Скалярний добуток векторів, його властивості. Вираз скалярного добутку через координати векторів.

Скалярним добутком векторів наз. число, що дорівнює добутку довжини цих векторів на cos кута між ними.
Скалярний добуток:

Скалярний добуток векторів – число, що дорівнює добутку довжини одного з векторів на проекцію 2-го взятого напрямку.

Геометричні властивості:

11. Векторний добуток векторів, його властивості. Координати векторного добутку двох векторів.

Добутком вектора наз.

Властивості:

12.Мішаним добутком векторів називається число ( Вектори утворюють праву трійку, якщо ()>0 і утворюють ліву трійку, якщо(. Модуль дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на векторах. Нехай = . Висота паралелепіпеда дорівнює . Якщо відомі проекції векторів : то мішаний добуток обчислюється за формулою: ( =

Властивості мішаного добутку: 1).(. 2).( =0 тоді і тільки тоді, коли вектори компланарні. 3). Модуль мішаного добутку дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на векторах

13. Вектор називається лінійною комбінацією векторів векторного простору R, якщо він дорівнює сумі добутку цих векторів на довільні дійсні числа: де довільні числа.

Вектори векторного простору R називаються лінійно залежними, якщо існують такі числа , які не дорівнюють нуль, що =0 В протилежному випадку вектори називаються лінійно незалежними. Відзначимо деякі властивості векторів лінійного простору: 1).Якщо серед векторів існує нульовий вектор, то ці вектори лінійно залежні, 2). Якщо частина векторів є лінійно залежними, то і всі ці вектори лінійно залежні.

14. Базисом на прямій називається будь-який ненульовий вектор на цій прямій. Цей вектор називається базисним. Нехай на прямій Ɩ задано базис . Для будь-якого вектора колінеарного даній прямій, визначено ставлення , причому число x визначається однозначно. Таким чином, справедлива наступна теорема. Теорема 1.1 (про розкладання вектора по базису на прямій). Будь-який вектор а, колінеарний прямий, може бути розкладений за базисом на цій прямій, тобто представлений у вигляді (1.1),де число x визначається однозначно.
Коефіцієнт x в розкладанні називається координатою вектора щодо базису . Оскільки вектори колінеарні, то і координата x однозначно визначається їх відношенням x= . Наприклад, якщо вектор представляється у вигляді то x =- 2 - його координата щодо базису
Всі ненульові вектори, однаково направлені з вектором , мають додатні координати, а протилежно спрямовані - від'ємні. Координата нульового вектора дорівнює нулю. Базисом на площині називаються два неколінеарних вектора на цій площині, взяті в певному порядку. Ці вектори називаються базисними.

.Має місце наступна теорема. Теорема 1.2 (про розкладання вектора по базису на площині). Будь-який вектор , ​​що належить площині, може бути розкладений за базисом на цій площині, тобто представлений у вигляді (1.2), де числа визначаються однозначно. Коефіцієнти і в розкладанні (1.2) називаються координатами вектора а щодо базису. Базисом в просторі називаються три некомпланарних вектора взяті в певному порядку. Ці вектори називаються базисними.

+ (1.3) Має місце наступна теорема. Теорема 1.3 (про розкладання вектора по базису в просторі). Будь-який вектор може бути розкладений за базисом в просторі, тобто представлений у вигляді (1.3), де числа визначаються однозначно. Коефіцієнти в розкладанні (1.3) називаються координатами вектора щодо базису .

15. Проекцією вектора на вісь називається різниця координат кінця та початку вектора. Теорема. Проекція вектора на вісь u дорівнює добутку довжини цього вектора на cos кута його нахилу до осі ( = ). Лінійні властивості проекції вектора на вісь. 1). При додаванні(відніманні) векторів їх проекції на довільну вісь додаються(віднімаються). Тобто, 2).При множенні вектора на число його проекція на довільну вісь множиться на це число. Тобто,

16. Декартовою системою координат і на прямій, і на площині, і в просторі називається сукупність точки О(початок координат) і базису. Декартовими координатами точки називають координати її радіус-вектора якщо базисні вектори декартової системи координат мають різну довжину і кути між ними не всі прямі, то така система координат загальнодекартова. Якщо базисні вектори декартової системи координат є ортами і кути між ними не всі прямі, то така система називається косоугольною. Якщо базисні вектори декартової системи координат одиничні і взаємно перпендикулярні, то декартова система координат називається прямокутною. Її базис називається ортонормованим, координати вектора і точки називаються прямокутними.

Теорема про геометричний зміст декартових прямокутних координат вектора. Декартові прямокутні координати вектора дорівнюють проекціям цього вектора на координати осі(ox,oy,oz).

