Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

Нехай маємо пряму нахилену під кутом α ≠ π/2 до осі абсцис Ох. Число k=tgα називається кутовим коефіцієнтом прямої.
Візьмемо задану точку М0(х0, у0) і біжучу точку М(х, у) прямої та запишемо кутовий коефіцієнт прямої через прирости координат
k=tgα=(x − x0).(y − y0)
З цього співвідношення складаємо рівняння прямої, що проходить через задану точку М0(х0, у0) і має кутовий коефіцієнт k:
y − y0 = k(x − x0).
Поклавши x0 = 0 отримаємо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:

y = kx + b

де b = y0 – відрізок, що відтинається прямою на осі Оу.
Розглянемо декілька прикладів.

Приклад 1.Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку A(1;2), B(5;7).
Розв'язання: Підставимо координати точок у формулу прямої


4y − 5x-3=0 – шукане рівняння прямої.
Не буде помилкою, якщо Ви поміняєте координати початку і кінця вектора AB місцями

Тільки в цьому випадку в знаменнику матимемо від'ємні значення і доведеться витратити більше часу на обчислення.
Дане завдання можна зробити через рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

Маємо дві точки, відповідно при підстановці отримаємо два рівняння для визначення двох невідомих

Систему рівнянь розв'язувати легко. З першого рівняння виражаємо b і підставляємо у друге


Підставимо знайдену невідому у перше рівняння

Остаточне рівняння прямої

або
4y − 5x-3=0
що ідентично знайденому вище.

 

2. Можна запропонувати наступну схему дослідження функції у = f(х) та побудови ЇЇ графіка:

1) Знаходимо область визначення функції у = f(x).

2) Досліджуємо функцію на парність, непарність та періодичність (для тригонометричних функцій).

3) Знаходимо точки перетину функції у = f(x) з осями координат (якщо їх можна знайти).

4) Знаходимо похідну f '(x) та критичні точки.

5) Знаходимо проміжки зростання, спадання, точки екстремуму, екстремуми функцій.

6) Досліджуємо поведінку функції на кінцях проміжків області визначення (якщо можна дослідити).

7) Використовуючи отримані результати, будуємо графік функцій або його ескіз.

Приклад 1. Дослідити функцію та побудувати її графік.

Розв’язання. 1) Область визначення: D(f) = R.

функція парна, її графік симетричний відносно осі ординат.

3) Точка перетину з віссю Оу:

Точки перетину з віссю Оу: (розв’яжіть рівняння самостійно).

Отже, маємо точки перетину з осями координат: (0;-4), (2;0), (-2;0).

критичні точки х₁ = 0; х₂= 1; х₃ = -1.

5) Складаємо таблицю у якій позначаємо проміжки зростання, проміжки спадання та критичні точки:

 

x	(-∞;-1)	-1	(-1;0)		(0;1)		(1;+∞)
f ‘(х)	-		+		-		+
f(x)		-4,5		-4		-4,5
Висновок	Функціяспадає	min	Функціязростає	mах	Функціяспадає	mіn	Функціязростає

 

В таблиці наведено також висновки про критичні точки (чи є вони точками максимуму чи точками мінімуму).

6) Оскільки D(f) = R, то немає кінців області визначення.

7) Будуємо графік функції використовуючи результати дослідження - малюнок 105.

 

 

Побудова графіка функцій (або його ескізу) допомагає при розв’язуванні деяких задач, пов’язаних із знаходженням коренів рівняння (їхньої кількості, найближчих значень тощо).

 

 

13 білет

1. Як і на площині, у просторі

Кутом між прямими, що перетинаються, називають менший із кутів, що утворився при перетині цих прямих.

Якщо прямі паралельні, то природно вважати, що кут між такими прямими дорівнює нулю.

Кутом між мимобіжними прямими називають кут між прямими, які перетинаються і паралельні даним мимобіжним прямим.

Нехай а₁ і b₁ - прямі, які перетинаються в точці С і паралельні мимобіжним прямим а іb, а кут між прямими а₁ і b₁ дорівнює φ (мал. 437). Тоді кут між прямими а і b також дорівнює φ. Можна довести, що кут між мимобіжними прямими а і b не залежить від вибору точки С. В задачах точку С зручно брати на одній із прямих, наприклад на прямій а, і проводити через цю точку пряму, паралельну прямій b.

 

 

Приклад. АВСDА₁В₁С₁D₁ - куб (мал. 438). Знайти кут між мимобіжними прямими ВС іDС₁.

 

 

Розв’язання. 1) Пряма АD паралельна прямій ВС. Тому шуканий кут буде дорівнювати куту між прямими АD і DС₁.

2) Оскільки DС АD, то за теоремою про три перпендикуляри С₁D АD.

3) Отже, кут між прямими ВС і DС₁ дорівнює 90°.

Таким чином можна говорити про кут φ між будь-якими двома прямими простору. Очевидно, що цей кут φ задовольняє умові 0° ≤ φ ≤ 90°.

Перпендикулярними можуть бути як прямі, що перетинаються, так і мимобіжні прямі.

Дві прямі називають перпендикулярними, якщо кут між ними дорівнює 90°.

У розглянутому прикладі прямі ВС і DС₁ - перпендикулярні.

Як відомо з курсу планіметрії, для двох прямих на площині можливі лише два випадки їх взаємного розміщення: або вони перетинаються, або вони паралельні.

У просторі можливий ще один випадок розміщення. Розглянемо малюнок 364. Прямі АD/span> і D₁С₁ не мають спільних точок, крім того вони і не паралельні. В такому випадку кажуть, що дві прямі не лежать в одній площині, тобто не існує такої площини, яка проходить через обидві ці прямі.

 

 

 

Дві прямі, які не лежать в одній площині, називають мимобіжними.

На малюнку 364 прямі АD і D₁С₁ - мимобіжні.

У планіметрії ці фігури, які ми розглядали, розміщувались на одній площині. У стереометрії можна ж розглядати нескінченно багато площин. У зв’язку з цим означення паралельних прямих потребує уточнення.

Дві прямі в просторі називають паралельними, якщо вони лежать в одній площині і не перетинаються.

Паралельність прямих а і b позначають так само, як і в планіметрії: аllb.

Отже, у просторі можливі три випадки взаємного розміщення двох прямих:

1) прямі лежать в одній площині і мають спільну точку - прямі, що перетинаються (мал. 365).

2) прямі лежать в одній площині і не мають спільних точок - паралельні прямі (мал. 366).

3) прямі не лежать в одній площині - мимобіжні прямі.

 

2. Диференціал функції

Нехай функція має в даній точці скінченну похідну . Тоді , де , якщо . Звідки

 

.

 

Якщо  нескінченно малий приріст, то доданок є нескінченно малим вищого порядку, ніж доданок і якщо , то і нескінченно малі одного порядку.

 

Означення 3.3. Якщо функція має похідну в точці , то вираз називається диференціалом (differential) функції в цій точці і позначається символом . Тобто,

 

. (3.10)

 

Зауваження. Диференціал функції в даній точці є головною лінійною частиною приросту функції, пропорційною приросту аргументу з коефіцієнтом пропорційності :

 

.Диференціал незалежної змінної ототожнюється з її приростом, тобто

Для будь-якої диференційовної в точці х функції формулу (3.10) можна записати так:

.

Звідки отримаємо, що , (*)

 

тобто похідну можна розглядати як відношення двох диференціалів.