Площа криволінійної трапеції

Площа криволінійної трапеції, обмеженої графіком неперервної невід’ємної функції на відрізку [ a;b ] функції f(x), віссю Ox і прямими x=a і x=b, дорівнює:

Об’єми тіл

Якщо тіло вміщено між двома перпендикулярними до осі Ох площинами, що проходять через точки x=a, х=b, функція S(x) задає площу перерізу тіла площиною, яка проходить через довільну точку х відрізка [ a,b ] і перпендикулярна до осі Ох, то об’єм тіла знайдемо за формулою:

 

 

Якщо тіло одержане в результаті обертання навколо осі Ох криволінійної трапеції, яка обмежена графіком неперервної і невід’ємної на відрізку [ a,b ] функції y=f(x) і прямими x=a, х=b, то об’єм тіла знайдемо за формулою:

 

6білет

1 Маричний метод обчислення СЛАР не такий поширений як метод Крамера, однак він присутній в авчальній програмі з лінійної алгебри і його вивчають як один із способів розв'язання системи рівнянь.
Нехай маємо систему N лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) з N невідомими x₁, x₂,..., x_N.,коефіцієнтами при яких є елементи матриці A(a_ij), а вільними членами є числа b₁, b₂,..., b_N.

Позначимо через X – матрицю-стовпець невідомих, через B – матрицю-стовпець вільних членів. Тоді попередню систему рівнянь можна записати у вигляді матричного рівняння:
A*X=B
Якщо квадратна матриця A має відмінний від нуля визначник , то для неї існує обернена A^-1. Помноживши зліва в цьому рівнянні на A^-1, одержимо

Враховуючи, що добуток оберненої матриці на саму матрицю дає одиничну , а також формулу , одержимо матричний розв'язок системи
X=A^-1*B
Знаходження матричного розв'язку називається матричним способом розв'язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР).

 

Приклад 1. Розв'язати систему лінійних рівнянь матричним методом.

Розв'язок. Маємо систему з трьох рівнянь. Позначимо матрицю і вектори літерами

Матричний розв'язок системи алгебраїчних рівнянь шукаємо за формулою X=A^-1*B. Для знаходження оберненої матриці A^-1 обчислимо визначник

 

 

Оскільки він відмінний від нуля , то задана система рівнянь сумісна і має єдиний розв'язок.
Знайдемо транспоновану матрицю A

Обчислимо алгебраїчні доповнення до елементів заданої матриці:

Обернену матрицю отримаємо за формулою

Знайдемо розв'язок СЛАР

Розв'язок системи рівнянь x₁=3; x₂=-5; x₃=-7.

2 Визначений інтеграл — в математичному аналізі це інтеграл функції з вказаною областю інтегрування. Визначений інтеграл є неперервним функціоналом, лінійним по підінтегральним функціям і адитивним по області інтегрування. У найпростішому випадку область інтегрування — це відрізок числової осі. Геометричний зміст визначеного інтеграла — це площа криволінійної фігури (криволінійної трапеції), обмеженої віссюабсцис, двома вертикалями на краях відрізка і кривою графіка функції

Наприклад, потрібно знайти площу фігури обмеженої графіками функцій: y=x²-2x+2 та y= 2+6x- x².

Для розв’язання будемо дотримуватися певного алгоритму дій.

1. Побудуємо в одній системі координат графіки заданих функцій.

2. Знайдемо межі інтегрування (абсциси точок перетину графіків). Для цього прирівняємо праві частини рівнянь, що задають функції. Отримаємо рівняння відносно змінної х, розв’яжемо його, відповідно менше значення буде нижньою межею, а більше – верхнею межею інтегрування.

3. Визначимо за графіком, яка з функцій приймає більші значення на заданому проміжку (обмежує фігуру згори), а яка – менші значення (обмежує знизу). Відповідно до цього складаємо підінтегральний вираз.

Отже розв’язання нашої задачі матиме такий вигляд:

 

7білет

1 Метод Гауса розв'язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь полягає в послідовному виключенні змінних і перетворенні системи рівнянь до трикутного (східчастого) вигляду

1. Приклади розв'язання СЛАР методом Гауса

У даному розділі на трьох різних прикладах покажемо, як методом Гаусса можна вирішити СЛАУ.

Приклад 1. Вирішити СЛАУ 3-го порядку.

 

Обнулив коефіцієнти при у другій і третій рядках. Для цього домножити їх на 2 / 3 і 1 відповідно і складемо з першим рядком:

 

Тепер обнулив коефіцієнт при в третьому рядку, домножити другий рядок на 6 і віднімаючи з неї третю:

 

 

В результаті ми привели вихідну систему до трикутного вигляду, тим самим закінчивши перший етап алгоритму.

