Правила знаходження диференціала

З правил знаходження похідної випливають правила знаходження диференціала. Якщо функції , диференційовні в точці х, то 1) .

 

2) .

 

Зауваження. , де .

 

3) , .

 

а14 білет

Рівняння кривих другого порядку. Коло. Еліпс

Коло

Аналітично коло є геометричним місцем точок площини, відстань яких до заданої точки є постійною і дорівнює . Канонічне рівняння кола з центром в точці і радіусом має вид

Зокрема, якщо центр кола розташований в початку координат, тобто , то рівняння кола приймає найпростіший вид

Еліпс

Еліпс має форму опуклої замкненої кривої (див. рисунок). Аналітично він є геометричним місцем точок площини, сума віддалей яких до двох заданих точок і (фокусів) тієї ж площини є величина стала. Цю сталу позначають , відстань між фокусами , причому . Якщо вибрати систему координат так, що вісь проходить через фокуси, а початок координат розташований посередині між ними, то рівняння еліпса набуває так званий канонічний (найпростіший) вид:

В цьому випадку фокуси еліпса мають координати . Еліпс має дві осі симетрії (осі координат), чотири вершини ( і – ліва і права відповідно, і – верхня і нижня відповідно). називаються великими півосями еліпса, – малими півосями еліпса. У випадку, коли , рівняння еліпса набуває виду .

Розглядується величина (ексцентриситет), яка характеризує форму еліпса.

Оскільки , то можна заключити, що при сплющеність еліпса збільшується, еліпса прямує до одиниці, залишаючись меншим від неї. У випадку форма еліпса наближається до форми кола, ексцентриситет .

2.

3.2 Правила диференціювання (Table of Derivative Rule)

 

Теорема 3.2. Якщо функції і мають похідні в точці x, то справедливі формули для похідних суми, добутку та частки цих функцій:

 

1) - (Sum Rule);

 

2) - (Product Rule);

 

3) , при - (Quotient Rule).

 

 

 

15. білет

1.

Гіпербола складається із двох гілок незамкнених кривих. Аналітично це геометричне місце точок площини, для яких абсолютне значення різниці віддалей до двох даних точок ( і – фокуси) є величина стала, яка позначається , , причому .

Найпростіше (канонічне) рівняння гіперболи записується так:

При цьому вісь проходить через фокуси гіперболи, а початок координат знаходиться на середині відрізка , тобто дорівнює віддалі від фокуса до початку координат . Тому фокуси мають координати . Осями симетрії гіперболи є осі координат, а точка – центр симетрії. Гіпербола перетинає вісь в точках , які називаються її дійсними вершинами, а величина – дійсною великою піввіссю гіперболи. Точки називаються уявними вершинами гіперболи, а величина – уявною малою піввіссю.

Прямокутник з центром в початку координат і зі сторонами, паралельними координатним вісям, які проходять через вершини гіперболи, називається основним прямокутником гіперболи. Його діагоналі є асимптоти гіперболи, тобто прямі, до яких необмежено наближаються гілки гіперболи. Ексцентриситет гіперболи .

Оскільки , то характеризує витягнутість основного прямокутника гіперболи.

Якщо , то гіпербола називається рівносторонньою, основний прямокутник перетворюється у квадрат, .

Якщо фокуси гіперболи розташовані на вісі , то:

— рівняння гіперболи;

— рівняння асимптот, де і , як і вище, – дійсна і уявна напівосі;

— координати вершин гіперболи;

— фокуси, де .

 

Доведення. 1) Дійсно, розглянемо похідну суми даних функцій:

 

 

, що і потрібно було довести.

 

2) Розглянемо похідну добутку даних функцій:

 

 

 

,

що і потрібно було довести (тут використано, що , оскільки диференційовна функція - неперервна).

 

3) Розглянемо похідну частки даних функцій за умови, що :

 

,

що і потрібно було довести.

 

Зауваження. Сталий множник при диференціюванні виноситься за знак похідної (Constant MultipleRule), тобто:

2. Похідною функції у = f(х) в точці х₀ називають границю відношення приросту функції∆f(x₀) в точці х₀ до приросту аргументу ∆х, коли приріст аргументу прямує до нуля, тобто

Функцію у = f(х), що має похідну в точці х₀ називають диференційованою в цій точці. Якщо функція у = f(х) має прохідну в кожній точці деякого проміжку, то кажуть, що ця функція диференційована на даному проміжку. Операцію взяття (знаходження) похідної називають диференціюванням функції.

У курсі шкільної математики похідні знаходять в основному, не за означенням, а використовуючи таблицю похідних та правила знаходження похідних.