Абсолютна та умовна збіжність рядів.

Знакозмінний ряд

(1)

називається абсолютно збіжним, якщо збігається знакододатний ряд

(2)

складений з абсолютних величин його членів. Якщо ряд (1) збіжний, а ряд (2) розбіжний, то ряд (1) називають умовно (не абсолютно) збіжним.

 

№26

1. Дії над матрицями. Властивості дій над матрицями. Знайти матрицю.

2. Означення похідної. Диференційовність та неперервність функції в точці і на проміжку.

Знайти похідну функції:

3. Правило Лопіталя.

Знайти границю, використавши правило Лопіталя .

4. Невласний інтеграл з нескінченною верхнею межею.

Знайти інтеграл .

5. Радіус, інтервал, область збіжності ряду.

№27

1. Визначники квадратних матриць. Способи обчислення визначників.

 

 

Обчислити визначник двома способами:.

2. Правила диференціювання сталої, суми, добутку, частки функцій, та наслідки з них.

Знайти похідну функції .

 

3. Екстремум функції, необхідна та достатня умови існування екстремуму.

Знайти екстремум функції .

4. Невласний інтеграл з нескінченною нижньою межею.

Знайти інтеграл

5. Ряд Тейлора.

Розкласти функцію за степенями

РОЗВЯЗОК

 

 

№28

1. Визначник -го порядку. Теорема Лапласа.

Квадратній матриці А n-го порядку можна поставити у відповідність число detА,яке називається визначником цієї матриці. Правило Лапласа:Визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця)помноженні на відповідні алгебраїчні доповнення. Алгебраїчні доповнення Аij елемента aij

називають мінор цього елемента,взятий із знаком «плюс»,якщо сума номерів рядка і стовпчика –число парне,та зі знаком «мінус»,якщо непарне.Мінором Мij елемента aij визначника n-го порядку називається визначник (n-1)-го порядку,який одержимо з даного визначника шляхом викреслювання і-го рядка та j-го стовпця,на пнрнтині яких знаходиться елемент aij.

 

Обчислити визначник використовуючи теорему Лапласа:

2. Похідна сталої та функцій (доведення). Таблиця похідних.

Знайти похідну функ

3. Частинний приріст і частинні похідні першого порядку.

 

Знайти частинні похідні першого порядку функції .

4. Відмінність між невласними інтегралами І та ІІ роду.7

Знайти інтеграл

 

5. Ряд Маклорена.

№7

1. Обернена матриця. Алгоритм оберненої матриці.

Оберненою для заданої квадратної матриці А називається така матриця , добуток якої на матрицю А як зліва, так і справа дорівнює одиничній матриці, тобто А , де Е – одинична матриця такого порядку, що і матриця А. Матриця має той же розмір, що й матриця А.

Будь-яка матриця, визначник якої не дорівнює 0, має обернену.

Щоб знайти обернену матрицю до даної потрібно:

1. Знайти визначник даної матриці А, det A . Якщо det А=0, то матриця особлива, і до неї оберненої не існує.

2. Знайти алгебраїчні доповнення елементів матриці А.

3. Скласти приєднану матрицю .

4. Знайти обернену матрицю за формулою

.

5. Якщо потрібно, то зробити перевірку, використовуючи означення

 

Знайти матрицю обернену до даної матриці А.

1. Знаходимо визначник матриці А:

det A = 3*(-2)-1*2 = -8.

2. Знаходимо алгебраїчні доповнення:

= 2.

 

= -1.

= -2.

= 3.

3. Складаємо приєднану матрицю:

А =

4. Обернена матриця = =

5. Перевірка:

= Е.

 

2. Еліпс: означення, рівняння, графік,

Еліпсом називається геометричне місце точок площини, для кожної із яких сума віддалей до двох заданих точок, що називаються фокусами, є величина стала.

Якщо позначити через F₁ і F₂ точки, що є фокусами еліпса, а через

М — будь-яку точку, що належить еліпсу, то еліпс характеризується тим,

Рис 1

що

|MF₁| + |MF₂| = const.

Введемо Декартові системи координат так, щоб фокуси F₁,F₂ були розташовані на осі Ох, симетрично відносно початку координат (рис. 1). І нехай М(х, у) — будь-яка (біжуча) точка, що належить еліпсу. Віддаль |F₁F₂| позначимо через 2с: |F₁F₂| = 2с, а через 2а — сталу, про яку йде мова в означенні, тобто

|MF₁| + |MF₂| =2a

Очевидно, що для існування еліпса повинно бути 2а > 2с, або а>с. Фокуси еліпса матимуть координати F₁( — с, 0), F₂(c, 0). відстані

між двома точками дорівнюють

де b²=a²-c² (3)

яке називається канонічним рівнянням еліпса.