На другому етапі дозволимо отримані рівняння в зворотному порядку. Маємо:

з третього;

з другого, підставивши отримане ;

з першого, підставивши отримані і .

Переваги методу:менш трудомісткий порівняно з іншими методами;дозволяє однозначно встановити, совместна система чи ні, і якщо сумісна, знайти її рішення;

дозволяє знайти максимальне число лінійно незалежних рівнянь - ранг матриці системи.

2 Неви́значений інтегра́л для функції f — це сукупність усіх первісних цієї функції.

Задача диференціального числення — знаходження похідної від заданої функції y = f(x). Задача інтегрального числення протилежна: потрібно визначити функцію, похідна від якої відома. Фундаментальними поняттями інтегрального числення є поняття первісної та невизначеного інтегралу.

Застосування невизначених інтегралів[ред. • ред. код] в задачах про обчислення швидкості або прискорення руху тіла; в задачах про обчислення визначених інтегралів (див. формулу Ньютона-Лейбніца); при розв'язанні диференціальних рівнянь.

Спосіб підстановки

Спосіб інтегрування частинами. При інтегруванні функції які містять добутки, логарифми і обернені тригонометричні функції буває корисно використовувати спосіб інтегрування частинами.

(1)

За допомогою формули (1) інтегрування знаходження інтеграла

(складається) зводиться до знаходження інтеграла

При практичному застосуванні формули (1) даний підінтегральний вираз представляють у вигляді добутку двох співмножників, які позначаються u і dv. Множник u намагаються вибрати так, щоб u' була простіша v.

 

Білет

1 Геометричним вектором називається направлений відрізок (або впорядкована пара точок). Вектор, в якого початок і кінець співпадають називають, нуль–вектором.

Якщо точка А є початком вектора, а точка В є кінцем цього вектора, то сам вектор позначають . Нуль-вектор позначають . Якщо не вказувати початкової та кінцевої точок, то вектор позначають однією буквою і т.п. Ми розглядаємо вектори, не фіксуючи їх точки прикладання, тобто вільні вектори.

Означення 2. Модулем (довжиною) вектора (або ) називають віддаль від початкової до кінцевої його точок і позначають або . Очевидно .

 

Означення 3. Вектори, які розміщені на одній або паралельних прямих називаються колінеарними.

Нульовий вектор вважається колінеарним довільному іншому вектору, тому що він не має визначеного напрямку.

Означення 4. Два вектори називаються рівними, якщо вони колінеарні, одинаково направлені і мають рівні довжини.

Означення 5. Вектори, які розміщені на одній або паралельних площинах, називаються компланарними.

Означення 6. Добутком вектора на дійсне число (або числа на вектор )називається вектор , такий що 1) ,2) вектори та колінеарні, 3) вектори та направлені однаково, якщо і протилежно направлені при (Якщо , то з рівності 1 слідує, що ).

Теорема 1. Нехай дано вектор . Для довільного колінеарного йому вектора існує єдине число , таке, що .

Дійсно, таким числом є , якщо вектори та направлені одинаково та , якщо вектори протилежно направлені.

Означення 7. Нехай, задано три вектори . Побудуємо ламану так: з кінця першого вектора будуємо вектор рівний другому вектору , потім з кінця цього вектора будуємо вектор рівний вектору . Вектор, що замикає цю ламану називається сумою векторів . Початок його співпадає з початком , кінець з кінцем вектора рівного (Рис.1).

 

Для випадку двох векторів та сумою є діагональ паралограма побудованого на цих векторах (рис.2).

 

Діючи, як в означенні 7, можна будувати суму довільної скінченої кількості векторів.

Теорема 2. Для довільних векторів та чисел справедливі співвідношення

 

.

 

Ці співвідношення легко перевіряються, виходячи з означень 6 та 7. Справедливість перших двох співвідношень видно з рис. 2 та рис.1.

Різницею векторів та називають .

Очевидно .

Розглянуті операції множення вектора на число та додавання векторів називають лінійними операціями над векторами.

Вектор одержаний в результаті застосування декількох лінійних операцій називають лінійною комбінацією векторів , числа при цьому називають коефіцієнтами цієї лінійної комбінації. Очевидно, коли всі коефіцієнти лінійної комбінації рівні нулеві, то в результаті одержується нуль–вектор. Нуль–вектор можна одержати також при відмінних від нуля коефіцієнтах.

 

2 Максимумом (мінімумом) функції двох змінних за означенням, це як і для функцій двох змінних максимальне (мінімальне) її значення. На площині це "горби" і "ями", в просторі – те саме тільки двовимірне зображення. Уявити як правило легко, а от для заданої функції знайти точки екстремуму може не кожен.