Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

Білет 17

1. Ве́кторний (ліні́йний) про́стір — основне поняття лінійної алгебри, узагальнення множини всіх векторів на площині чи в просторі з операціями додавання векторів та множення вектора на скаляр.

Означення 8. Лінійно залежними називають вектори, якщо існує хоч би одне дійсне число (і = 1,2,…, n), що не дорівнює нулю і виконується рівність

Означення 9. Лінійно незалежними називають вектори, якщо рівність (7) виконується

тільки тоді, коли усі. В системі векторів a1,a2…an число лінійно незалежних векторів дорівнює рангу матриці, яка складена з координат цих векторів.

Дійсно, якщо систему векторів a1,a2…an із простору Еm розглядати як матриці-стовпці з m заданими елементами, тоді рівняння (1) можна записати у вигляді однорідної системи m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими. Кількість базисних невідомих системи дорівнює рангу r основної матриці системи, тобто матриці, складеної із координат векторів a1,a2…an.

Таким чином, серед чисел існує r не рівних нулю. Згідно з означенням звідси випливає, що вектори a1,a2…an лінійно залежні.

Для лінійно залежних векторів має місце рівність (1), з якої завжди можна один вектор виразити через лінійну комбінацію інших.

Якщо вектори a1,a2…an із простору Еn (кожен з них має n координат) лінійно незалежні, тоді, тобто система n однорідних лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими має тривіальний розв’язок. Але це можливо тоді, коли визначник матриці, складеної із координат векторів a1,a2…an, не дорівнює нулю.

det= =8+1+45-10-6-6=32 det=0 вектори утворюють базис

2. Т1.Функція y=f(x) не може мати двох різних границь в одній точці.

Т2.Якщо в деякому околі точки х0,крім, можливо самої точки х0,виконується нерівність f(x)≤ῳ(x) і кожна з функцій f(x) і φ(x) та має границю в точці х0,то ≤

T3.Нехай в деякому околі точки х0,крім, можливо самої точки х0, то виконується нерівність φ(x) ≤ f(x)≤ψ(х).Якщо функції φ(x) та ψ(х) мають границю в точці х0 при чому = =А то функція f(x) також має границю в цій точці і =А.

Т4.Якщо функція має в точці х0 границю тобто =А то y=f(x) – обмежена при х→х0.

=1/0=∞

3. Функція z одержить приріст Δхz = f (x+ Δx,y) – f (x; y), який називають частинним приростом по змінній х.

Якщо приросту надати змінній у, то функція z одержить приріст ΔуZ = f (x+ Δx,y) – - f(x; y), який називають частинним приростом по змінній у. Якщо існує границя lim ,що не залежить від способу прямування , то її називають частинноюпохіднопершого порядку функції: u = f ( , ,..., ) по змінній і позначають або або u´ .

z=2x*lny+3(x^2)*(y^3)+3^x

dz/dx=2*lny+6xy^3+

dz/dy=2x

4. Означення 1. Дріб називається раціональним, якщо його чи­сельник та знаменник є многочленами, тобто дріб має вигляд

де а_і та b_k — коефіцієнти многочленів, і = 0, 1,..., n;

k = 0, 1, 2,..., m.

Раціональний дріб називається правильним, якщо найвищий показник степеня чисельника n менше відповідного степеня m знаменника. Дріб називається неправильним, якщo .

Якщо дріб неправильний, тоді треба поділити чисельник на знаменник (за правилом ділення многочленів) і одержа­ти заданий дріб у вигляді суми многочлена та правильного ра­ціонального дробу, тобто

Означення 2. Найпростішими раціональними дробами І, II, III та IV типу називають правильні дроби вигляду:

I. II.

III.

IV.

Умова означає, що квадратний тричлен х² + px + q не має дійсних коренів і на множники не розкладається. Те саме можна сказати і про квадратний тричлен x² + rx + s.

Розглянемо інтегрування найпростіших раціональних дробів. Інтеграли від найпростіших раціональних дробів 1-го та ІІ-го типів знаходять методом безпосереднього інтегрування:

І.

ІІ.

При інтегруванні найпростішого дробу ІІІ-го типу треба спочат­ку в знаменнику виділити повний квадрат, а потім той вираз, що під квадратом, замінити через нову змінну.

