Застосування диференціала в наближених обчисленнях

З означення похідної функції в точці випливає, що її приріст можна подати у вигляді: , де , якщо .

Отже, при малих має місце наближена рівність:

тобто .

Звідки

Формула дозволяє знаходити значення функції в точці , якщо відомі значення і , з точністю :

де .

 

Правило Лопіталя

Правило Лопіталя для розкриття невизначеностей типу полягає в такому: якщо функції f(х) і g(х) нескінченно малі або не­скінченно великі при х → а, диференційовані в околі точки х=а,g(x)≠0в околі цієї точки, існує , то існує і справедлива рівність

Приклади

Правило Лопіталя може застосовуватись послідовно декілька разів, якщо відношення похідних знову приводить до невизначеності, а са­мі похідні задовольняють умовам застосування правила Лопіталя.

Розкриття невизначеностей типу 0∙∞ і ∞-∞ проводять за допомо­гою тотожних перетворень, що приводять ці невизначеності до ви­ гляду , а потім застосовують таблицю еквівалентних нескін­ченно малих величин і правило Лопіталя.

Розкриття невизначеностей типу ∞⁰, 0⁰, 1^∞ проводять із попере­днім перетворенням степенево-показникового виразу за основною логарифмічною тотожністю

У результаті цих дій отримаємо (формальний запис):

Екстремум функції.

Функція f(х) називається зростаючою на інтервалі (а, Ь), якщо зцього інтервалу, таких, що , виконується умова .

Якщо при виконується умова , то функція на­зивається спадною.

Якщо на (а,Ь), то функція на цьому інтервалі зростає. Якщо на (а,Ь), то функція на цьому інтервалі спадає.

Точка х₀ називається точкою локального максимуму (мінімуму) функції у = f(х), якщо є найбільшим (найменшим) значенням

функції в деякому околі цієї точки. Точки локального максимуму і мі­німуму функції називаються точками екстремуму цієї функції.

 

 

Дослідження функцій та побудова графіків.

Загальна схема:

Щоб дослідити функцію y = f(x) та побудувати її графік необхідно:

1) знайти область визначення функції, тобто множину всіх точок для яких існує значення функції;

2) знайти (якщо вони існують) точки перетину графіка з координатними осями. Для цього потрібно у рівняння y = f(x) підставити x=0, а також розв'язати рівняння f(x) = 0 для відшукання точок перетину з віссю Ox;

3) дослідити функцію на періодичність, парність і непарність. У деяких випадках це можна зробити візуально за самим виглядом функції, якщо ні- то проводимо перевірку:

1. f(-x) = f(x) – функція парна;

2. f(-x) = -f (x) – функція непарна;

3. f(x+T) = f(x)– функція періодична, T – період функції.

Таким чином, якщо маємо парну функцію y= f(x), то достатньо побудувати її для додатніх значень x >0, після чого відобразити симетрично відносно осі абсцис y на решту області. У випадку непарної функції графік буде симетричний відносно початку координат. Для прикладу, якщомаємо непарну функцію, графік якої належить першій чверті другу половину отримаємо поворотом першої чверті на 180 градусів (третя чверть).

Періодичними є переважно фукнкції, складені з простих тригонометричних та деякі параметрично задані функції.

4) знайти точки розриву та дослідити їх (такими точками є краї інтервалів визначення функції);

5) знайти інтервали монотонності, точки екстремумів та значення функції в цих точках;

6) знайти інтервали опуклості, вгнутості та точки перегину;

7) знайти асимптоти кривої;

8) побудувати графік функції.

 

 

Функції багатьох змінних.

Як відомо, будь-який упорядкований набір з n дійсних чисел х₁…,х_n позначається (х₁,…,х_n) або М(х₁,…,х_n) і називається точкою n -вимірного арифметичного простору Rⁿ; числа х₁,…,х_n називаються координатами точки М(х₁,…,х_n). Відстань між точками М(х₁,…,х_n) і М^/(х^/₁,…,х^/_n) визначається за формулою

Нехай D Rⁿ – довільна множина n -вимірного арифметичного простору. Якщо кожній точці М(х₁,…,х_n) D поставлено у відповідність деяке цілком визначене дійсне число f(M)= f(х₁,…,х_n), то кажуть, що на множині D задана числова функція f: Rⁿ R від n змінних х₁…,х_n. Множина D називається областю визначення, а множина - множиною значень функції f. Зокрема, при n = 2 функцію двох змінних z = f(x,y),(x,y) D можна розглядати як функцію точок площини в тривимірному просторі з фіксованою системою координат О_xyz. Графіком цієї функції називається множина точок

яка визначає, взагалі кажучи, деяку поверхню в R³.

Нехай (х⁰₁,…,х⁰_k,…x⁰_n) – довільна фіксована точка в області визначення функції u = f(х₁,…,х_n). Надаючи значенню змінної х_k приросту , розглянемо границю

.

Ця границя називається частинною похідною 1-го порядку функції по змінній x_k в точці (x⁰₁,…,x⁰_n) і позначається або Похідні другого порядку позначаються так:

Аналогічно визначаються і позначаються частинні похідні порядку вищого, ніж другий.

Функція u=f(M) називається диференційовною в точці М₀, якщо скрізь в околі цієї точки певний приріст функції можна подати у вигляді

де A₁,…A_n – числа, не залежні від .

Диференціалом 1-го порядку du функції називається вираз

Диференціал k -го порядку функції , де х₁…х_n – незалежні змінні, символічно записуються у вигляді формули

яка формально розкривається за біномним законом.

Градієнт функції - це вектор, що визначається формулою grad Він визначає напрямок найшвидшого зростання функції

Прикладом функцій багатьох змінних в економіці э виробничі функції

 

 

Частинні похідні