Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Частинні похідні, їх геометричний змістСодержание книги Поиск на нашем сайте
Нехай задана функція двох змінних Z = f (x, y). Будемо надавати змінним x і y прирости Dx і Dy. Величина DZ = f (x + Dx, y + Dy) – f (x, y) називається повним приростом функції. Величина Dx Z = f (x + Dx, y) – f (x, y) називається частинним приростом функції по змінній х. Dу Z = f (x, y + Dу) – f (x, y) частинний приріст функції по змінній у.
Означення 4.1. Частинною похідною функції двох змінних по одній із змінних х чи у називається границя відношення відповідного частинного приросту функції до приросту аргумента по цій змінній при прямуванні останнього до нуля (якщо ця границя існує), тобто:
Dx Z f (x + Dx, y) – f (x, y)
Z'x = lim = lim - Dx ® 0 Dx Dx ® 0 Dx - частинна похідна по х,
Dy Z f (x, y + Dy) – f (x, y) Z'y = lim = lim - Dy ® 0 Dy Dy ® 0 Dy - частинна похідна по у. Є інші позначення:
z f (x, y) Z'x º º º f 'x (x, y); x x z f (x, y) Z'y º º º f 'y (x, y). y y
Знак " º " означає тотожні рівності, позначення. Аналогічне узагальнення має місце для функції багатьох змінних.
Означення 4.2. Нехай M (x1 , x2 , …, xn) - довільна фіксована точка із області визначення функції Z = f (x1 , x2 , …, xn) надаючи змінній хk (k = 1, 2, …, n) приріст Dxk, розглянемо границю:
Ця границя називається частинною похідною данної функції по змінній xk в точці М і позначається z або f 'xk (x1, x2, …, xn). xk Частинні похідні знаходяться за звичайними правилами і формулами диференціювання (при цьому усі змінні, крім xk, розглядаються як сталі).
Приклад 4.1. Знайти частинні похідні функції: Z = arctg . Вважаючи у сталою, маємо:
= .
Якщо ж взяти х – сталим, то аналогічно:
= .
Для функції Z = f (x, y) легко вияснити геометричний зміст похідних. Геометричним зображенням даної функції є деяка поверхня Р (рис.4.1).
Рис.4.1.
Вважаючи у = const, ми отримуємо плоску криву Гх , яка є перетином поверхні Р площиною, що паралельна координатній площині хОz. Нехай МК – дотична до кривої Гх в точці М (x, y, z) і a є кут, утворений цією дотичною з віссю Ох. Згідно з геометричним змістом звичайної похідної маємо: = tg a.
Аналогічно, якщо Гy є перетин поверхні Р площиною х = const і b є кут, утворений з віссю Оу дотичною МL в точці М (x, y, z) до кривої Гу, то = tg b. Зауваження 1. При знаходженні частинних похідних функції багатьох змінних ми застосовуємо всі правила і формули таблиці похідних, які відносились для функції однієї змінної. 2. При знаходженні частинної похідної від функції, наприклад, двох змінних по змінній х будемо розглядати у як сталу величину. Якщо частинна похідна знаходиться по у, то х вважається сталою.
Приклади. Знайти частинні похідні функцій. 1. , 2. , 3. , 4. 5. Обчислити значення частинних похідних функції в точці Розв’язання. 1. . Дана функція є алгебраїчною сумою степенів, тому нагадуємо необхідні формули таблиці похідних однієї змінної: , Вважаючи у сталою, знаходимо . Аналогічно, 2. . Крім згаданих вище формул табличних похідних однієї змінної, тут необхідно скористатись такими: , . Отже, маємо . 3. Відомо, що Далі маємо
4. . . . 5. , М(-1,1,2). Оскільки , то ;
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-16; просмотров: 327; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.217.104.36 (0.009 с.) |