Інтегрування ірраціональних i деяких тригонометричних функцій.

Розглянемо òR(sinx,cos x)dx, де R – раціональна ф-ія відносно sin, cos, тобто над sin, cos викон. лише арифметичні дії та піднесення до цілого степеня. Існують такі підстановки, що за їх допомогою інтеграл òR(sinx,cosx)dx завжди може бути зведений до інтеграла від раціональної ф-ії òR*(t)dt, загальна схема інтегрування якої розроблена.

1)Універсальна тригонометрична підстановка . На практиці універсальну тригонометричну підстановку використовують, якщо sin x, cos x входять в невисокому степені, інакше підрахунки будуть складні.

2) Підінтегральна ф-ія – непарна відносно sin x, тоді роблять підстановку cos x = t.

3) Підінтегральна ф-ія – непарна відносно cos x раціоналізується за допомогою підстановки sin x = t.

4) Підінтегральна ф-ія R(sin x, cos x) – парна по sinx, cosx сукупно, тобто R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx). В цьому випадку використовують підстановку tgx=t або ctgx=t.

5) Підінтегральна ф-ія R(tgx) раціоналізується підстановкою tgx=t.

В інтегралах òsin2nx×cos2mxdx рекомендується скористатися формулами зниження степеня.

 

Інтегрування ірраціональних функцій.

1.

2.

3.

 

Підінтегральна ф-ія після виділення повного квадрата і заміни

 

раціоналізується тригонометричними підстановками.

 

Означення визначеного інтеграла i геометричний зміст.

Означення: Якщо існує скінченна границя інтегральних сум Sn при lі­­à0 і не залежить ні від способу розбиття [a;b] на частини Dхі, ні від вибору точок і, то ця границя називається визначеним інтегралом від ф-ії f(x) на проміжку [a;b] і позначається:

54. За означенням, визначений інтеграл – число, яке залежить від типу ф-ії f(x) та проміжку [a;b]; він не залежить від того, якою буквою позначена змінна інтегрування.

Ф-ія, для якої на інтервалі існує визначений інтеграл називається інтегровною.

Геометричний зміст: поняття визначеності інтеграла введено таким чином, що в разі, коли ф-ія додатня на відрізку [а,b], де а быльше,

численно дорівнює площі S під кривою на [a,b].(нарисовать рисунок!)

Ми можемо вказати значення деяких інтегралів,використовуючи

відомі планометричні формули для площей плоских фігур. Наприклад:

и т.д.

Властивості визначеного iнтеграла. Формула Ньютона-Лейбніца.

1) Якщо f(x)=c=const, то

2) Сталий множник можна виносити з-під знака визначеного інтеграла.

 

3) Якщо f1(x) та f2(x) інтегровні на [a;b], то:

4) Якщо у визначеному інтегралі поміняти місцями межі інтегрування, то інтеграл лише змінить свій знак на протилежний.

 

5) Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю.

 

6) Якщо f(x) – інтегровна в будь-якому із проміжків [a;b], [a;c], [c;b], то:

7) Якщо f(x)³0 і інтегровна для xÎ[a,b], b>a, то

 

8) Якщо f(x), g(x) – інтегровні та f(x)³g(x) для xÎ[a;b], b>a, то:

 

9) Якщо f(x) – інтегровна та m£f(x)£M, для xÎ[a;b], b>a, то

10) (Теорема про середнє): Якщо ф-ія f(x) – неперервна для xÎ[a;b], b>a, то знайдеться така точка x= cÎ [a;b], що:

Теорема (Ньютона-Лейбніца): Якщо ф-ія f(x) – неперервна для xÎ [a;b], то визначений інтеграл від ф-ії f(x) на проміжку [a;b] дорівнює приросту первісної ф-ії f(x) на цьому проміжку, тобто:

Таблиця інтегралів.

 

 

Заміна змінної і інтегрування частинами у визначеному інтегралі.

Метод заміни змінної. При обчисленні визначених інтегралів, як і невизначених, широко користуються методом заміни змінної (або методом підстановки).

Теорема 1. Нехай виконуються умови:

1) функція f(x) неперервна на відрізку [а;b];

2) функція x = (t) і її похідна х' = (t)' неперервні на відрізку [ ; ];

3) (а)=а, ()=b I t (; ):a< (t)<b.

Тоді справджується рівність

(1)

Оскільки функція f(x) неперервна на [а;b], то вона має первісну. Позначимо її через F(x), x [а;b], тоді з теореми про заміну змінної в невизначеному інтегралі випливає, що функція F( (t) буде первісною функції f( (t)) (t)', t [ ; ].

Метод інтегрування частинами

Теорема 2. Якщо функції i мається на відрізку [а;b] мають неперервні похідні, то справедлива формула

(формула інтегрування частинами визначеного інтеграла.)

Оскільки функція uv є первісною функції (uv)' -u'v + uv', то за формулою Ньютона-Лейбніца дістанемо