Криві та поверхні другого порядку

Загальне рівняння кривої другого порядку:

A + Bxy + C + Dx + Ey = F = 0

Основні криві другого порядку:

1) Еліпс – це геометричне місце точок, сума відстаней до двох фіксованих точок площини (фокусів) є стала величина

+ = 1

2) Гіпербола – це геометричне місце точок для яких абсолютна величина різниці відстаней від фокусів є сталою

- = 1

3) Парабола – називається геометричне місце точок для кожної з яких відстань до фіксованої точки площини (фокуса) дорівнює відстані до фіксованої прямої

= 2рх – канонічне рівняння параболи

Границя числової послідовності.

Якщо кожному натуральному числу n є N за певним правилом ставиться у відповідність деяке дійсне число x_n, то множину чисел {х₁, х₂, …, х_n,...} називають послідовністю (числовою послідовністю) і позначають символом {х_n}. Числа х₁, х₂, …, х_n,... є членами (елементами) послідовності, х_n - загальним членом послідовності.

Число a називається границею послідовності {х_n}, якщо для будь-якого числа ε > 0 можна знайти такий номер N = N (ε), що при всіх n > N(ε) виконується нерівність

При цьому пишуть або .

Довільний інтервал вигляду (а - ε, а + ε), де ε > 0, називається ε - околом точки а. Якщо число а є границею послідовності {х_n}, то для будь-якого ε > 0 можна знайти такий номер N = N(ε), що при n > N (ε) усі члени послідовності потраплять у ε - окіл точки а.

Якщо послідовність має скінченну границю, то вона називається збіжною. Якщо послідовність не збігається, то кажуть, що вона є розбіжною.

Послідовність {х_n} називається обмеженою, якщо існує таке число С > 0, що при всіх nєN виконується нерівність < С. У протилежному випадку послідовність називається необмеженою.

Послідовність {х_n} називається обмеженою зверху (знизу), якщо існує таке число М(m), що при всіх nєN виконується нерівність x_n ≤ M (x_n ≥ m).

Послідовність {х_n} називається зростаючою (спадною), якщо для будь-якого nєN виконується нерівність x_n+1 > х_n (x_n+1 < х_n).

Послідовність {х_n} називається неспадною (незростаючою), якщо для будь-якого nєN виконується нерівність x_n+1 ≥ х_n (x_n+1 ≤ х_n).

Неспадні і незростаючі послідовності називаються монотонними, а зростаючі й спадні - строго монотонними.

Нехай {х_n} - деяка числова послідовність, а n₁ < n₂ <... < n_k <... - зростаюча послідовність натуральних чисел. Тоді послідовність називається підпослідовністю послідовності {х_n}.

Послідовність {х_n} називається фундаментальною, якщо для будь-якого числа ε > 0 можна знайти такий номер N, що при всіх n > N, m > N виконуватиметься нерівність .

Нескінченно малі та нескінченно великі послідовності.

Якщо послідовність має скінченну границю, то вона називається збіжною. Якщо послідовність не збігається, то кажуть, що вона є розбіжною.

Збіжну до нуля послідовність називають нескінченно малою.

Послідовність {х_n} називається нескінченно великою, якщо для будь-якого числа Е > 0 можна знайти такий номер N, що при всіх n > N виконуватиметься нерівність > Е.

Позначається це так: або , .

Границя функції.

Нехай функція визначена на деякій підмножині множини дійсних чисел ,і – гранична точка множини . Нагадаємо, що у будь-якому –околі граничної точки міститься нескінченне число точок множини , проте сама точка може й не належати .

Визначення 1. (Гейне ). Число називається границею функції при (або в точці ), якщо для довільної послідовності , збіжної до , відповідна послідовність значень функції збіжна до .

Якщо число A– границя функції в точці , то пишуть або при .

Нехай функція має границю , тоді вона, очевидно, єдина. Це випливає з того, що збіжна послідовність може мати лише одну границю (див. гл.5, §1).

Визначення 2. (Коші). Число A називається границею функції при (або в точці ), якщо для будь-якого можна знайти таке число , що при всіх , які задовольняють нерівність

виконується нерівність

Визначення границі функції в точці за Гейне і за Коші еквівалентні.

 

13.Чудові границі

Перша чудова границя та її наслідки. Друга чудова границя та її наслідки.

 

 

Неперервність функції

 

Точки розриву

Похідна функції.

Похідною функції в точці називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.

Похідна може позначатись

 

Правила диференціювання

Нехай функції мають у певній точці похідні , .

1. Похідна від суми (різниці) двох функцій:

2. Похідна від добутку двох функцій:

3. Похідна від частки двох функцій:

4. Похідна складної функції: якщо

 

17.Таблиця похідних 

 

Диференціал

 

19.Похідні вищих порядків, диференціали.

Нехай функція у = f(х) визначена та має похідну першого порядку на інтервалі (а,Ь). Тоді її похідна у' = f '(х) також буде функцією, що визначена на інтервалі (а,Ь). Якщо ця функція сама є диференційованою в деякій точці х інтервалу (а,Ь), тобто має в цій точці похідну, то вказана похідна називається другою похідною або похідною 2-го порядку і позначається

.

Аналогічно можна ввести поняття третьої похідної, потім четвертої і т.д.

Похідною п-го порядку називається похідна від похідної (n-І)-го порядку і позначається