Частинні похідні.Повний диференціал.Частинні похідні та диференціали pізних порядків.

Озн. Частинною похідною від ф-ції z=f(x;у) на змінній х називається границя відношення частинного приросту ф-ції до приросту змінної х, коли останній прямує до 0. Аналогічно і по змінній у. Для знаходження частинної похідної (x,y) треба вважати сталою змінну у, а для (x,y)-змінну х. Позначається частинна похідна так: ; або ; або

Отже, за озн. = ; .

Частинними похідними 2-го порядку від ф-ції z=f(x,y)називаються частинні похідні від похідних першого порядку.

; ; ; . Аналогічно визначаються частинні похідні 3-го, 4-го і т. д. порядків.Так ,

 

Озн. Диференціалом функції називається сума добутків частинних похідних цієї функції на приріст відповідних незалежних змінних, тобто:

Визначення. Функція z = f(x,у) називається диференційованою в точці (х, у), якщо її повний приріст може бути представлено у вигляді ,де -диференціал ф-ції, , -нескінченно малі при Таким чином, диференціал функції декількох змінних, як і у випадку однієї змінної, представляє головну, лінійну щодо приросту х і у, частина повного приросту функції. Для функції декількох змінних існування частинних похідних є лише необхідною, але недостатньою умовою диференційовності функції. Достатня умова диференційованості функції двох змінних: якщо частинні похідні функції (х, у) існують в околі точки (х, у) і безперервні в самій точці (х, у), то функція z = f(х, у) диференційована в цій точці.

46. Похідна від складної функції багатьох змінних. Похідна від заданої неявно функції. Похідна складної функції дорівнює добутку похідної зовнішньої функції за проміжним аргументом на похідну проміжного аргументу за незалежною змінною. (f(g(x)))' = f'(g(x))•g'(x).

Похідна неявної ф-ії:

Якщо існує неперервна ф-ія однієї змінної y=f(x) така, що відповідні пари (x;y) задовольняють умову F(x;y), тоді ця умова називається неявною формою ф-ії f(x), сама ф-ія f(x) називається неявною ф-ією, яка задовольняє умову F(x;y)=0. Припустимо,що неперервна ф-ія y=f(x) задана в неявній формі F(x;y)=0 і що . Похідна знаходиться за формулою:

Аналогічно частинні похідні ф-ії двох незалежних змінних z=f(x;y), яка задана за допомогою рівняння F(x;y;z)=0 де F(x;y;z) – диференційовна ф-ія змінних x,y,z, можуть бути обчислені за формулами:

за умови, що .

47. Похідна за напрямом. Градієнт функції. Означення: Нехай ф-ія z=f(x;y) визначесна в деякому околі точки P0=(x0;y0); l деякий промінь з початком в точці P0=(x0;y0); P=(x;y) – точка на цьому промені, яка належить околу, що розглядається, – околу точки P0=(x0;y0); Dl – довжина відрізка P0Р. Границя , якщо вона існує, називається похідною ф-ії z=f(x;y) за напрямом в точці Р0 і позначається

В частинному випадку, є похідна ф-ії z=f(x;y) за доданим напрямом осі Ох, а – за напрямом осі Оу.

Похідна за напрямом характеризує швидкість зміни ф-ії z=f(x;y) в точці P0=(x0;y0) за напрямом .

Градієнтом вектор з координатами (). Похідна за напрямом є скалярним добутком градієнта і одиничного вектора, задающого напрям l. Градієнта в даній точці характеризує напрям максимальної швидкості зміни ф-іі в даній точці. Напрям найбільшої швидкості зміни ф-ції z=f(x;y) співпадає з напрямом вектора – градієнтом.

За формулою довж вектора знаходять величину цієї найбільшої швидкості:

48.Екстремум функції багатьох змінних. Необхідна i достатня умови екстремуму. Означення: Нехай ф-ія z=f(x;y) визначена в деякому околі точки (x0;y0) і неперервна в цій точці. Якщо для всіх точок (x;y) цього околу виконується нерівність , тоді ця точка (x0;y0) називається точкою максимуму (мінімуму) ф-ії z=f(x;y).

Точки максимуму і мінімуму наз. точками екстремуму.

В т. екстремуму ф-ції її частинна похідна = 0 або не існує Þ в т. екстремуму диференційованої ф-ції виконується нерівність:

df/dx=0 і df/dy=0.

Необхідна:

Достатня:

AC – B2<0 – НЕ ІСНУЄ

АС – В2=0 –?

A=¶2z/¶x2 (M0)

C=¶2z/¶y2 (M0)

B=¶2z/¶x¶y (M0)

Дослідження функції двох змінних на екстремум рекомендується проводити за такою схемою:

1. Знайти частинні похідні функції і

2. Вирішити систему рівнянь , і знайти критичні точки функції.

3. Знайти частинні похідні другого порядку(аналогічно і вищих порядків), обчислити їх значення в кожній критичній точці і за допомогою достатньої умови зробити висновок про наявність екстремумів.

4. Знайти екстремуми (екстремальні значення) функції.