ІІІ.

Повертаючись до змінної х, та враховуючи, що або одержимо:

 

Інтеграл від найпростішого дробу типу IV шляхом повторного інтегрування частинами зводять до інтеграла під найпростішого дробу типу III.

 

=4 = =4 =4* = +C

5. Перш ніж обчислювати суму ряду, треба переконатись в його збіжності. Інакше

можна витратити великі зусилля на пошук неіснуючої суми.

Теорема про необхідну ознаку збіжності ряду. Якщо ряд збіжний, то його

загальний член n a прямує до нуля при необмеженому зростанні n.

Доведення. Припустимо, що ряд 1 2 3 a + a + a +K є збіжним. Тоді для нього

справедлива рівність n n

lim S S

. Справедливою буде також і рівність n n 1

lim S S

оскільки, коли n ®¥, то і (n - 1)®¥. Віднімемо від першої рівності другу:

n n n n 1

lim S lim S 0 ®¥ ®¥ -

- = або () n n n 1

lim S S 0 ®¥ -

- =.

Робимо остаточний висновок: оскільки n n1 n S S a - - =, то n n

lim a 0

®¥

=.

Ознака порівняння. Нехай задано два знакододатні числові ряди:

та для всіх n виконується нерівність an <= bn. Тоді, якщо ряд (5) збіжний, то

збіжний і ряд (4). Якщо ряд (4) розбіжний, то розбіжний і ряд (5).

Порівняємо ряд =6/3+6/2*3^2+…+ … з еталонним рядом =6/3+6/3^2+…+ ,

, заданий ряд збігає

 

 

Білет №3

1. Визначники квадратних матриць. Способи обчислення визначників. Обчислити визначник двома способами:

Визначник – це число, що відповідає тільки квадратній матриці. Визначником другого порядку називають число, що дорівнює різниці добутків елементів головної та побічної діагоналей. Визначником третього порядку називають число, що обчислюється за правилами: Саррюса та трикутника. Визначником n-го порядку називають число, що дорівнює алгебраїчній сумі добутків елементів будь-якого рядка або стовпчика на відповідні їм алгебраїчні доповнення. Алгебраїчне доповнення
– це мінор зі знаком . .
Мінор - визначник, що залишився після викреслення і-го рядка та j-го стовпчика.

Визначник можна обчислити двома способами: Саррюса(шляхом дописання 2-х перших рядків до матриці) та трикутника.

 

2. Кут між площинами. Умови паралельності і перпендикулярності двох площин.

Знайти кут між площинами та .

3. Похідна степенево – показникових функцій.

Знайти похідну функції .

4. Обчислення наближеного значення функції в точці за допомогою повного диференціала.

Обчисліть за допомогою повного диференціала (1,04) (0,01) .

5. Диференціальні рівняння з відокремлюваннями змінними.

Знайти загальний розв’язок рівняння .

 

Білет №16

1.Мішаний добуток, властивості мішаного добутку.

Знайти об’єм піраміди побудованої на векторних , якщо . 39

 

2.Еквівалентні нескінченно малі величини. Ланцюжок еквівалентних нескінченно малих величин (при х → 0 і при х → х₀ ).

Обчислити границю: . 91

 

2.Лінії рівня функції двох змінних.

Побудувати лінії рівня функції . 154

2. Інтегрування тригонометричних функцій.

Знайти . 189

3. Узагальнений гармонічний ряд та ряд геометричної прогресії.

Дослідити збіжність ряду . 242

 

№23 23

1. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

Записати рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, якщо , .

2. Властивості функцій, неперервних на відрізку. Дослідити на неперервність функцію на відрізку .

3. Алгоритм дослідження функції на екстремум за допомогою першої похідної.

Знайти екстремум функції .

4. Метод інтегрування заміни змінної у визначеному інтегралі.

Знайти визначений інтеграл 5. Абсолютна та умовна збіжність рядів.

Дослідити збіжність

Білет 17

1. Ве́кторний (ліні́йний) про́стір — основне поняття лінійної алгебри, узагальнення множини всіх векторів на площині чи в просторі з операціями додавання векторів та множення вектора на скаляр.

