Однородного різницевого рівняння 2-го порядку iз сталими коефцієнтами.

Означення. Лінійним різницевим рівнянням k-го порядку називається рівняння

(n = 0, 1, 2 …), (21)

де b ₀, b ₁, b ₂, …, b_k — сталі коефіцієнти.

Подавши оператори різниць D ^і через оператор зсуву S, можемо записати різницеве рівняння в рівносильній формі:

(n = 0, 1, 2 …). (22)

Число k називається порядком різницевого рівняння. Це
рівняння можна також записати в операторній формі:

(n = 0, 1, 2 …),

; .

Якщо f (n) º 0, то різницеве рівняння називається однорідним. Якщо f (n) º 0, то рівняння називається неоднорідним. Для однозначного визначення розв’язку різницевого рівняння звичайно задають початкові умови:

(n = 0, 1, …, k – 1). (23)

Означення. Розв’язком різницевого рівняння називається послідовність y_n (n = 0, 1, 2, …), яка в результаті підставляння в різницеве рівняння (22) перетворює рівняння на тотожність.

Означення. Розв’язок різницевого рівняння k -го порядку (24)

(25)

називається загальним, якщо завдяки вибору довільних сталих
с ₁, с ₂, …, с_k можна задовольнити довільні початкові умови виду (23). Отже, система лінійних алгебраїчних рівнянь

(n = 0, 1, 2, …, k – 1) (26)

завжди має розв’язок відносно сталих с ₁, с ₂, …, с_k.

Означення. Визначник системи рівнянь (26)

(27)

називається визначником Вронського. Очевидна теорема:

Теорема 4.1. Для того щоб розв’язок вигляду (25) був загальним розв’язком різницевого рівняння (24), необхідно і достатньо, щоб (n = 0, 1, 2, …).

Замінюючи n на (т + 1) у визначнику (27), дістаємо рівняння для визначника Вронського

(28)

Із рівняння (28) випливає такий результат.

Теорема 4.2. Якщо в різницевому рівнянні (24), де a_k ¹ 0, a ₀ ¹ 0, визначник Вронського при деякому значенні n відмінний від нуля, то визначник Вронського відмінний від нуля при всіх значеннях n. Якщо визначник Вронського перетворюється на нуль при деякому значенні n, то він тотожно дорівнює нулю.

Означення. Якщо для розв’язків y_n = y_{i, n} (і = 1, 2, …, k) визначник Вронського відмінний від нуля, то ці розв’язки називаються лінійно незалежними. Якщо визначник Вронського дорівнює нулю, то ці розв’язки називаються лінійно залежними. Теорема 4.3. Якщо рівняння має k різних коренів m₁, m₂, …, m _k, то загальний розв’язок різницевого рівняння (24) набирає вигляду

(n = 0, 1, 2, …).

Доведення. Частинні розв’язки (і = 1, 2, …, k) будуть лінійно незалежні, бо визначник Вронського

є визначником Вандермонда і відмінний від нуля при m _і ¹ m _l
(і ¹ l; і, l = 1, 2, …, k).

Теорема 4.4. Якщо мультиплікаторне рівняння L (m) = 0 має корені m₁, …, m _l, (m ₁ + …+ m_l = k), то загальний розв’язок різницевого рівняння (24) подається у вигляді

(31)

Означення. Нульовий розв’язок різницевого рівняння (24) називається асимптотично стійким, якщо будь-який його розв’я­зок у_n прямує до нуля при n ® + ¥.

З теореми 4.4 випливає, що нульовий розв’язок різницевого рівняння (24) буде асимптотично стійким тоді і тільки тоді, коли всі корені мультиплікаторного рівняння L (m) = 0 будуть за модулем менші від одиниці.

 

Числові ряди. Основні поняття.

Числові ряди.

Означення: числовим рядом є вираз, який має вигляд суми нескінченої послідовності доданків: U₁+U₂+U₃+…+U_n+…(1), де U₁ – перший член ряду, U₂ – другий, а U_n – n-член, або загальний член ряду.

Утворимо так звані часткові суми ряду:

S₁=U₁

S₂=U₁+U₂

…………………………

S_n=U₁+U₂+U₃+…+U_n+...

…………………………

Означення: Ряд (1) називають збіжним, якщо:

тобто сума існує. Ряд (1) коротко можна записати:

(1’)

 

Якщо ряд (1) збіжний, то пишуть:

 

Означення: якщо:

то ряд (1) називають розбіжним рядом, такий ряд суми не має.

Різницю між сумою S ряду і n-початковою сумою називають залишком ряду і позначають:

Rn=S-Sn. Якщо ряд збіжний, то:

Необхідна ознака збіжності.

Теорема: Якщо ряд

збіжний, то:

Доведення: Оскільки ряд збіжний, то:

поряд з цією рівністю для збіжного ряду можна записати:

Ця ознака є лише необхідною умовою збіжності. Якщо вона не виконується, то ряд розбіжний, якщо виконується, то ряд може бути як збіжним, так і розбіжним.

 

76. Основні властивості числових pядiв.

Властивості збіжних рядів

1. Нехай ряд

збігається до суми S. Тоді для будь-якого ряд

теж збігається и має суму cS, тобто

.

Доведення випливає з означень.

2. Нехай ряди

та

збігаються до сум S ' та S '' відповідно. Тоді ряд

збігається до суми S ' + S '', тобто

.

Означення. Для ряду

(1)

та числа ряд

(2)

називається залишком вихідного ряду. Якщо ряд (2) збігається, то r_m — сума залишку.

3. Якщо ряд (1) збігається до суми S, то збігається будь-який його залишок, причому

.

Якщо для деякого збігається залишок (2), то ряд (1) збігається.

4. Критерій Коші збіжності числового ряду. Для того щоб ряд (1) збігався, необхідно і достатньо, щоб

.

Цей критерій являє собою критерій Коші для числовой послідовності .