Знакододатні ряди. Ознака пopiвняння.

Означення: знакододатний ряд – ряд вигляду U₁+U₂+…+U_n+…, всі члени якого є додатними.

1) Ознака порівняння рядів.

Складаємо геометричний прогресію або гармонійний ряд і порівнюємо. Якщо порівняємо з розбіжним рядом, всі члени якого менше відповідних членів шуканого ряду, то шуканий ряд – теж розбіжний, якщо більшіші, то шуканий ряд – збіжний. Якщо порівнюємо із збіжним рядом, всі члени якого більше відповідних членів шуканого ряду, то шуканий ряд – теж збіжний, якщо менші, то шуканий ряд є розбіжним.

Гармонійний ряд – ряд вигляду:

Приклад:

Порівнюємо з гармонійним рядом, який є розбіжний.

маємо:

 

ÞРяд розбіжний.

 

Ознака Даламбера.

Ознака Даламбера:

Якщо для знакододатного ряду

існує

то, якщо:

а)D>1, ряд – розбіжний

б)D<1, ряд – збіжний

в)D=1, –???

Зауваження. Ознаку Д’Аламбера доцільно застосувати до рядів, загальні члени яких містять показникові вирази, добутки або факторіали. Ознакою Коші зручно користуватися при дослідженні рядів, загальні члени яких містять показникові вирази.

Радикальна ознака Коші.

Радикальна ознака Коші.

а)k<1, ряд – збіжний

б)k>1, ряд – розбіжний

в)k=1, –???

Якщо для числового ряда

з невід'ємними членами існує таке число d, 0 < d < 1, що, починаючи з деякого номера, виконується нерівність то даний ряд збігається.

Гранична форма

Умова радикальної ознаки рівносильно наступному:

Тобто можна сформулювати радикальну ознаку збіжності знакододатнього ряду у граничній формі:

80. інтегральна ознака Коші.

Беремо ò від Un-члена ряду. Якщо невласний інтеграл збіжний, то ряд – збіжний, якщо ж розбіжний, то ряд – розбіжний.

Интегральный признак Коши — признак сходимости убывающего положительного числового ряда. Признак Коши даёт возможность свести проверку сходимости ряда к проверке сходимости несобственного интеграла соответствующей функции на , последний часто может быть найден в явном виде.

81. Ряди, в яких знаки членів строго чергуються. Ознака Лейбніца.

Означення: Знакопочерговий ряд – ряд вигляду:

Для дослідження знакопочергового ряду на абсолютну і умовну збіжність складається ряд з абсолютних величин.

Означення: Знакозмінний ряд називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд із абсолютних величин членів знакозмінного ряду.

Означення: Знакозмінний ряд називається умовно збіжним, якщо цей ряд збігається, а ряд із абсолютних величин його членів розбігається.

 

Ознака Лейбніца.

Теорема: Якщо члени знакопочергового ряду спадають по абсолютній величині і границя абсолютної величини загального члена ряду = 0, то ряд збігається. Коротко цю теорему можна записати так:

 

Наслідок1:

Знак суми збіжного знакопочергового ряду такий же, як і знак першого члену ряду.

Наслідок2:

Якщо знакопочерговий ряд збігається, то його сума за абсолютною величиною не перевищує перший член ряду, тобто |S|<|U₁|.

Наслідок3:

Якщо при обчисленні суми збіжного знакопочергового ряду обмежитись тільки першими n членами, а всі інші відкинути, то похибка за абсолютною величиною не перевищить першого із відкинутих членів.

Наслідок4:

Якщо для ряду не виконується умова теореми Лейбніца:

то ряд є розбіжним, оскільки не виконується необхідна умова збіжності.

82. Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжність.
Числовые ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными рядами.

Ряды, все члены которых отрицательные числа, не представляют нового по сравнению со знакоположительными рядами, так как они получаются умножением знакоположительных рядов на – 1.

Означення: Знакозмінний ряд називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд із абсолютних величин членів знакозмінного ряду.

Означення: Знакозмінний ряд називається умовно збіжним, якщо цей ряд збігається, а ряд із абсолютних величин його членів розбігається.

Теорема. (Дирихле) Если ряд сходится абсолютно, то ряд полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму.

Теорема. (Римана). Если ряд сходится условно, то для любого числа A можно найти такую перестановку членов ряда, что после перестановки получится ряд, имеющий своей суммой это число A или получить расходящийся ряд.

83. Поняття степеневого ряду. Теорема Абеля.

Означення: Функціональний ряд вигляду a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ+… називається степеневим рядом, його загальний член U_n(x)=a_nxⁿ, а числа а₀,а₁,а_2,...,а_n,... – називають коефіцієнтами степеневого ряду. Степеневий ряд можна записати як:

Степеневий ряд може мати вигляд: a₀+a₁₍x-с)+a₂₍x-с)²+…+a_n(x-с)ⁿ+… Такий ряд за допомогою заміни х-с=у зводиться до звичайного степеневого ряду.

 

Теорема Абеля.

Якщо степеневий ряд:

1) якщо при х=х₀, то він абсолютно збігається для будь-якого х, що задовольняє нерівність |x|<|x₀|;

2) якщо ряд розбігається при х=х₁, то він розбігається при всіх х, що задовольняють нерівніст |x|>|x₁|.

84. Радіус та інтервал збiжнocтi степеневого ряду. Властавості степеневих рядів.

Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду.

Як наслідок із теореми Абеля для Степ. Р. існує інтервал збіжності з центром в точці х₀.

Означення: Інтервалом збіжності Степ. Ряду називається такий інтервал, у всіх внутрішніх точках якого ряд збігається абсолютно, а для всіх точок |x|>R ряд є розбіжним, при цьому число R>0 називається радіусом збіжності ряду.

Зауваження:

На кінцях інтервалу збіжності, тобто в точках x=-R, x=R ряд може як збігатись, так і розбігатись. Це питання потребує спеціального дослілження в кожному випадку.

Властивості:

Теорема 1 (неперервність суми степеневого ряду). Сума степеневого ряду є неперервною всередині проміжку збіжності.

Наслідок. Якщо границі інтегрування, лежать всередині інтервалу збіжності степеневого ряду, то за теоремою його можна почленно інтегрувати на проміжку, оскільки він буде рівномірно збігатися на, що містить проміжок.

Теорема 2 (диференціювання степеневих рядів). Якщо степеневий ряд має інтервал збіжності, то ряд одержаний почленним диференціюванням ряду, має той же інтервал збіжності; при цьому сума ряду де сума ряду.

Наслідок. Якщо степеневий ряд збігається в інтервалі то його сума представляє собою функцію, що має всередині інтервалу збіжності похідні довільного порядку, кожна з яких є сумою ряду, одержаного в результаті почленного диференціювання даного ряду відповідне число разів; при цьому інтервал збіжності кожного ряду, одержаного в результаті диференціювання, є той же інтервал

Ряд Тейлора i Маклорена.

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.
Определение:

Пусть функция f (x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки a. Формальный ряд

называется рядом Тейлора функции f в точке a.

В случае, если a = 0, этот ряд также называется рядом Макло́рена.

Свойства:

• Если f есть аналитическая функция, то её ряд Тейлора в любой точке a области определения f сходится к f в некоторой окрестности a.
• Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности a. Например, Коши предложил такой пример:

У этой функции все коэффициенты ряда Тейлора равны нулю.