Метод виділення лінійних множників

Метод використовується, коли елементи визначника можна вважати многочленами від одної або кількох змінних. В цьому випадку і самий визначник є многочленом від цих змінних.

 

В основі метода знаходяться наступні відомі властивості многочленів

1) многочлен від деякої змінної степеня k має не більше ніж k коренів.

2) якщо f (x) – многочлен степеня k і x =a- корінь цього многочлена, то з многочлена виноситься множник (x- ), тобто многочлен подається у вигляді f (x) = (x -a) g (x), де g (x) – многочлен степеня k -1.

3) якщо x =a₁ і x =a₂ – корені многочлена f (x) степеня k, a₁ ¹ a₂ і, згідно з попередньою властивістю, f (x) = (x -a₁) g (x), де g (x) – многочлен степеня k -1, то x =a₂, є коренем многочлена g (x), а тому многочлен f (x) можна подати у вигляді f (x) = (x -a₁) (x -a₂) h (x), де h (x) – многочлен степеня k -2.

4) з попередньої властивості випливає, що якщо f (x) – многочлен степеня k, a₁, a₂,..., a _k – його різні корені, то f (x) = a (x -a₁) (x -a₂)… (x -a _k), де a – старший коефіцієнт многочлена f (x).

 

Властивості визначників

1. Якщо всі елементи деякого рядка визначника дорівнюють нулю (нульовий рядок), то визначник дорівнює нулю.

2. Якщо у визначнику переставляються місцями два рядки, то змінюється лише знак визначника.

Припустимо, що у визначнику D міняються місцями і -й і j -й рядки (і ¹ j), тоді

D = = - .

3. Якщо два рядки визначника співпадають, то визначник дорівнює нулю.

4. Якщо деякий рядок визначника помножується на число l, то визначник помножується на l.

Припустимо, що у визначнику

D =

помножується на l і -й рядок, тоді

= l = l D.

З цієї властивості випливає, що якщо всі елементи деякого рядка визначника помножені на деяке число l, то це число можна винести за знак визначника як множник.

 

Два рядки визначника називаються пропорційними, якщо один з них можна одержати помноженням другого на деяке число.

5. Якщо два рядки визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю.

Нехай (b_{i 1}, b_{i 2},…, b_in) і (с_{i 1}, с_{i 2},…, с_in) – два рядки. Під сумою цих рядків розуміється рядок вигляду (b_{i 1}+ с_{i 1}, b_{i 2} + с_{i 2},…, b_in + с_in).

6. Якщо у визначнику D і-рядок є сумою двох рядків, то визначник D можна розкласти в суму двох визначників D₁ і D₂ за і-м рядком таким чином, що і-рядком визначника D₁ є перший доданок, а і-м рядком визначника D₂ – другий доданок і-го рядка визначника D. Решта рядків визначників D₁ і D₂ співпадають з відповідними рядками визначника D.

Припустимо, що у визначнику D і -й рядок є сумою двох рядків, тоді

D = = + .

Аналогічно, якщо і -й рядок визначника D є сумою k рядків, то визначник D можна розкласти в суму k визначників за і -м рядком.

7. Якщо до рядка визначника додати інший рядок, помножений на число, то визначник не змінюється.

Нехай , ,..., ‑ деякі рядки визначника D, а l ₁, l ₂,..., l_n – деякі числа. Тоді рядок l ₁ + l ₂ +...+ l_n називається лінійною комбінацією рядків , ,...,

8. Якщо у визначнику деякий рядок є лінійною комбінацією інших рядків, то визначник дорівнює нулю.

9. Якщо до рядка визначника додати лінійну комбінацію інших рядків, то визначник не змінюється.

Обернена матриця. Ранг матриці

Обернена матриця — для кожної невиродженої квадратної матриці , розмірності , завжди існує обернена матриця, позначається така що:

де одинична матриця.

Якщо для матриці існує , то така матриця називається оборотною, тобто кожна невироджена матриця є оборотною, і навпаки кожна оборотна матриця є невиродженою.

Знаходження оберненої матриці

, тобто
де - союзна матриця.

Властивості

• 
• — обернення транспонованої матриці
• — обернення спряженої матриці
• для довільного коефіцієнта
• 
• — визначник оберненої матриці.
• Власні вектори матриці та її оберненої — збігаються, а власні значення є оберненими.
• Якщо потрібно розв'язати систему лінійних рівнянь Ax = b, (b — ненульовий вектор) і A ^{− 1} існує, тоді x = A ^{− 1} b. В протилежному випадку або розмірність простору розв'язків більше нуля, або їх немає зовсім.

Ранг мáтриці (математичний) — щонайвищий з порядків відмінних від нуля мінору цієї матриці.

Ранг матриці рівний найбільшому числу лінійно-незалежних рядків (або стовпців) матриці. Причому ранг по стовпцям збігається з рангом по рядкам.

Ранг матриці не міняється при елементарних перетвореннях матриці (перестановці рядків або стовпців, множенні рядка або стовпця на відмінне від нуля число і при складанні рядків або стовпців).

Система лінійних рівнянь має розв'язок тоді і тільки тоді, коли ранг матриці, складеної з коефіцієнтів при невідомих, не змінюється при додаванні до неї стовпця вільних членів. Цей розв'язок єдиний, якщо цей ранг матриці дорівнює кількості невідомих. Ранг матриці розмірності називають повним, якщо .

5.Система лінійних алгебраїчних рівнянь.Їх сумісність. Система лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) — в лінійній алгебрі це система лінійних рівнянь виду:

Це система m лінійних рівнянь з n невідомими, де

є невідомими,

є коефіцієнтами системи,

- вільними членами^[1].

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь відіграють важливу роль у математиці, оскільки до них зводиться велика кількість задач лінійної алгебри, теорії диференціальних рівнянь, математичної фізики, тощо, та областей фізики й техніки, де застосовуються ці математичні теорії.

Розв’язком системи лінійних алгебраїчних рівнянь є будь-яка сукупність дійсних чисел x ₁, x ₂,..., x_n, яка при підстановці кожне рівняння системи перетворює його в тотожність.

Якщо система має хоча б один розв’язок, то вона називається сумісною, і несумісною, якщо не має жодного. Відповідь на питання сумісності системи дає теорема Кронекера-Капеллі.

Сумісна система називається визначеною, якщо вона має єдиний розв’язок, і невизначеною, якщо вона має безліч розв’язків. В останньому випадку кожен її розв’язок називають частковим розв’язком системи. Сукупність усіх часткових розв’язків називають загальним розв’язком системи.