Умови існування подвійного інтеграла та його властавості.

Достатні умови існування подвійного інтеграла.

Теорема 1. Якщо функція f (x,y) неперервна у замкненій області , то подвійний інтеграл існує .

Доказ цієї теореми можно провести аналогічно доказу відповідної теореми для визначеного інтеграла.

Теорема 2. Якщо функція f (x,y) обмежена у замкненій області (сігма)і безперервна в ній всюди, крім кінцевого числа кусково-гладких ліній, то подвійний інтеграл існує.

Властивості подвійного інтеграла:

1. Подвійний інтеграл не залежить позначення змінних інтегрування.

2. Постійний множник k можно виносити за знак подвійного інтеграла:

3. Подвійний інтегралвід сумы двох функцій дорівнює сумі подвійних інтегралів від доданків:

4. Якщо область разбита на дві області и , то

5. Якщо в области то

6. Якщо в области то

7. Якщо функція задана в области , то

8.

Дійсно, так як у даному випадку в області , то для будь-якого разбиття області на частини отримуємо:

Властивість 8 дозволяє використовувати подвійні інтеграли для знахождення плоских фігур.

 

61.Обчислення подвійного інтеграла в прямокутних координатах.

1)якщо область D, в якій розглядається подвійний інтеграл, є прямокутником з паралельними координатним осям сторонами, які задано рівняннями x=a, x=b, y=c,y=d(a<=x<=b, c<=y<=d), то подвійний інтеграл обчислюється за однією з формул:

2)Коли область D така, що будь-яка пряма, що проходить усередині цієї області і паралельна осі Oy, перетинає її межу в двох точках, то ця область називається простою відносно осі Ox і визначається системою нерівностей виду a<=x<=b, (x).Тоді для обчислення подвійного інтеграла дістаємо формулу

3)якщо межа області D перетинається у двох точках будь-якою прямою, що проходить усередині цієї області і паралельна осі Ox, то ця область називається простою відносно осі Oy і визначається системою нерівностей виду c<=y<=d, (x).Тоді подвійний інтеграл обчислюється за формулою

4)Якщо нижня та верхня лінії межі області D складаються з кількох частин, що мають різні рівняння, то таку область необхідно розбити прямими, паралельними осі Oy, на частини, щоб кожна з них подавалася одним рівнянням.У цьому разі обчислення подвійного інтеграла зводиться до обчислення двох або більше повторних інтересів.

 

 

Диференціальні рівняння 1-го порядку, ix геометрична інтерпритація. Загальний i частинний розв'язки. Задача Koшi. Теорема існування i єднисті розв'язків диференціального рівняння.

. Диференціальним рівнянням називають рівняння, яке містить незалежну змінну х, шукану функцію у і її похідні у, у,..., у(N). Порядком диференційного рівняння називаєтьсчя порядок найвищої похідної, яка входить у рівняння. Приклад: ху'+у-2-0 диференціальне рівняння І порядку.

З геометричної точки зору проінтегрувати диференціальне рівняння – це знайти криві, дотичні яких збігаються з напрямом поля у відповідних точках.

Загальним розв'язком диференціального рівняння першого порядку називається функція яка залежить тільки від однієї довільної сталої і задовольняє таким умовам:

1) вона задовольняє диференціальному рівнянню при довільному конкретному значенню сталої

2) якою б не була початкова умова (із області, в якій виконуються умови теореми існування і єдності розв'язку), можна знайти таке значення, що функція задовольняє даній початковій умові.

Частинним розв'язком називається довільна функція яка одержується із загального розв'язку якщо в останньому довільній сталій надати певного значення. Співвідношення називається в цьому випадку частинним інтегралом.

Розгл. ДР y’=f(x;y).

Задача пошуку розв. у=j(х), що задов. умови у=у₀ при х=х₀ наз. задачею Коші. Умови наз. початковими, а у₀, х₀ – поч. знач.

Нехай ф-ція f(x;y) непер. на обл. D і задов. в цій обл. умову Ліпшиця:

тоді при (х₀, у₀)ÎD існує єд. розв. у=j(х) ДР, який задов. поч.. умови

у₀=j(х₀).

 

 

Рівняння з відокремлюваними змінними.

Диференціальне рівняння вигляду називається рівнянням з відокремлюваними змінними. Якщо , то змінні відокремлюються діленням обох частин рівняння на . Маємо

, тобто рівняння, що зводяться до рівнянь з відокремленими змінними.