Означення 8. Лінійно залежними називають вектори, якщо існує хоч би одне дійсне число (і = 1,2,…, n), що не дорівнює нулю і виконується рівність

Означення 9. Лінійно незалежними називають вектори, якщо рівність (7) виконується

тільки тоді, коли усі. В системі векторів a1,a2…an число лінійно незалежних векторів дорівнює рангу матриці, яка складена з координат цих векторів.

Дійсно, якщо систему векторів a1,a2…an із простору Еm розглядати як матриці-стовпці з m заданими елементами, тоді рівняння (1) можна записати у вигляді однорідної системи m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими. Кількість базисних невідомих системи дорівнює рангу r основної матриці системи, тобто матриці, складеної із координат векторів a1,a2…an.

Таким чином, серед чисел існує r не рівних нулю. Згідно з означенням звідси випливає, що вектори a1,a2…an лінійно залежні.

Для лінійно залежних векторів має місце рівність (1), з якої завжди можна один вектор виразити через лінійну комбінацію інших.

Якщо вектори a1,a2…an із простору Еn (кожен з них має n координат) лінійно незалежні, тоді, тобто система n однорідних лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими має тривіальний розв’язок. Але це можливо тоді, коли визначник матриці, складеної із координат векторів a1,a2…an, не дорівнює нулю.

det= =8+1+45-10-6-6=32 det=0 вектори утворюють базис

2. Т1.Функція y=f(x) не може мати двох різних границь в одній точці.

Т2.Якщо в деякому околі точки х0,крім, можливо самої точки х0,виконується нерівність f(x)≤ῳ(x) і кожна з функцій f(x) і φ(x) та має границю в точці х0,то ≤

T3.Нехай в деякому околі точки х0,крім, можливо самої точки х0, то виконується нерівність φ(x) ≤ f(x)≤ψ(х).Якщо функції φ(x) та ψ(х) мають границю в точці х0 при чому = =А то функція f(x) також має границю в цій точці і =А.

Т4.Якщо функція має в точці х0 границю тобто =А то y=f(x) – обмежена при х→х0.

=1/0=∞

3. Функція z одержить приріст Δхz = f (x+ Δx,y) – f (x; y), який називають частинним приростом по змінній х.

Якщо приросту надати змінній у, то функція z одержить приріст ΔуZ = f (x+ Δx,y) – - f(x; y), який називають частинним приростом по змінній у. Якщо існує границя lim ,що не залежить від способу прямування , то її називають частинноюпохіднопершого порядку функції: u = f ( , ,..., ) по змінній і позначають або або u´ .

z=2x*lny+3(x^2)*(y^3)+3^x

dz/dx=2*lny+6xy^3+

dz/dy=2x

4. Означення 1. Дріб називається раціональним, якщо його чи­сельник та знаменник є многочленами, тобто дріб має вигляд

де а_і та b_k — коефіцієнти многочленів, і = 0, 1,..., n;

k = 0, 1, 2,..., m.

Раціональний дріб називається правильним, якщо найвищий показник степеня чисельника n менше відповідного степеня m знаменника. Дріб називається неправильним, якщo .

Якщо дріб неправильний, тоді треба поділити чисельник на знаменник (за правилом ділення многочленів) і одержа­ти заданий дріб у вигляді суми многочлена та правильного ра­ціонального дробу, тобто

Означення 2. Найпростішими раціональними дробами І, II, III та IV типу називають правильні дроби вигляду:

I. II.

III.

IV.

Умова означає, що квадратний тричлен х² + px + q не має дійсних коренів і на множники не розкладається. Те саме можна сказати і про квадратний тричлен x² + rx + s.

Розглянемо інтегрування найпростіших раціональних дробів. Інтеграли від найпростіших раціональних дробів 1-го та ІІ-го типів знаходять методом безпосереднього інтегрування:

І.

ІІ.

При інтегруванні найпростішого дробу ІІІ-го типу треба спочат­ку в знаменнику виділити повний квадрат, а потім той вираз, що під квадратом, замінити через нову змінну.

ІІІ.

