Диференціал функцій багатьох змінних.



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Диференціал функцій багатьох змінних.



Різниця називається повним приростом функції ,а різниці

називаються частинними приростами функції по х і по у відповідно.Повний приріст функції можна зобразити у вигляді суми частинних приростів. Справді,

Якщо функція має частинні похідні і , то, очевидно, ,

, де при .Добутки і називаються частинними диференціалами функції по х і по у відповідно.Якщо функція має неперервні частинні похідні і , то сума частинних диференціалів називається повним диференціалом функції в точці

Прирости незалежних змінних звичайно позначають і . Тоді Можна показати, що ,

де при . Це твердження можна сформулювати так: повний приріст функції в точці наближено дорівнює диференціалу цієї функції у тій самій точці, тобто

 

 


Похідна за напрямом.Градієнт.

Похідною функції в точці M(x,y) за напрямком вектора називається границя

 

 


Диференціювання складної функції

Диференціювання неявних функцій


 

Екстремуми функцій багатьох змінних

Функція має максимум(мінімум) у точці M0(x0,y0), якщо для будь якої іншої точки M(x,y) з деякого околу точки M0(x0,y0) виконується нерівність (відповідно нерівність

).


Умовний екстремум

 

32. Найбільше та найменше значення функції в замкненій області

 


33. Первісна функція та невизначений інтеграл


Таблиця інтегралів


 

35. Основні методи інтегрування: метод підстановки, інтегрування частинами


36. Інтегрування раціональних дробів

 

 


Інтегрування деяких видів ірраціональностей


Інтегрування тригонометричних функцій

Розглянемо òR(sin x,cos x)dx, де R – раціональна ф-ія відносно sin, cos, тобто над sin, cos викон. лише арифметичні дії та піднесення до цілого степеня. Існують такі підстановки, що за їх допомогою інтеграл òR(sinx,cosx)dx завжди може бути зведений до інтеграла від раціональної ф-ії òR*(t)dt, загальна схема інтегрування якої розроблена.

1) Універсальна тригонометрична підстановка . На практиці універсальну тригонометричну підстановку використовують, якщо sin x, cos x входять в невисокому степені, інакше підрахунки будуть складні.

2) Підінтегральна ф-ія – непарна відносно sin x, тоді роблять підстановку cos x = t.

3) Підінтегральна ф-ія – непарна відносно cos x раціоналізується за допомогою підстановки sin x = t.

4) Підінтегральна ф-ія R(sin x, cos x) – парна по sinx, cosx сукупно, тобто R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx). В цьому випадку використовують підстановку tgx=t або ctgx=t.

5) Підінтегральна ф-ія R(tgx) раціоналізується підстановкою tgx=t.

В інтегралах òsin2nx×cos2mxdx рекомендується скористатися формулами зниження степеня.


Визначений інтеграл

Означення: Якщо існує скінченна границя інтегральних сум Sn при lі­­à0 і не залежить ні від способу розбиття [a;b] на частини Dхі, ні від вибору точок xі, то ця границя називається визначеним інтегралом від ф-ії f(x) на проміжку [a;b] і позначається:

За означенням, визначений інтеграл – число, яке залежить від типу ф-ії f(x) та проміжку [a;b]; він не залежить від того, якою буквою позначена змінна інтегрування. Визначений інтеграл — в математичному аналізі це інтеграл функції з вказаною областю інтегрування. Визначений інтеграл є неперервним функціоналом, лінійним по підінтегральним функціям і адитивним по області інтегрування. У найпростішому випадку область інтегрування — це відрізок числової осі. Геометричний зміст визначеного інтеграла — це площа криволінійної фігури (криволінійної трапеції), обмеженої віссю абсцис, двома вертикалями на краях відрізка і кривою графіка функції.

Ф-ія, для якої на інтервалі існує визначений інтеграл називається інтегровною.


Формула Ньютона-Лейбніца

Теорема (Ньютона-Лейбніца): Якщо ф-ія f(x) – неперервна для xÎ [a;b], то визначений інтеграл від ф-ії f(x) на проміжку [a;b] дорівнює приросту первісної ф-ії f(x) на цьому проміжку, тобто:

де F’(x)=f(x)

Зв’язок між визначеним та невизначеним інтегралами можна представити такою рівністю:

Наслідок: Для обчислення визначеного інтеграла достатньо знайти одну із первісних підінтегральної ф-ії і виконати над нею подвійну підстановку.



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-21; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.239.58.199 (0.01 с.)