Еліпс. Канонічне рівняння та рівняння зi зміщеним центром.

Еліпс – геометричне місце точок, для яких сума відстаней від 2 заданих точок(фокусів) – величина стала. Канонічне р-ня еліпса(якщо осі координат збігаються з осями еліпса):

Гіпербола. Канонічне рівняння та рівняння зі зміщеним центром. Асимптота гіперболи.

Гіпербола – геометричне місце точок, для кожної з яких різниця відстаней від двох заданих точок(фокусів) – величина стала. Канонічне рівняння (якщо вісь Ох збігається з дійсною віссю гіперболи): . Асимптотою назив. Пряма така, що точка, яка віддаляється в нескінченність необмежено наближується до даної прямої. Гіпербола має 2 асимптоти: ;

29. Парабола. Канонічне рівняння та рівняння зi зміщеною вершиною.

Парабола – геометр.місце точок M(x, y), рівновіддалених від даної точки(фокуса) і від даної прямої(директриси).Канонічне р-ня параболи:
30. Поняття функції i способи її завдання.

Основні властивості функції.

Функцією у = f(x) називається така відповідність між множинами D і Е, при якій кожному значенню змінної х відповідає одне й тільки одне значення змінної у.

Розрізняють три способи завдання функції: аналітичний, графічний і табличний.

Щоб задати функцію, потрібно вказати спосіб, за допомогою якого для кожного значення аргументу можна знайти відповідне значення функції. Найбільш уживаним є спосіб завдання функції за допомогою формули у=f(x), де f(x)-вираз, що містить змінну х. У такому випадку говорять, що функція задана формулою або що функція задана аналітично.
На практиці часто використовується табличний спосіб завдання функції. При цьому способі приводиться таблиця, що вказує значення функції для наявних у таблиці значень аргументу. Прикладами табличного завдання функції є таблиця квадратів, таблиця кубів, таблиця температур.
Найчастіше функцію задають за допомогою формули. При цьому якщо не дано додаткових обмежень, то областю визначення функції, заданою формулою, вважають множину усіх значень змінної, при яких ця формула має сенс.

Властивості:

1. Функція називається зростаючою, якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції: Х[ > х2 ^ f(xl) > f(x2); Xj; х2 є D.

2. Функція називається спадною, якщо меншому значенню аргументу відповідає більше значення функції Xj < х2 ^ /(xj > f(x2); х1;х1 є D.

3. Функція називається монотонною, якщо вона лише зростаюча або лише спадна в своїй області визначення.

4. Функція називається парною, якщо зміна знаку аргументу не викликає зміни знаку функції

f(-x) = f(x), x; -x є D.

5. Функція називається непарною, якщо зміна знаку аргументу викликає лише зміни знаку функції f(—x) - -f(x), х; - х е D.

6. Функція називається обмеженою зверху, якщо для неї існує таке число М, що виконується умова f(x) < М, х <=D.

Функція називається обмеженою знизу, якщо для неї існує таке число т, що виконується умова

f(x) >т, х <=D.

8. Функція називається обмеженою, якщо вона обмежена знизу і зверху т < f(x) < М, х <=D.

9. Фунція називається періодичною, якщо існує таке число Т, для якого виконується умова fix — Т) - f(x) - fix + Т), х е D.

Обернена i складна функція однієї змінноі. Приклади.

Якщо ф-я визначена на області D, G – область її значень, ф-я визначена на області G, то ф-я називається складною функцією, яка складна із ф-й
31. Границя числової послідовності.

Будь-який впорядкований (занумерований) дискретний набір чисел називають числовою послідовністю: , , тобто послідовність – функція натурального аргументу.

Число А називається границею числової послідовності { }, пишуть , якщо для будь-якого ε>0 знайдеться таке натуральне N, що для всіх n>N виконається умова . Геометрично це означає, що всі наступні після елементи послідовності з номерами обов′язково попадуть в ε -окіл точки А числової прямої

Границя функції.

Число А називають границею функції y=f(x), тобто , якщо для будь-якого ε>0 знайдеться таке δ>0, що як тільки її аргументи х попадають у δ -окіл точки х₀, так одразу відповідні у=f(x) попадають в ε -окіл точки А. Іншими словами, при виконанні умови обов′язково виконується нерівність .

При цьому кажуть, що функція “прямує” до А за умови, що її аргументи х наближаються все ближче до х₀. Важливо, що сама функція в точці х₀ може бути і не заданою.

Число В називають границею функції y=f(x), коли , тобто , якщо для будь-якого ε>0 існує число таке, що з нерівності випливає нерівність .

Розглянемо односторонні границі для функції , тобто коли з одного певного боку. При цьому домовимось, що позначення означає наближення зліва, а позначення - відповідно справа.

Правостороння границя функції:

.

Лівостороння границя функції:

 

.
32. Основні теореми про границі.

Якщо , , то ; ; . В останньому випадку має виконуватись умова В 0.

Сталу можна виносити за знак границі:

Ознаки існування границі.

Для існування необхідно і достатньо, щоб виконувалась умова .

33. Нескінченно малі i нескінченно великі величини, іх властивості.

Функція у=f(х) називається нескінченно малою в точці х₀, якщо .

Функція у=f(х) називається нескінченно великою в точці х₀, якщо .

Нехай функції у₁(х) та у₂(х) – безмежно малі в деякій точці х₀. Тоді у₁(х) називають нескінченно малою більш високого порядку, ніж у₂(х) в точці х₀, якщо . Відповідно у₁(х) називають нескінченно малою більш низького порядку, ніж у₂(х) в точці х₀, якщо .

Нехай функції у₁(х) та у₂(х) – безмежно малі в деякій точці х₀. Тоді у₁(х) та у₂(х) називають еквівалентно малими в точці х₀, якщо .

Властивості неск. мал.:

1) Алгебраїчна сума скінченого числа неск. мал.. величин є неск. мал.. величиною.

2) Добуток неск. мал.. величин на обмежену ф-ю(в тому числі на константу і на інші неск. мал.. ф-ї) є величиною неск. малою.

3) Частка від ділення неск. мал.. величин на ф=ю границі якої відміна від 0 є неск. мал.. величина.

Властивості неск. вел. величин:

1) f(x) неск. вел. Величина, т. , f(x) і g(x) - неск. вел. Величини.

2) f(x), φ(x) - неск. вел. Величини, f(x)+φ(x) - неск. вел. Величини

3) частка від ділення неск. вел. Величин є величиною неск. великою.