17. Розглянемо рівняння першого ступеня з двома змінними у загальному вигляді (1.1)у якому коефіцієнти А і В не дорівнюють одночасно нулю, отже 1).нехай В тоді рівняння буде мати вигляд y= . Позначимо k= , b= Якщо A 0, C 0, то отримаємо ; якщо A 0,C=0, то y=kx; якщо А=0, С 0, то ;якщо А=0,С=0, то y=0. 2)нехай В=0, A . Тоді рівняння буде мати вигляд . Позначимо . Якщо С 0, то отримаємо ;якщо С=0, то x=0. Отже при будь-яких значеннях коефіцієнтів А,В(не рівних одночасно нулю) і С рівняння (1.1) є рівнянням деякої прямої лінії на площині Оxy. Рівняння (1.1) називається загальним рівнянням прямої.

18. Канонічне рівняння прямої – це рівняння прямої Ɩ, яка проходить через точку )паралельно вектору = (m,n,p). Вектор називається вектором напрямку прямої Ɩ. Розглянемо довільну точку прямої Ɩ – точку M(x,y,z) та вектор =(x- ;y- ;z- ). Вектори і колінеарні, а значить їх координати пропорційні = = (1.1). Рівняння (1.1) називають канонічним рівнянням прямої. Зауважимо, що координати вектора напряму прямої Ɩ можуть бути нульовими. Тому в (1.1) можуть стояти нулі в знаменниках.

Якщо в (1.1) відношення позначити літерою t, то можна виразити x,y,z через t, тобто записати рівняння прямої в параметричній формі

Рівняння прямої, яке проходить через дві задані точки ( ().Розглянемо вектор =().Тут точка M(x;y;z) довільна точка прямої. За умовою ці вектори лежать на одній прямій, а отже, колінеарні і їх координати пропорційні. (1.2). (1.2)- рівняння прямої, яка проходить через 2 відомі точки.

19. Рівняння прямої у відрізках. Знайдемо рівняння прямої по заданим відрізкам, які відсікаються на осях координат. Використовуючи , рівняння прямої, яке проходить через дві задані точки A(a;0) B(0;b), буде мати вигляд . Після перетворень (1.1). Рівняння (1.1) називається рівнянням прямої у відрізках.

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Нехай пряма перетинає вісь Oy в точці B(0;b) і утворює з віссю Ox кут α. Візьмемо на прямій довільну точку M(x;y). Тоді знайдемо тангенс кута α нахилу прямої з прямокутного трикутника MBN: . Позначимо кутовий коефіцієнт прямої k=tg α, отримаємо або y= kx+b (1.2). Рівняння (1.2) називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом.

20. Відстань від точки до прямої. Відстань від точки до прямої Ɩ: знаходиться за формулою: . Відхилення точки M ₁(x ₁, y ₁, z ₁) від площини δ = x ₁cosα + y ₁cosβ + z ₁cosγ − p;δ > 0,якщо M_i і початок координат лежать по різні сторони площини, в протилежному випадкуδ < 0. Відстань від точки до площини дорівнює | δ |. Нормальне рівняння прямої: , де р – відстань прямої від початку координат, α – кут, утворений з віссю Оx перпендикуляром до прямої з початку.

21.Кут між прямими та . Нехай задані дві прямі = = та = = . Кут між прямими- це кут між векторами напрямку цих прямих =( =(). Тому

Нехай дано дві прямі = = та = = . Прямі паралельні, якщо виконується співвідношення . Прямі взаємно перпендикулярні, якщо

22.Площина – алгебраїчна поверхня першого порядку. (1.1) Рівняння (1.1) називають загальним рівнянням площини. Рівняння (1.1) називають неповним, якщо один з коефіцієнтів дорівнює нулю. Розглянемо усі можливі випадки неповних рівнянь площини. 1).D=0: ,2).A=0: , 3).B=0: , 4).C=0: , 5).A,D=0;6).B,D=0;7).C,D=0;8).A,B=0;9).A,C=0;10).C,B=0.

Основні типи рівнянь площин. Загальне (повне) рівняння площини: (1.1); рівняння площини у відрізках: ; Рівняння площини, що проходить через точку M (x ₀, y ₀, z ₀) перпендикулярно до вектора N(A,B,C): A (x − x ₀) + B (y − y ₀) + C (z − z ₀) = 0; Рівняння площини, що проходить через три задані точки M (x_i, y_i, z_i), які не лежать на одній прямій: ; Нормальне (нормоване) рівняння площини: .

 

Кут між двома площинами.

Кутом між двома площинами називають один із суміжних двогранних кутів або, утворених цими площинами. Якщо площини не перетинаються, тобто паралельні, то кут між ними дорівнює 0.

Тепер розглянемо задачу про обчислення кута між двома площинами. Кут між двома площинами, точніше один із суміжних кутів між двома площинами, може бути обчислений як кут між нормалями до цих площин. Якщо площини задані своїми загальними рівняннями:

A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0

A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0, тоді їх нормальні вектори мають вигляд ₁={A₁,B₁,C₁}, ₂={A₂,B₂,C₂} і тому кут q між площинами знаходиться по формулі: