Схема дослідження функції двох змінних на екстремум

Перше - це перевірити чи виконуються необхідні умови екстремум, а вони наступні – якщо функція має часткові похідні першого порядку і вони рівні нулю то в цих точках функція може мати екстремуми. На практиці реалізація теорії наступна: обчислюємо часткові похідні і прирівнюємо їх до нуля. В результаті потрібно із системи рівнянь

знайти точки (x0; y0) підозрілі на екстремум, їх ще називають стаціонарними.
Щоб встановити чи має місце максимум функції, чи мінімум потрібно обчислити часткові похідні другого порядку (A, B, C) в критичних точках

Далі в знайдених точках потрібно обчислити параметр диференціала D

Далі можливі 4 випадки:

функція має максимум, якщо A<0; D>0

функція має мінімум, якщо A>0; D>0

не має екстремуму, якщо D<0

при D=0 потрібно проводити додатковий аналіз на екстремум.

З аналізу знаків і роблять висновки про точки максимуму та мінімуму функції. Далі підстановкою точок обчислюють сам екстремум функції.
Якщо треба знайти найбільше (найменше) значення функції у замкненій області (трикутник, прямокутник, коло) то ці криві підставляємо у вихідне рівняння та досліджуємо функцію на екстремум по лініях, а також перевіряємо чи стаціонарна точка належить замкненій області. Такий приклад розглянуто в готових контрольних роботах.

Приклади на екстремуми

Приклад 1. Знайти екстремум функції двох змінних
Z=2*x*y-3*x^2-2*y^2
Розв'язок: Щоб знайти критичні точки функції двох змінних спершу нам слід обчислити часткові похідні першого порядку

Далі прирівнюємо часткові похідні до нуля і розв'язуємо систему рівнянь

Знайдені значення і є координатами критичної точки. Щоб не досліджувати функцію в околі точки екстремуму, оскільки не маємо графіка функції, встановимо знаки других часткових похідних в цій точці. Обчислюємо похідну другого порядку в критичній точці (0;0)

Далі обчислюємо параметр D

Знак більший нуля, отже в критичній точці (0;0) функція має максимум. Значення рівне вільному члену
Графік просторової функції в околі точки екстремуму має вигляд

 

 

9білет

1 Скалярним добутком векторів (х₁; у₁) і (х₂; у₂) називають число x₁x₂ + y₁y₂.

Позначають скалярний добуток векторів так само, як добуток чисел ∙ .

Приклад 1. Знайдіть скалярний добуток векторів (-2; 7) і (1; -2).

Розв’язання. ∙ = -2 ∙ 1 + 7 ∙ (- 2) = -16. Властивості скалярного добутку векторів.

Для будь-яких векторів , , та чисел λ, виконується рівність:

Скалярний добуток векторів можна знайти і по-іншому.

Скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх модулів на косинус кута між ними,

тобто де φ — кут між векторами і .

Приклад 2. Знайдіть скалярний добуток ∙ , якщо | | = 2; | | = 3 і кут між векторами і дорівнює: 1) 30°; 2) 120°.

Розв’язання.

 

2 Поняття повного диференціала функції вивчається в розділі математичного аналізу поряд з інтегральним обчисленням і передбачає визначення приватних похідних по кожному аргументу вихідної функції.

Інструкція

1. Диференціал (від лат. «Різницю») — це лінійна частина повного приросту функції. Диференціал прийнято позначати df, де f — функція. Функцію одного аргументу іноді зображають dxf або dxF. Припустимо, є функція z = f (x, y), функція двох аргументів x і y. Тоді повний приріст функції матиме вигляд:

f (x, y) — f (x_0, y_0) = f’_x (x, y) * (x — x_0) + f’_y (x, y) * (y — y_0) + α, де α — нескінченно мала величина (α → 0), яка ігнорується при визначенні похідної, оскільки lim α = 0.

2. Диференціал функції f по аргументу x є лінійною функцією щодо збільшення (x — x_0), тобто df (x_0) = f’_x_0 (Δx).

3. Геометричний сенс диференціала функції: якщо функція f дифференцируема в точці x_0, то її диференціал в цій точці є прирощення ординати (y) дотичній лінії до графіка функції.

Геометричний сенс повного диференціала функції двох аргументів — це тривимірний аналог геометричного сенсу диференціала функції одного аргументу, тобто це збільшення аплікати (z) дотичної площини до поверхні, рівняння якої задано дифференцируемой функцією.

4. Можна записати повний диференціал функції через приросту функції і аргументів, це більш загальноприйнята форма запису:

Δz = (δz / δx) dx + (δz / δy) dy, де δz / δx — похідна функції z по аргументу x, δz / δy — похідна функції z по аргументу y.

Кажуть, що функція f (x, y) дифференцируема в точці (x, y), якщо при таких значеннях x і y можна визначити повний диференціал цієї функції.

Вираз (δz / δx) dx + (δz / δy) dy і є лінійна частина приросту вихідної функції, де (δz / δx) dx — диференціал функції z за x, а (δz / δy) dy — диференціал по y. При диференціюванні по одному з аргументів передбачається, що інший аргумент чи аргументи (якщо їх декілька) — постійні величини.

5. Приклад.

Знайдіть повний диференціал наступної функції: z = 7 * x ^ 2 + 12 * y — 5 * x ^ 2 * y ^ 2.

Рішення.

Використовуючи припущення, що y — постійна величина, знайдіть приватну похідну по аргументу x,

δz / δx = (7 * x ^ 2 + 12 * y — 5 * x ^ 2 * y ^ 2) ‘dx = 7 * 2 * x + 0 — 5 * 2 * x * y ^ 2 = 14 * x — 10 * x * y ^ 2;

Використовуючи припущення, що x — постійна величина, знайдіть приватну похідну по аргументу y:

δz / δy = (7 * x ^ 2 + 12 * y — 5 * x ^ 2 * y ^ 2) ‘dy = 0 + 12 — 5 * 2 * x ^ 2 * y = 12 — 10x ^ 2 * y.

6. Запишіть повний диференціал функції:

dz = (δz / δx) dx + (δz / δy) dy = (14 * x — 10 * x * y ^ 2) dx + (12 — 10x ^ 2 * y).

В якійсь точці функції можуть бути визначені приватні похідні по одному з аргументів, але при цьому диференціал може не існувати для сукупності цих значень

 

10білет

1 Векторний добуток векторів

Векторним добутком векторів і називається вектор , який задовольняє наступним умовам:

1. утворюють праву трійку векторів (див. рисунок)

Позначається:

Властивості векторного добутку:

1. .

2. , якщо або , або .

3..

4. .

5., якщо.

6. Геометричний смисл векторного добутку полягає в тому, що його модуль чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і .

Приклад. Знайти , якщо

Розв’язування.

Знайдемо визначник третього порядку:

2 часткова похідна (частинна похідна) функції кількох змінних — це похідна по одній із змінних, причому інші змінні приймаються як константи. Часткові похідні використовуються у векторному численні та диференційній геометрії.

Означення[ред. • ред. код]

Нехай f — функція, що залежить більш ніж від однієї змінної. Наприклад,

{\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.}

Тут f можна інтерпретувати як родину функцій від однієї змінної при заіндексованій іншій:

{\displaystyle f(x,y)=f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}.}

Іншими словами, при виборі нового значення x утворюється нова функція f_x, котра є функцією від одного дійсного аргументу. Тобто,

{\displaystyle x\mapsto f_{x},}

{\displaystyle f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}.}

Припустимо, що значення x вибрано, покладемо його a, тоді f(x, y) визначає функцію f_a, залежну тільки від y: a ² + ay + y ²:

{\displaystyle f_{a}(y)=a^{2}+ay+y^{2}.}

В цьому виразі, a — константа, а не змінна, отже f_a — функція від одного дійсного аргументу — y. Відповідно до означення похідної функції одного аргументу:

{\displaystyle f_{a}'(y)=a+2y.}

Наведену процедуру можна здійснити для довільного вибору a. Узагальнивши всю сім'ю функцій, отримаємо похідну функції f по змінній y:

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=x+2y.}

Тут використовується символ ∂, котрий називають символом часткової похідної.

В загальному випадку, часткову похідну функції f(x₁,…,x_n) за змінною x_i в точці (a₁,…, a_n) записують так:

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots,a_{i}+h,\ldots,a_{n})-f(a_{1},\ldots,a_{n})}{h}}.}

У цьому різницевому відношенні усі змінні, крім x_i, зафіксовані. Іншими словами, різний вибір індексу a приводить до утворення родини функцій як у наведеному прикладі. Цей приклад також показує, що обчислення часткової похідної, в обчислювальному сенсі, простіше, ніж повної похідної.

Важливим прикладом функції кількох змінних є випадок скалярної функції f (x ₁,… x_n) в евклідовому просторі R ⁿ (наприклад, R ² або R ³). В цьому випадку f має часткову похідну ∂ f /∂ x_j по кожній змінній x_j. У точці a ці часткові похідні визначають вектор

{\displaystyle \nabla f(a)=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),\ldots,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right).}

Цей вектор називають градієнтом f в точці a. Якщо f диференційовна в кожній точці певної області, то градієнт — векторна функція ∇ f, котра в точці a перетворюється у вектор ∇ f(a). Відповідно градієнт визначений у векторному полі.

Приклади[ред. • ред. код]

 

Об'єм конусу залежить від висотита радіусу.

Припустимо V — об'єм конуса; він залежить від висоти h та радіусу r за формулою

{\displaystyle V(r,h)={\frac {\pi r^{2}h}{3}}.}

часткова похідна об'єму V за радіусом r буде

{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial r}}={\frac {2\pi rh}{3}}.}

Вона описує, як змінюється об'єм конуса від зміни радіуса при сталій висоті. Часткова похідна за висотою h

{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial h}}={\frac {\pi r^{2}}{3}}}

і вона показує, як змінюється об'єм конуса при зміні висоти та сталому радіусі.

Тепер для порівняння знайдемо повні похідні V за змінними r та h. Вони, відповідно, мають вигляд

{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} r}}=\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}+\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}{\frac {\operatorname {d} h}{\operatorname {d} r}}}

{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} h}}=\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}+\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}{\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} h}}}

Бачимо, що різниця між повною та частковою похідними полягає у виключенні непрямих залежностей між змінними в останній.

Тепер припустимо, що з певних причин пропорції конуса мають залишитись сталими, і відношення між висотою та радіусом стале: k:

{\displaystyle k={\frac {h}{r}}={\frac {\operatorname {d} h}{\operatorname {d} r}}}

Це дає повну похідну:

{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} r}}={\frac {2\pi rh}{3}}+k{\frac {\pi r^{2}}{3}}}

Рівняння, що містять часткові похідні, називають рівняннями в часткових похідних, і вони часто використовуються у фізиці, інженерії та інших науках і прикладних дисциплінах.

 

 

 

 

Білет

1.

Означення.

Мішаний добуток векторів — це скалярний добуток вектора a на векторний добуток векторів b і c.