Білет 20. Різні види рівнянь прямої

Пряма на площині може бути задана у вигляді канонічного, параметричного або загального рівняння. Рівняння Ах+Ву+С=О за умови, що А і В одночасно не дорівнюють нулю, називається загальним рівнянням прямої. Для канонічного задання прямої потрібна точка прямої M₀(х₀,у₀,t₀), вектор =(m,n)-колінеарний прямій, тоді -канонічне рівняння прямої. Якщо в рівняні (1) кожне з відношень позначити через t, то отримаємо параметричне рівняння прямої: x=x +mt

y=y +nt.

Рівняння прямої у відрізках на осях має вигляд: де a і b - відповідно абсциса і ордината точок перетину прямої з осями Ох і Оу. Рівняння прямої, яка проходить через дану точку А(х_а,у_а) в заданому напрямі, має вигляд у-у_а =k(х-х_а), де k=tqα - кутовий коефіцієнт прямої. Якщо пряма проходить через дві точки А (х_а,у_а) і В(х_b, у_b), то k=

Білет 21. Гіпербола.

Гіперболою називають множину точок площини, абсолютна величина різниці відстаней яких до двох даних точок, що називаються фокусами, є величина стала (), менша за відстань між фокусами ().Рівняння гіперболи, фокуси якої лежать на осі Ох, має вигляд: де - довжина дійсної півосі; довжина уявної півосі. Залежність між параметрами виражається співвідношенням: (11).Ексцентриситетом гіперболи називається відношення фокусної відстані до її дійсої осі Гіпербола має дві асимптоти, рівняння яких .

Якщо дійсна і уявна вісь гіперболи рівні (тобто ), то гіпербола називається рівносторонньою.

Рівняння гіперболи, фокуси якої лежать на осі Оу, має вигляд: або (16),

а рівняння її асимптот: (17).Гіперболи (10) і (16) називаються спряженими. Рівняння рівносторонньої гіперболи на осі Оу має вигляд: .

 

 

 

Білет 22. Загальне рівняння площини.Рівняння площини,що проходять через три точки.

Будь-яку площину можна задати рівнянням площини першого ступеня вигляду

A x + B y + C z +D= 0, де A, B і C не можуть одночасно дорівнювати нулю.

Якщо відомі координати трьох точок, через які проходить площину, то запишіть рівняння площини у вигляді визначника третього порядку. Нехай (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) і (z1, z2, z3) - координати першої, другої і третьої точки відповідно. Тоді рівняння площини, що проходить через ці три точки, виглядає наступним чином:

│x-x1y-y1z-z1│
│x2-x1y2-y1z2-z1│=0
│ x3-x1 y3-y1 z3-z1 │

 

 

Білет 23. Парабола.

Параболою називають множину точок на площині, рівновіддалених від даної точки, яку називають фокусом, і від даної прямої, яку називають директрисою.Рівняння параболи з вершиною в початку координат, віссю симетрії якої є вісь Ох і вітки напрямлені вправо, має вигляд: ), де -параметр параболи і відстань від фокуса до директриси. Рівняння її директриси .

Рівняння параболи з вершиною в початку координат, віссю симетрії якої є вісь О і вітки напрямлені вліво, має вигляд: (19), де -парамет параболи і відстань від фокуса до директриси. Рівняння її директриси .Рівняння параболи з вершиною в початку координат, віссю симетрії якої є вісь Оу і вітки напрямлені вгору, має вигляд: (20), де -параметр параболи і відстань від фокуса до директриси. Рівняння її директриси . Рівняння параболи з вершиною в початку координат, віссю симетрії якої є вісь Оу і вітки напрямлені вгору, має вигляд: (20), де -параметр параболи і відстань від фокуса до директриси. дРівняння її директриси .

Білет 24. Пряма в просторі.Кут між прямою і площиною.

Канонічне рівняння прямої – називається канонічним рівнянням прямої, яка проходить через точку паралельно до вектора , який називається напрямним.

Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки

– рівняння прямої, що проходить через дві задані точки і . Це різновид канонічного рівняння прямої, коли , а .

 

Параметричні рівняння прямої

— параметричні рівняння прямої, де параметр . Ці рівняння одержують із канонічного рівняння прямої.

— визначає рівняння прямої як лінію перетину двох непаралельних площин.

Кут між прямою і площино.: =

 

 

Білет 25. Умова перпендикулярності і паралельності 2-х прямих.

Умова перпендикулярності двох прямих: a) А1А2+В1В2=0;

b) k2=-1/k1; Умова паралельності двох прямих: а) А1/А2=В1/В2; б) k1=k2.

 

Білет 26. Умова паралельності і перпендикулярності прямої і площини.

Умова паралельності прямої і площини: mA+nB+lC=0.

Умова перпендикулярності прямої і площини: A/m=B/n=C/l.