним осям оХ і оY (див. рис.11.1). Однак у випадку сідлової поверхні (див. рис.11.2) паралельність осям описаних дотичних в точці поверхні не свідчить про те, що це точка екстремуму. Тому умови (11.1) є тільки необхідними, але не достатніми.

Рис.11.1. Рис.11.2.

Точки, в яких частинні похідні дорівнюють нулю, або не існують, називаються критичними точками функції. Далі установимо

достатні умови екстремуму, яким задовільняє функція в критичних точках.

 

2^О. Достатні умови існування екстремуму

Спочатку введемо деякі скорочені позначення. Нехай M_о(x_о,y_о) - критична точка функції z=f(x,y), в якій , . Припустимо, що існують неперервні частинні похідні другого і третього порядків і позначимо

Т еорема 11.2. Якщо для функції z=f(x,y) виконуються необхідні умови екстремуму в точці , тобто , , то в цій точці функція:

1) має екстремум при , причому максимум, якщо А<0, і мінімум, якщо А>0;

2) немає екстремуму за умови ;

3) при екстремум може бути і може не бути, в цьому випадку потрібні додаткові дослідження.

Доведення. Скористаємось формулою Тейлора (див.8, формулу (8.3)) при n=3.

Перенесемо доданок в ліву частину рівності і позначимо - приріст функції. Якщо в точці максимум, то , якщо ні – мінімум, то . Згідно умови теореми 2

.

Тому

(11.2)

Можна довести, що доданок є нескінченно малою величиною вищого порядку в порівнянні з доданком при , . Тому головною частиною приросту функції у формі (11.2) є другий диференціал, і його знаком визначається знак приросту .

За формулою другого диференціалу (див.формулу (7.2)) маємо

,

а згідно зроблених позначень

Таким чином, знак виразу залежить від співвідношення двох змінних величин і (разом з їхніми знаками). Щоб звести до однієї змінної, винесемо за дужки (при ) і залишимо , тобто

.

Отже задача зводиться до знаку дослідження квадратного тричлена .

Відомо, що квадратний тричлен зберігає знак, якщо його дискримінант від'ємний:

Причому, якщо , то , а значить

Якщо ж , то

За умови квадратний тричлен може змінювати знак, а отже може бути > 0 і <0, тоді екстремума немає.

Приклад. Дослідити на екстремум функцію .

Розв'язання. Для знаходження критичних точок скористаємось теоремою 11.1, згідно з якою отримуємо систему рівнянь:

Розв'яжемо цю систему:

Маємо і дві критичні точки. Знайдемо тепер похідні другого порядку:

Тоді в точці маємо:

> отже екстремум в т. відсутній.

В точці маємо:

< екстремум існує і поскільки > то це мінімум,