Частинні похідні, їх геометричний зміст

 

Нехай задана функція двох змінних Z = f (x, y). Будемо надавати змінним x і y прирости Dx і Dy.

Величина

DZ = f (x + Dx, y + Dy) – f (x, y)

називається повним приростом функції.

Величина

D_x Z = f (x + Dx, y) – f (x, y)

називається частинним приростом функції по змінній х.

D_у Z = f (x, y + Dу) – f (x, y) частинний приріст функції по змінній у.

 

Означення 4.1. Частинною похідною функції двох змінних по одній із змінних х чи у називається границя відношення відповідного частинного приросту функції до приросту аргумента по цій змінній при прямуванні останнього до нуля (якщо ця границя існує), тобто:

 

D_x Z f (x + Dx, y) – f (x, y)

 

Z'_x = lim = lim -

Dx ® 0 Dx Dx ® 0 Dx

- частинна похідна по х,

 

D_y Z f (x, y + Dy) – f (x, y)

Z'_y = lim = lim -

Dy ® 0 Dy Dy ® 0 Dy

- частинна похідна по у.

Є інші позначення:

 

z f (x, y)

Z'_x º º º f '_x (x, y);

x x

z f (x, y)

Z'_y º º º f '_y (x, y).

y y

 

Знак " º " означає тотожні рівності, позначення.

Аналогічне узагальнення має місце для функції багатьох змінних.

 

Означення 4.2. Нехай M (x₁ , x₂ , …, x_n) - довільна фіксована точка із області визначення функції Z = f (x₁ , x₂ , …, x_n) надаючи змінній х_k (k = 1, 2, …, n) приріст Dx_k, розглянемо границю:

Ця границя називається частинною похідною данної функції по змінній x_k в точці М і позначається

z або f ^'x_k (x₁, x₂, …, x_n).

x_k

Частинні похідні знаходяться за звичайними правилами і формулами диференціювання (при цьому усі змінні, крім x_k, розглядаються як сталі).

 

Приклад 4.1. Знайти частинні похідні функції:

Z = arctg .

Вважаючи у сталою, маємо:

 

= .

 

Якщо ж взяти х – сталим, то аналогічно:

 

= .

 

Для функції Z = f (x, y) легко вияснити геометричний зміст похідних. Геометричним зображенням даної функції є деяка поверхня Р (рис.4.1).

 

Рис.4.1.

 

Вважаючи у = const, ми отримуємо плоску криву Г_х , яка є перетином поверхні Р площиною, що паралельна координатній площині хОz. Нехай МК – дотична до кривої Г_х в точці М (x, y, z) і a є кут, утворений цією дотичною з віссю Ох. Згідно з геометричним змістом звичайної похідної маємо:

= tg a.

 

Аналогічно, якщо Г_y є перетин поверхні Р площиною х = const і b є кут, утворений з віссю Оу дотичною МL в точці М (x, y, z) до кривої Г_у, то

= tg b.

Зауваження 1. При знаходженні частинних похідних функції багатьох змінних ми застосовуємо всі правила і формули таблиці похідних, які відносились для функції однієї змінної.

2. При знаходженні частинної похідної від функції, наприклад, двох змінних по змінній х будемо розглядати у як сталу величину.

Якщо частинна похідна знаходиться по у, то х вважається сталою.

 

Приклади. Знайти частинні похідні функцій.

1. , 2. ,

3. , 4.

5. Обчислити значення частинних похідних функції в точці

Розв’язання. 1. . Дана функція є алгебраїчною сумою степенів, тому нагадуємо необхідні формули таблиці похідних однієї змінної: , Вважаючи у сталою, знаходимо .

Аналогічно,

2. . Крім згаданих вище формул табличних похідних однієї змінної, тут необхідно скористатись такими: , . Отже, маємо .

3. Відомо, що Далі маємо

4. .

. .

5. , М(-1,1,2). Оскільки , то

;