1. Знайдемо розташування кривої відносно координатних осей. Із (3) дістаємо

звідки | x | ≤ aбо x

звідки | y | ≤ b або y

2.Еліпс розташований симетрично відносно координатних осей, тобто, якщо координати точки М₁(х,у) задовольняють рівняння (3), то його задовольняють і координати точок М₂( — х, у), М₃ (— х, — у),

M₄(x, — у). Отже, еліпс має дві осі симетрії, розташовані на координатних осях. Точка перетину осей симетрії є центром симетрії і називається центром еліпса. Для еліпса, зображеного рівнянням (3), центром є початок координат О(0, 0).

1. Знайдемо точки перетину еліпса з координатними осями. Із (3) дістанемо: якщо х = 0, то у =± b, якщо y = 0, то х =± а. Отже, еліпс перетинає вісь Ох в точках А₁( — а, 0), А₂ (а, 0), а вісь Оу в точках В₁ (0, —b), B₂(0, b).

 

Рис 2

Точки А₁, А₂, B₁, В₂ перетину еліпса з його осями симетрії називаються вершинами еліпса (рис. 2). Відрізки А₁А₂ і B₁B розташовані на осях симетрії. Вони називаються осями еліпса. Відрізок А₁А₂, довжина якого 2а — велика вісь, а В₁В₂ — довжина якого 2b — мала вісь (а> b). Відповідно числа а та b називаються великою і малою півосями еліпса.

4. Фокальною хордою еліпса називається хорда, що проходить через фокус перпендикулярно до його великої осі. Довжина фокальної хорди позначається через 2р. Знайдемо число р — фокальну пів хорду. Якщо Н₁Н₂ (рис. 2) фокальна хорда, то точки Н₁ і Н₂ лежать на еліпсі і їх координати задовольняють рівняння (3). Тому для точки Н₂ (с, р) маємо

тобто

 

Отже, дістаємо

Числа а, b,с,р є параметрами еліпса.

1. Ексцентриситетом еліпса називається число ε, що дорівнює відношенню фокальної півосі до великої півосі еліпса, і

(4)

оскільки с<а.

Величина ексцентриситету характеризує форму еліпса, його витягнутість по відношенню до осей. Перетворимо (4). Маємо

Звідси випливає, що якщо а = b, то ε = 0, і еліпс перетворюється на коло. Якщо b значно менше, ніж а, то число ε близьке до 1 і еліпс витягнутий вздовж осі Ох.

Аналогічно дістаємо, що |MF₁| = а + εх.

Тоді

|MF₁| + |MF₂|=2a.

Отже, рівняння (1) і (3) еквівалентні.

 

3. Правило Лопіталя.

Пра́вило Лопіта́ля —— метод знаходження границь функції, розкриття невизначеностей вигляду і . Теорема, що обґрунтовує метод, стверджує що за деяких умов границя від частки функції дорівнює границі частки їхніх похідних.

Правило говорить, що якщо функції і задовольняють такі умови:

1. або ;

2. ;

3. в проколотому околі ;

4. Якщо g(x) і f(x)— диференційовані в проколотому околі ,

то існує . При цьому теорема вірна і для інших баз (для вказаної буде наведено доказ).

Знайти границю за правилом Лопіталя

4. Невизначений інтеграл, основні властивості.

де F - первісна функції f (на проміжку); C - довільна стала.
Основні властивості.

1.

2.

3. Якщо то

4.

Знайти невизначений інтеграл для заданої функції f(x)=2x + – e

5. Диференціальні рівняння другого порядку, що дозволяють знизити порядок.

Знайти загальний розв’язок рівняння

 

№14

Теорыя::::!!!!!!!!

1.

Розвязком СЛАР називається n значення невідомих х1=С1, х2=С2, х3=С3… хn=Сn при підстановці яких всі рівняння системи перетворюються в правильні рівності.

Система рівнянь називається сумісною,якщо вона має хоча б один розв*язок,і несумісною,якщо вона не має жодного розвязку.

Сумісна система називається визначеною,якщо вона має лише один розвязок,і невизначеною,якщо вона має безліч розв’язків.

Тут m - кількість рівнянь, а n - кількість невідомих. x1, x2,..., xn - невідомі, які треба визначити. a11, a12,..., amn - коефіцієнти системи - і b1, b2,... bm - вільні члени -передбачаються відомими. Індекси коефіцієнтів (aij) системи позначаютьномери рівняння (i) та невідомого (j), при якому стоїть цей коефіцієнт, відповідно.
Система (1) називається однорідною, якщо всі її вільні члени

дорівнюють нулю (b1= b2 =... = bm = 0), інакше - неоднорідною.
Система (1) називається квадратною, якщо число m рівнянь дорівнює числу n-невідомих.
Рішення системи (1) - сукупність n чисел c1, c2,..., cn, таких, що підстановка кожного ci замість xi в систему (1) звертає всі її рівняння в тотожності.
Система (1) називається сумісною, якщо вона має хоча б одне рішення, і несумісною, якщо у неї немає ніодного рішення.
Сумісна система виду (1) може мати одне або більше рішень.
Рішення c1 (1), c2 (1),..., cn (1) і c1 (2), c2 (2),..., cn (2) сумісної системи виду (1) називаються різними, якщо порушується хоча б одна з рівностей:

c ₁⁽¹⁾ = c ₁⁽²⁾, c ₂⁽¹⁾ = c ₂⁽²⁾, …, c_n ⁽¹⁾ = c_n ⁽²⁾.

