Однорідні рівняння. Рівняння, які зводяться до однорідних.

Д.Р. називається однорідним, якщо його можна подати у вигляді:

Воно за допомогою заміни змінної y/x=u Þy=ux зводиться до Д.Р. з відокремлюваними змінними.

та знаходження розв’язку зводиться до квадратур:

Тригонометричні рівняння, які не є однорідні, легко зводяться до однорідних. Наприклад, якщо в рівнянні

sin х cos x = 0,5

представить 0,5 в виде 0,5 (sin² х + cos² х), то получится однородное уравнение
sin х cos x = 0,5 sin² х + 0,5 cos² х.

 

65. Лінійні диференціальні рівняння. Рівняння Бернуллі.

 

Озн. Р-ння виду (1) назив. лнійним неоднорідним р-ням І-ого порядку, де Р(х) і f(x) деякі задані на проміжку неперервні ф-ції.

 

- наз. однорідним рівнянням.

__________

Метод Бернуллі

 

Метод полягає у тому, що розв’язуючи рівняння (1) шукають у вигляді: , де U=U(x) V=V(x)

деякі ф-ції від х, при чому одна з них довільна і

 

_____

_________

Рівняння Бернуллі

 

- рівняння такого виду називається р-ням Бернуллі.

Якщо n=0, то ми одержали лінійне рівняння

Якщо n=1 р-ня з розподілними змінними.

 

Рівняння Бернуллі завжди має розв*зок у=0

Змінна частина , така заміна зводить рівняння до лінійного.

Зауваження

1)Р-ння Бернуллі може бути розв*язано безпосередньо методом Бернуллі.

2) , то крім розв*язку y=U*V р-ння Бернуллі має розв*язок який тотожний =0(у тотож.)

 

66. Рівняння в повних диференціалах. Інтегруючий множник.

 

Озн. Р-ння виду P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 (1), де P(x;y) i Q(x;y) – деякі неперервні в деякій області D ф-ції.

Назив. р-ням у повних диференціалах, якщо його ліва частина є повним диференціалом деякої ф-ції U(x;y).

 

Отже, р-ня (1) зводиться до вирішування ф-ції U

du=0 U=C – загальн. розв.

____

Одержане рівняння продиферненц. Спочатку по х, потім по у і одержимо:

 

Озн. Ф-ція (х;у) назив. інтегруючим множником р-ння (1), якщо р-ння (х;у)(Р(х;у)dx+Q(x;y)dy)=0 є рівняннм в повних диференціалах.

Загального методу знаходження (х;у) не має. Їх можна знайти в окремих випадках. Складемо рівняння в окремих множниках:

Якщо - інтегр. множник, то р-ння P dx +Q dy=0 є рів-ням в повних диференціалах.Тобто виконується рівність .

67. Диференціальні рівняння вищих порядків. Загальний i

частинний розв'язки. Теорема Koшi.

 

Озн. Диф рів-ня n-того порядку назив. р-ння виду F(x;y )=0 (1) x- незалежна змінна, у=у(х)

 

Озн. Нормальним або явним диф. рівнянням n-того порядку назив. р-ння виду: (x;y ) (2).

 

Озн. Розв*язком р-ння 2 на деякому інтервалі (а;b) назив. n раз неперервно-диференційовна на цьому інтервалі ф-ція , яка при підстановці в дане р-ння перетворює його в тотожність, для будь-якого Х з інтервала (а;b).

=

Заг.розв*язком р-ня (2) назив. ф-ція y= , яка містить стільки довільних незалежних сталих, яким є порядок рівняння і яка задовольняє цьому рівнянні при довільних значеннях , де і=

 

Озн. Частинним розв*язком р-ння (2) назив. ф-ція , яку одержують із загального розв*язку, якщо кожній довільній сталій надати конкретного числового значення. Для цього задають n початкових умов (3),

Де - довільна наперед задані дійсні числа.

 

В задачах, яких необхідно знайти частинний розв*язок диф. рів-ня (2), що задовольняє поч.умови (3) назив. задачею Коші.

 

Існування і єдність розв*язку задачі Коші визнач. Теоремою.

(4)

Якщо в деякому околі т.() ф-ція визначена, неперервна і має неперервні частинні похідні по аргументам і т.д., то існує такий окіл цієї точки в якому задача Коші(4) має розв*язок і при тому єдиний. Для диф. р-ння ІІ порядку геометр. зміст полягає у тому, що через задану точку, в заданому напрямі проходить лише одна крива, через цю точку можуть проходить і інші криві, але з іншим нахилом дотичної.

 

68. Диференціальні рівняння, які допускають зниження порядку

Уравнения, допускающие понижение порядка

Уравнение , (1)

где x - независимая переменная, y - искомая функция, а функция F определена и непрерывна в некоторой области и во всяком случае зависит от , называется обыкновенным дифференциальным уравнением n -го порядка.

Рассмотрим некоторые типы уравнений высших порядков, допускающие понижение порядка.

Уравнения, не содержащие искомой функции и нескольких последовательных производных.

Рассмотрим уравнения вида . (2)

С помощью замены , где u - новая неизвестная функция, уравнение (2) приводится к уравнению (n-k) -го порядка:

.