Повертаючись до змінної х, та враховуючи, що або одержимо:

 

Інтеграл від найпростішого дробу типу IV шляхом повторного інтегрування частинами зводять до інтеграла під найпростішого дробу типу III.

 

=4 = =4 =4* = +C

5. Перш ніж обчислювати суму ряду, треба переконатись в його збіжності. Інакше

можна витратити великі зусилля на пошук неіснуючої суми.

Теорема про необхідну ознаку збіжності ряду. Якщо ряд збіжний, то його

загальний член n a прямує до нуля при необмеженому зростанні n.

Доведення. Припустимо, що ряд 1 2 3 a + a + a +K є збіжним. Тоді для нього

справедлива рівність n n

lim S S

. Справедливою буде також і рівність n n 1

lim S S

оскільки, коли n ®¥, то і (n - 1)®¥. Віднімемо від першої рівності другу:

n n n n 1

lim S lim S 0 ®¥ ®¥ -

- = або () n n n 1

lim S S 0 ®¥ -

- =.

Робимо остаточний висновок: оскільки n n1 n S S a - - =, то n n

lim a 0

®¥

=.

Ознака порівняння. Нехай задано два знакододатні числові ряди:

та для всіх n виконується нерівність an <= bn. Тоді, якщо ряд (5) збіжний, то

збіжний і ряд (4). Якщо ряд (4) розбіжний, то розбіжний і ряд (5).

Порівняємо ряд =6/3+6/2*3^2+…+ … з еталонним рядом =6/3+6/3^2+…+ ,

, заданий ряд збігає

 

 

Білет №3

1. Визначники квадратних матриць. Способи обчислення визначників. Обчислити визначник двома способами:

Визначник – це число, що відповідає тільки квадратній матриці. Визначником другого порядку називають число, що дорівнює різниці добутків елементів головної та побічної діагоналей. Визначником третього порядку називають число, що обчислюється за правилами: Саррюса та трикутника. Визначником n-го порядку називають число, що дорівнює алгебраїчній сумі добутків елементів будь-якого рядка або стовпчика на відповідні їм алгебраїчні доповнення. Алгебраїчне доповнення
– це мінор зі знаком . .
Мінор - визначник, що залишився після викреслення і-го рядка та j-го стовпчика.

Визначник можна обчислити двома способами: Саррюса(шляхом дописання 2-х перших рядків до матриці) та трикутника.

 

2. Кут між площинами. Умови паралельності і перпендикулярності двох площин.

Знайти кут між площинами та .

3. Похідна степенево – показникових функцій.

Знайти похідну функції .

4. Обчислення наближеного значення функції в точці за допомогою повного диференціала.

Обчисліть за допомогою повного диференціала (1,04) (0,01) .

5. Диференціальні рівняння з відокремлюваннями змінними.

Знайти загальний розв’язок рівняння .

 

Білет №16

1.Мішаний добуток, властивості мішаного добутку.

Знайти об’єм піраміди побудованої на векторних , якщо . 39

 

2.Еквівалентні нескінченно малі величини. Ланцюжок еквівалентних нескінченно малих величин (при х → 0 і при х → х₀ ).

Обчислити границю: . 91

 

2.Лінії рівня функції двох змінних.

Побудувати лінії рівня функції . 154

2. Інтегрування тригонометричних функцій.

Знайти . 189

3. Узагальнений гармонічний ряд та ряд геометричної прогресії.

Дослідити збіжність ряду . 242

 

№23 23

1. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

Записати рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, якщо , .

2. Властивості функцій, неперервних на відрізку. Дослідити на неперервність функцію на відрізку .

3. Алгоритм дослідження функції на екстремум за допомогою першої похідної.

Знайти екстремум функції .

4. Метод інтегрування заміни змінної у визначеному інтегралі.

Знайти визначений інтеграл 5. Абсолютна та умовна збіжність рядів.

Дослідити збіжність

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

Кутовим коефіцієнтом прямої називається тангенс кута нахилу прямої до осі Ox, який відраховується в додатному напрямі (від осі до прямої проти годинникової стрілки). Цей кут завжди розглядається в межах від нуля до , тобто .

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом має вигляд y = k * x + b, де k = tg – кутовий коефіцієнт, b – початкова ордината, тобто точка перетину прямої з віссю Oy