 

Сумісна система виду (1) називається визначеною, якщо вона має єдине рішення, якщо ж у неї є хоча б два різних рішення, то вона називається невизначеною. Якщорівнянь більше, ніж невідомих, вона називається перевизначенною.

 

Однорідна система лінійних рівнянь AX = 0 завжди сумісна. Вона має нетривіальні(ненульові) рішення, якщо r = rank A <n.
Для однорідних систем базисні змінні (коефіцієнти при яких утворюють базисниймінор) виражаються через вільні змінні співвідношеннями види:

Тоді n - r лінійно незалежними вектор-рішеннями будуть:

а будь-яке інше рішення є їх лінійною комбінацією. Вектор-рішення утворюють нормовану фундаментальну систему.

У лінійному просторі безліч рішень однорідної системи лінійних рівнянь утворює підпростір розмірності n - r; - базис цього підпростору.

 

2.

(нескінченно велика функція). Функція називається нескінченно великою при x ® aабо в точці a, якщо для будь-якого позитивного числа e знайдеться таке позитивнеd (e), що для всіх x № a і задовольняють умові | xa | <d буде виконано нерівність | f(x) | > e.

Аналогічно можна дати визначення нескінченно великою при

. Наведемо його у символічному запису:

lim _x ® ¥ f (x) = ¥ Û " e>0 $ d(e)>0 " x:|x|> d |f (x) |> e.

3.

Функції декількох змінних

Визначення. Якщо кожній парі (x, y) значень двох незалежних змінних з області Wставиться певне значення z, то говорять, що z є функція двох змінних (x, y).
z = f (x, y)
Геометричне зображення функції двох змінних - поверхню.
Приватне і повний приріст функції.
Повний приріст функції
Dz = f (x + Dx, y + Dy)-f (x, y)
Приватне приріст функції
Dx z = f (x + Dx)-f (x, y)

Dy z = f (x, y + Dy)-f (x, y)
Взагалі, повний приріст функції не дорівнює сумі приватних збільшень.
Приклад. z = xy.
Dx z = (x + Dx) y-xy = yDx

Dy z = x (y + Dy)-xy = xDy

Dz = (x + Dx) (y + Dy)-xy = yDx + xDy + DyDx № Dy z + Dx z.
Безперервність функції декількох змінних
Межа функції.
Нехай z = f (x, y) визначена в деякій околиці A (x0, y0).
Визначення. Постійне число b називають межею z = f (x, y) при P (x, y) прагне до A,якщо для будь-якого e> 0 можна вказати таке значення d> 0, що для всіх x, що задовольняють нерівності | AP | <d, має місце нерівність | f (x, y)-b | <e.
безперервна функція
приватні похідні

 

4. Метод невизначених коефіцієнтів.

Будь-який неправильний раціональний дріь розкласти на суму найпростіших раціональних дробів типу 1-4, коефіцієнти яких можна знайти за допомогою методу невизначених коефіцієнтів. Інтегрування дробів методом невизначених коефіцієнтів проводиться за такою послідовністю:

1)Перетворити даний драб у правильний.

2)Перетворити знаменник у добуток найпростіших могочленів.

3)Записати правилиний дріб у вигляді суми найпростіших дробів 1-4 типів, де в чисельнику стоять невизначені коефіцієнти.

4)Звести суму найпростіших дробів до спільного знаменника і отримати СЛАР, прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях змінної..

5)Розвязок СЛАР дає невизначені коефіцієнти.

6)Кінцевий результат отримаємо післ обчислення інтегралів від многочлена і найпростіших дробів.

 

5. Властивості збіжних рядів.

Якщо ряд (∞∑n=1) a_n збігається і має суму S, то ряд (∞∑n=1)C∙ a_n, одержаний множенням даного ряду на число C, також збігається і має суму C∙S.

Якщо (∞∑n=1) a_n і (∞∑n=1) b_n -два збіжних ряди відповідно з сумами S₁ та S₂, то ряд (∞∑n=1) (a_n + b_n) також збігається і його сума дорівнює S₁ + S₂.

Відкидання (приписування) скінченої кількості членів не впливає на збіжність ряду.

Для того, щоб ряд (∞∑n=1) a_n збігався, необхідно і достатньо, щоб залишок ряду R_n прямував до нуля при n→∞, тобто lim(n→∞)R_n=0.

 

№15 Теория!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!